分數階雙穩系統中的非周期振動共振?

楊建華 馬強 吳呈錦 劉后廣

1)(中國礦業大學機電工程學院,徐州 221116)

2)(密歇根大學機械工程系,安娜堡 MI48109,美國)

3)(中國礦業大學,江蘇省礦山機電裝備重點實驗室,徐州 221116)

4)(河北工程大學機械與裝備工程學院,邯鄲 056038)

(2017年9月16日收到;2018年1月4日收到修改稿)

1 引 言

在自然科學和工程技術領域,攜帶有用信息的信號往往比較微弱,因此在檢測和分析這些信號之前,需要先將其進行增強.增強信號的方法多種多樣,其中基于非線性系統動力學理論的隨機共振(stochastic resonance,SR)[1]和振動共振(vibrational resonance,VR)[2]方法近些年得到了諸多領域科研人員的廣泛關注.對于簡諧信號激勵的系統,隨機共振指的是系統輸出的信噪比或譜放大因子是激勵中所含噪聲強度的非線性函數,通過調節噪聲強度,能夠使系統輸出的信噪比最大,進而通過合適的噪聲強度放大了輸出中的微弱信號成分.在振動共振的研究中,高頻輔助信號代替了噪聲,通過調節高頻輔助信號的幅值,能夠使系統輸出在特征信號頻率處的響應幅值增益達到最大.然而,攜帶有用信息的信號不僅以周期信號的形式存在,還有大量的信息要用不同形式的非周期信號來表示,其中二進制非周期信號是一種常見的形式.在非線性系統中通過誘導系統發生非周期隨機共振(aperiodic stochastic resonance,ASR)[3]或者非周期振動共振(aperiodic vibrational resonance,AVR)[4],能夠增強微弱的非周期特征信息.所謂非周期隨機共振或非周期振動共振,指的是當特征信號為非周期信號時,通過調節噪聲強度或者高頻輔助信號幅值,使得系統輸出的波形和非周期特征信號的波形相似,但振幅比輸入特征信號的振幅更大.目前,一般以系統輸出和輸入特征信號之間的相關系數作為研究非周期隨機共振和非周期振動共振的指標,相關系數與噪聲強度或輔助信號幅值之間呈現一條類似于“共振”的曲線,在共振點處往往會發生隨機共振或者振動共振.事實上,相關系數描述的是兩個時間序列之間的相似性,當相關系數取得最大值時,系統輸出可能發生了非周期隨機共振或者非周期振動共振,即相關系數最大是系統發生非周期隨機共振或非周期振動共振的必要非充分條件.

相比于常微分形式的非線性系統,分數階形式的非線性系統在微弱信號的動力學響應方面具有更多的優勢,尤其是分數階非線性系統能夠進一步增強系統輸出的隨機共振[5]和振動共振[6]現象.此外,常微分系統可以看作分數階系統的特例,因此研究分數階系統中的隨機共振和振動共振得到的結果更具有通用性.相比于隨機共振,振動共振更易控制.目前雖有一些關于振動共振的研究文獻,但是分數階系統中的非周期振動共振問題還尚未研究,考慮到分數階系統動力學行為的豐富性以及非周期信號的廣泛存在性,研究這一問題具有重要意義.

本文分以下幾部分展開研究:第2部分研究分數階系統中的經典非周期振動共振現象,即系統參數和信號參數能夠直接實現匹配,參數不需要進行其他方面的處理;第3部分和第4部分研究系統參數和信號參數不能直接匹配的情況,即非周期信號的脈寬具有任意小值的情況,實現系統參數和信號參數的匹配才能誘發振動共振現象;這兩部分分別使用了變尺度法和二次采樣法,通過這兩種不同的方法,分別實現系統參數和信號參數的匹配,誘發非周期振動共振,達到殊途同歸的效果;第5部分對本文的主要結果進行總結.

