正三角型三芯光纖中等腰對稱平面波的調制不穩定性分析?

裴世鑫 徐輝 孫婷婷 李金花

(南京信息工程大學物理與光電工程學院,江蘇省大氣海洋光電探測重點實驗室,南京 210044)(2017年7月18日收到;2017年11月25日收到修改稿)

1 引 言

調制不穩定性(modulation instability,MI)是指加在平面波上的微小擾動隨傳播距離指數增長的不穩定性行為,它是系統非線性效應和色散效應之間的互相作用導致的對穩態的調制[1?9].在非線性光學領域,MI通常出現在反常色散區,當發生交叉相位調制[10,11]、損耗色散[12]、高階色散[13,14]以及周期色散調制[15]等時,亦可出現在正常色散區.MI可用于產生高重復率的超短脈沖串[16]、制成調制不穩定激光器、產生時間光孤子新光源[17]、孤子光傳輸[18]、光開關、超連續光譜、光纖傳感[19]、頻率轉換器[20]等.

基于單模、單芯的光纖通信容量即將達到極限,為滿足人們日益增長的對信息傳輸容量的需求,近年來,人們提出了一種新的光纖通信技術,即基于多芯/多模光纖的空分復用技術[21?24].非線性效應是影響空分復用技術的主要因素之一,近年來涌現出大量有關多芯/多模光纖非線性效應方面的研究工作,包括非線性多芯/多模光纖模型方程的推導、非線性耦合系數的計算、非線性效應對信息傳輸效率的影響、孤子脈沖在其中傳輸的穩定性及多孤子相互作用等諸多方面的研究.在MI分析方面,文獻中單芯光纖MI的研究已經非常透徹,最新進展包括非均勻光纖MI增益譜分析[25]、高階效應對MI增益譜的影響[26?30]等研究.多芯光纖方面,目前文獻中對雙芯光纖MI已經有較系統性的研究[31?40],包括一芯為正折射率材料、另一芯為負折射率材料制備的雙芯光纖MI分析及高階非線性效應和拉曼散射效應對MI增益譜的影響[41,42];相對之下,對芯數大于2的多芯光纖調制不穩定性分析卻非常少.

本文使用線性穩定性分析方法詳細研究了正三角型三芯光纖中等腰對稱平面波MI增益譜的主要特征,分析了不同場分布下MI增益譜在反常和正常色散區域隨入射總功率、光纖線性耦合系數以及耦合系數色散的演化規律.

2 耦合模型方程

考慮如圖1所示的呈正三角形排列的三芯光纖,其中三芯具有完全相同的特性,波在其中傳播的非線性控制方程為:

其中aj(j=1,2,3)是第j個芯中電場的慢變包絡,z是傳播距離,t是時間坐標,β2是群速度色散系數,γ=2πn2/(λAeff)是非線性系數(n2是折射率,λ是載波波長,Aeff是有效光芯面積);C是線性耦合系數,實現三芯中周期性脈沖轉換,描述線性耦合系數隨入射光頻率的依賴關系,其中w是入射脈沖的角頻率,w0為中心載波頻率.C1又稱為耦合系數色散,會導致脈沖展寬甚至分裂現象.

方程(1)—(3)允許等腰對稱平面波,即

其中P1,P2和波數k之間的約束關系如文獻[43]中(7)—(9)式所示,在此不再重復展示.

圖1 正三角型三芯光纖示意圖Fig.1.Scheme illustration of equilateral three core fibers.

設總功率P=P1+2P2,則P≥Pmin,如文獻[43]中(10)式所示,Pmin值由線性耦合系數C和非線性系數γ決定.對一給定的總功率P,不同芯中的場分布為

其中s為三階多項式

的正實數解.

對一給定的三芯光纖,當總功率P從Pmin逐漸增加時,多項式(6)總存在兩組不同的正實數s解,同時滿足P1和P2的約束關系,不失一般性,令C=200 m?1,γ=5(kW·m)?1,由文獻[43]中(10)式知最小總功率Pmin=158 kW,當總功率P從158 kW增加時,芯1和芯2(芯3中場與芯2中場完全相同)中場分布如下.

1)第一種場分布

如表1所列,芯1中的入射功率總大于芯2中的入射功率,即P1＞P2,且隨著總功率P的增加,P1越來越大,P2越來越小.當改變C或者γ的值時,該場分布規律不變.

表1 C=200 m?1及γ=5(kW·m)?1條件下總功率P與P1,P2數值關系(一)Table 1.The first kind of relationship among P,P1and P2with C=200 m?1and γ =5(kW·m)?1.

表2 C=200 m?1和γ=5/(kW·m)時總功率P與P1,P2數值關系(二)Table 2.The second kind of relationship among P,P1and P2with C=200 m?1and γ =5(kW·m)?1.

2)第二種場分布

當P從最小值158 kW增加時,總的規律是P1越來越小,P2越來越大.當P在158 kW附近時,P1＞P2,當P的增加到約180 kW時,出現臨界值P1=P2,當P繼續增加時,會迅速出現P1＜P2,如表2所列,這與上述第一種場分布相反.同樣,當改變C