2 非周期振動共振

研究模型如下:

其中a＞0,b＞0為系統參數,系統為具有雙穩態勢函數的分數階系統.分數階導數采用Grünwald-Letnikov定義[7],即

其中A為二進制非周期信號的振幅,Rm=±1為符合高斯分布的隨機數,T為脈寬,即s(t)中的最小隨機脈沖的寬度.Bsgn[cos(?t)]為誘發振動共振使用的輔助信號,輔助信號的幅值和周期分別為B和2π/?.根據振動共振理論,一般要求輔助信號隨時間的變化遠快于特征信號的變化[2],因此有2π/??T,本文令?=2π/(βT),其中β?1.對于特征信號是簡諧信號的情況,輔助信號一般也以簡諧信號的形式表示.對于輔助信號是非周期信號的情況,Chizhevsky和Giacomelli[4]采用了如(1)式中的周期方波作為輔助信號.根據動力學理論,特征信號影響系統輸出中的慢變成分,輔助信號影響系統輸出中的快變成分,輔助信號的作用是改變等效系統的參數,即改變等效系統勢函數的形狀,進而影響輸出中慢變成分的動力學行為[8?10].輔助信號的形式不同,不會對結果造成本質的影響,本文選取(1)式中方波信號作為輔助信號.再者,周期方波表達式可具有多種不同的形式,使用(1)式中的形式,在數值編程計算方面更簡單.

對于非周期信號,可以采用相關系數作為指標來度量振動共振現象.根據相關系數的物理意義,相關系數取值越大,表示兩個時間序列之間的相似性越高,當相關系數為1時,兩個時間序列完全相似.當發生振動共振時,系統輸出的時間序列與輸入信號之間的相關系數達到最大值.反之,當相關系數最大時,系統的輸出未必發生了振動共振.換句話說,相關系數最大是發生振動共振的必要非充分條件,后續分析將給予必要的說明.系統輸出的時間序列與輸入信號之間的相關系數用Csx表示,其具體的計算表達式為

為幫助讀者更好地理解,圖1給出了二進制非周期信號的三種不同波形.即使信號的振幅和脈寬相等,由于Rm的隨機性,特征信號的時間序列也是不同的.

圖1 相同幅值和脈寬下二進制非周期信號的三種不同波形(A=0.3,T=20)Fig.1.Three different waveforms of the binary aperiodic signal under the same signal amplitude and pulse width(A=0.3,T=20).

圖2 特征信號波形以及系統階數α取值不同時,相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系(仿真參數為a=1,b=1,A=0.3,T=20,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.2.Curves of Csx-B are obtained under different waveforms of the character signal and different fractional order values.The simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=20 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖3 系統階數取值不同時的最佳非周期振動共振輸出 (a)α=0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.45;(d)α=1.5,B=1.55;其他仿真參數為a=1,b=1,A=0.3,T=20,β=10;紅色粗實線為輸入的特征信號;黑線虛線對應B=0的輸出;藍色線細實線為最佳非周期振動共振輸出Fig.3.The optimal AVR output corresponding to different fractional-order values:(a) α =0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.45;(d)α=1.5,B=1.55.Other simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=20 and β=10.Thick lines in red color is the input character signals;dashed lines in black color is the output corresponding to B=0;thin lines in blue color is the optimal AVR output.

針對圖1中的三種不同波形的信號,圖2分別給出了系統的階數α不同時,系統輸出與特征信號之間的相關系數隨著輔助信號幅值變化的曲線,其中的信號1(signal 1),信號2(signal 2),信號1(signal 3)分別對應圖1中從上至下的三種信號.后續對不同信號的類似描述,均采用相同的方法.圖2中給出了幾種重要現象.第一,Csx與B之間的關系曲線基本不受輸入信號波形的影響.由于相關系數是基于大數據量進行計算的統計特征參數,提高計算使用的數據量,能夠進一步減小特征信號波形不同造成的Csx-B曲線的微小誤差.第二,隨著輔助信號的幅值增加,Csx的值先減小后增大,出現了明顯的“共振區”,即發生非周期振動共振現象.“共振區”是描述線性系統在簡諧激勵下響應特性的指標,一般將頻響曲線上位于共振峰值的兩側并滿足大于共振峰值的的區域定義為“共振區”[11,12].對于非周期振動共振,并沒有“共振區”的統一概念,為方便描述,仿照簡諧激勵下線性系統“共振區”的概念,本文將Csx-B曲線上位于波谷右側且位于共振峰值兩側并滿足Csx大于共振峰值的倍的區域定義為非周期振動共振的“共振區”.在B取值較小時,相關系數Csx的值較大,這說明輸出時間序列和輸入信號的相似性較高,但輸出時間序列中的特征信號部分并未得到放大.在各個曲線的共振點,輸出時間序列和輸入特征信號之間的相似性高,且輸出時間序列中含有的特征信號成分得到了放大,后續對時間序列的分析中將說明這一點.第三,隨著系統階數的增加,Csx-B曲線的“共振區”變寬,且發生最佳振動共振時所需要輔助信號的幅值變大.

對應于圖2中信號2的最佳共振點,圖3給出了系統階數取值不同時的最佳非周期振動共振輸出.相對于原信號,系統輸出中的特征信號波形在很大程度上得到了增強.在圖3的4個子圖中,系統階數的取值越大,系統輸出和輸入特征信號之間的相似程度越高.對于B=0,即激勵中不含有輔助信號的情況,雖然系統的輸出與輸入特征信號之間相似程度高,但是特征信號未得到明顯的放大.這一現象驗證了對于圖2的第二條解釋,即相關系數取值大是發生非周期振動共振的必要非充分條件.

為進一步驗證分數階雙穩態系統的非周期振動共振現象,圖4給出了特征信號的振幅A取值不同時的非周期振動共振曲線.對于不同的A值,Csx-B曲線都呈現明顯的非周期振動共振現象;A的取值越大,Csx-B曲線發生振動共振時的峰值越大.此外,特征信號的振幅越大,發生最佳非周期振動共振時所對應的高頻輔助信號的幅值越小.

圖4 特征信號幅值以及系統階數α取值不同時,相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系(仿真參數為a=1,b=1,T=20,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.4.Curves of Csx-B are obtained under different amplitudes of the character signal and different fractional-order values.The simulation parameters are a=1,b=1,T=20 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖5給出了非周期信號脈寬取值不同時,Csx-B曲線所呈現的非周期振動共振現象.隨著T的增大,Csx-B曲線的共振峰值變大,且“共振區”變窄,這與常規頻率響應曲線所呈現的規律類似,較易理解.同時,系統階數所呈現出來的影響規律和其他圖形中的相關規律類似.當然,圖中使用的非周期信號脈沖寬度的取值不能太小,否則非周期振動共振會消失,需要其他的方法來誘導振動共振,這正是本文第3和第4部分要討論的內容.

結合以上圖形進行分析,系統階數對振動共振的影響主要表現在兩個方面:一方面,隨著階數α的變大,Csx-B曲線發生共振時對應的B值變大,如圖2,圖4和圖5所示.這個現象可以從振動共振發生的本質原因來理解,振動共振的發生是因為輔助的快變信號作用于非線性系統,其作用相當于改變了非線性系統的參數,即等效的非線性系統參數是輔助信號振幅的函數,隨著輔助信號振幅的增大,等效非線性系統的平衡點數目將發生變化.對于本文的雙穩系統,輔助信號幅值的增加將會使等效系統由雙穩態變為單穩態,使系統發生了叉形分岔,叉形分岔是引起振動共振的根本原因[6].對于外激勵都是簡諧信號的情況,可以用快慢變量分離法求得發生叉形分岔的臨界B值[8,9],且隨著阻尼階數的增加,引起叉形分岔的臨界B值將增大,這在以往振動共振的相關文獻中都有描述.(1)式中的激勵均為非簡諧信號,但振動共振發生的機理不變,快變形式的輔助信號仍引起等效系統的叉形分岔,且系統階數越大,引起叉形分岔的臨界B值就越大,導致發生共振時需要的B值也變大.另一方面,從時間序列上直觀分析,系統階數對時間序列的形狀也會有影響,如在圖3中所給定的幾種α取值情況下,隨著α的增大,輸出時間序列的形狀與二進制非周期信號之間的相似性明顯增加,這可以從系統的響應特性方面來理解.對于二進制非周期信號,在信號的轉折點處,即信號由負(正)值變為正(負)值的轉折點,相當于對系統輸入一個短時的階躍信號,而系統在二進制非周期信號轉折點處一定時間內的響應是系統瞬態響應、該短時階躍信號引起的穩態響應以及輔助信號引起的響應共同作用的結果,因為考慮的是系統輸出與二進制非周期信號的相似性,在這些響應成分中,短時階躍響應引起的系統響應起主要作用.上升時間是度量系統響應特性的重要指標[13,14],上升時間越快,系統響應達到和輸入信號相似所需要的時間就越短,相似性就越好.從圖3可以看出,隨著α的增大,系統輸出和二進制非周期信號之間的相似性也增加,在相關系數方面應該表現為相關系數變大.這一點在圖4中表現更為明顯,圖4中對應A=0.1的曲線,可以明顯地看到隨著α的增大,Csx-B曲線的共振峰值變大,即發生共振時的最大相關系數的值變大,也即系統輸出的時間序列和輸入的二進制非周期信號之間的相似性變好.總之,非周期振動共振是一種比較復雜的非線性動力學現象,其動力學特性是多種因素共同作用的結果,可以主要從以上兩方面來理解系統階數對非周期振動共振的影響.

圖5 特征信號脈寬以及系統階數α取值不同時,相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系(仿真參數為a=1,b=1,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.5.The curves of Csx-B are obtained under different pulse width of the character signal and different fractionalorder values.The simulation parameters are a=1,b=1 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

3 基于變尺度法的非周期振動共振

為說明本部分所闡述的問題,首先給出一組二進制非周期信號,該信號和圖1中對應的信號具有完全相似的波形,但是時間尺度不同,即脈寬的大小不同.相對于圖1中脈寬的取值,圖6中的脈寬縮小為圖1中脈寬的百分之一.通俗地講,可以認為圖1中的特征信號是慢變信號,而圖6中的特征信號是快變信號.快變特征信號在工程應用中也是廣泛存在的,因此研究快變特征信號的振動共振問題具有理論意義和工程價值.

在圖6的三種不同波形的二進制非周期信號激勵下,直接研究非周期振動共振現象,結果如圖7所示.在圖7中,振動共振現象消失,不能再利用振動共振實現二進制非周期信號的放大.究其原因,是因為系統參數和信號達不到應有的匹配.相比于圖1中的信號,圖6中的信號脈沖寬度縮小,而所使用的系統未發生變化,因此不能誘導振動共振的發生,只有信號參數和系統參數重新達到匹配才能解決這一問題.我們以變尺度法實現信號和系統的匹配變尺度法在高頻簡諧信號激勵下系統的隨機共振[15,16]以及振動共振[17,18]的研究中已經取得了很好的效果,并應用于解決工程實際問題.

圖6 相同幅值和脈寬下二進制非周期信號的三種不同波形(A=0.3,T=0.2)Fig.6.Three different waveforms of the binary aperiodic signal under the same signal amplitude and pulse width(A=0.3,T=0.2).

首先,引入尺度變換

把(5)式代入(1)式并根據分數階導數尺度變換的性質[19],得到

令

則

對比(8)式和(1)式,非周期信號的脈寬被放大了γ倍,能夠將快變信號變為慢變信號,同時輔助信號也進行了相應的頻率變換,能夠匹配特征信號.因此,經過尺度變換后,(8)式中的激勵信號與(1)式中的激勵信號具有了相同的時間尺度,即都為慢變信號.此外,選擇合適的γ,使(8)式中的系統參數a1和b1可以具有與(1)式中的系統參數a和b相同的值或者相同量級的值.所以,系統(1)達到振動共振的匹配條件時,即信號參數和系統參數相匹配時,(8)式中的信號參數和系統參數可以對照(1)式來選取.同時還要注意到,(8)式和(1)式相比,激勵信號的振幅都縮小為原來的1/γα.因此,在時間尺度τ中與(1)式等價的方程應為綜合以上分析過程,在時間尺度t中要實現快變特征信號的非周期振動共振,應該在以下方程中求解:

圖7 特征信號波形以及系統階數α取值不同時,相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系(仿真參數為a=1,b=1,A=0.3,T=0.2,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.7.The curves of Csx-B are obtained under different waveforms of the character signal and different fractionalorder values.The simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=0.2 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖8 變尺度條件下相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系曲線 (仿真參數為a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2,β=10,γ=100) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.8.The curves of Csx-B are obtained by the re-scaled method.The simulation parameters are a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2,β=10 and γ=100:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

在以上分析中,a1,b1都是小參數,一般都是1的量級,γ根據如何把快變特征信號變為慢變信號來設定大小.以下用算例進行分析驗證.

圖9 變尺度條件下的最佳非周期振動共振輸出 (a)α=0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.5;(d)α=1.5,B=1.6;其他仿真參數為a=1,b=1,A=0.3,T=20,β=10,γ=100;紅色粗實線為輸入的特征信號;黑線虛線對應B=0的輸出;藍色細實線為最佳非周期振動共振輸出Fig.9.The optimal AVR output time series are obtained by the re-scaled method:(a)α=0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.5;(d)α=1.5,B=1.6.Other simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=20,β =10 and γ =100.Thick lines in red color is the input character signals;dashed lines in black color is the output corresponding to B=0;thin lines in blue color is the optimal AVR output.

針對圖6中三種波形的二進制信號,圖8中采用變尺度法實現了非周期振動共振現象顯然,基于(10)式實現了圖6中的信號與圖8中所采用系統參數的匹配通過γ=100的尺度變換,相當于把特征信號T=0.2的脈寬變換到與特征信號T=20的脈寬等價的系統中,因此圖8中的Csx-B曲線與圖2中對應的曲線形狀基本相同,這也說明了變尺度后(10)式與(1)式的等價性.使用變尺度法能夠在分數階非線性系統中實現快變特征信號(本文中是指脈寬取值小的情況)的非周期振動共振,且不受脈沖寬度及信號波形的影響.

根據圖8中的曲線,在圖9中給出了變尺度條件下特征信號(信號2)的最佳振動共振輸出.首先,非周期信號在脈寬比較小的情況下實現了振動共振現象,特征信號得到了放大.其次,對比圖9和圖3,發現系統發生非周期振動共振時輸出的波形以及對應輔助信號的幅值B基本相同,些許的小誤差可以認為由數值計算所引起.從圖9的時間序列上再一次說明了變尺度法處理非周期快變特征信號的有效性以及變尺度后(10)式與(1)式的等價性.

為進一步說明變尺度法的有效性,圖10中在脈寬T取值不同時給出了對應于系統階數不同取值的Csx-B曲線.圖10中的曲線與圖5中的對應曲線基本相同,這是因為采用變尺度法后,在γ=100的條件下,脈寬T=0.1,T=0.15,T=0.2在等效的系統中分別變為T=10,T=15,T=20.因此,圖10中的曲線與圖5中的對應曲線基本相同.

圖10 變尺度條件下相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系 (仿真參數為a1=1,b1=1,A=0.3,β=10,γ=100) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.10.The curves of Csx-B are obtained by the re-scaled method.The simulation parameters are a1=1,b1=1,A=0.3,β=10 and γ=100:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖11中在不同的尺度系數下給出了Csx-B曲線.圖11中的曲線與圖10以及圖2中的對應曲線基本一致,這是因為在所選的尺度系數下,等效的脈寬又分別變為T=10,T=15,T=20.因此,出現圖11中的曲線與圖10以及圖2中的對應曲線基本一致的情況.在圖8—圖11中,通過選取不同的信號波形以及不同的特征信號參數和變尺度系數,驗證了變尺度法實現分數階系統中非周期振動共振的有效性,這種方法使得信號參數和系統參數能夠實現較好的匹配,非周期振動共振的發生不再依賴于脈寬的情況.在任何脈寬情況下,都可以使用該方法誘發非周期振動共振.

圖11 變尺度條件下相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系(仿真參數為a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.11.The curves of Csx-B are obtained by the re-scaled method.The simulation parameters are a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

4 基于二次采樣法的非周期振動共振

除變尺度法之外,二次采樣法在基于動力學的共振原理處理高頻信號方面也具有良好的效果.二次采樣法由冷永剛教授等首先提出[20],并應用于工程問題的研究[21,22].二次采樣法的步驟如下:

1)對激勵信號確定第一次采樣的頻率fs,并進行第一次采樣;

2)對第一次采樣后的離散信號進行第二次采樣,二次采樣頻率為fs/κ,通過二次采樣,信號進行了重構激勵信號周期(或脈寬)變為原來的κ倍,κ可以稱為二次采樣頻率比,基于此原理能夠將快變特征信號變換成慢變信號;

3)將經過二次采樣重構的信號輸入到非線性系統,系統參數不必進行變化,仍采用小參數系統,而后得到輸出的時間序列;

4)根據第一次采樣頻率的數值以及二次采樣頻率比進行逆變換,將系統的輸出再變回到第一次采樣頻率下的時間序列;

5)根據計算指標,對上一步的時間序列進行分析,得出結果.

針對圖6中的信號,在圖12中給出了基于二次采樣法得到的Csx-B曲線.在該圖中,振動共振現象明顯,這說明二次采樣法的有效性.圖12中的曲線和圖8中的曲線基本一致,這說明用二次采樣法和變尺度法實現非周期振動共振的等效性.

二次采樣法和變尺度法在實現快變信號的非周期振動共振方面有異曲同工之妙,但其物理過程是不同的.變尺度法是對系統參數,即系統的尺度進行變換,信號振幅相應地放大,信號的頻率或者脈寬不變,用變化后的系統去匹配原信號,實現振動共振.二次采樣法是對輸入的信號進行變換,通過二次采樣將快變特征信號變為慢變信號,系統不發生變換,用變換后的信號去匹配原系統,實現振動共振.在工程應用中,應該根據實際的物理條件來選擇所需要的方法.

5 結 論

以二進制非周期信號為特征信號,以周期方波信號為輔助信號,以相關系數為指標,研究了分數階雙穩系統中的非周期振動共振現象.主要得到了以下結論.

圖12 基于二次采樣法得到的相關系數Csx與輔助信號幅值B之間的關系(仿真參數為a=1,b=1,A=0.3,T=0.2,β=10,κ=100) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.12.The curves of Csx-B are obtained by the twice sampling method.The simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=0.2,β=10 and κ=100:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

1)當特征信號為慢變信號時,即脈寬較大的情況,系統參數為小參數即可滿足系統和信號的匹配,通過調節輔助信號的幅值,能夠誘發非周期振動共振,進而增強特征信號.

2)當特征信號為快變信號,即脈寬較小的情況,需要一定的技術方法才能實現系統參數和信號參數的匹配去誘發振動共振,本文給出了兩種相關方法:第一種方法是變尺度法,通過尺度變換,得到與原系統等效的新系統,實質上是變換了系統的尺度,使新系統的參數和原信號參數達到匹配,從而誘發非周期振動共振,在該方法的使用過程中,變尺度系數是起決定性作用的關鍵因素;第二種方法是二次采樣法,通過對輸入信號進行二次采樣,得到的新信號可與原系統參數進行匹配,進而能夠誘發非周期振動共振,在該方法的使用過程中,二次采樣頻率比是起決定性作用的關鍵因素.

3)系統的階數對響應的動力學行為有重要的影響.隨著系統階數的增大,相關系數與輔助信號幅值之間的曲線所呈現的共振區域變寬,誘發最佳振動共振所需要的輔助信號幅值變大,在時間序列上表現為輸出的時間序列與輸入的特征信號之間的相似性增強.

本文實現了二進制非周期信號在不同脈寬下的非周期振動共振現象,可對非周期信號的增強及檢測提供參考思路.同時,也給出了分數階非線性系統在非周期激勵下的一些典型的非線性動力學行為,對分數階系統的研究具有參考價值.

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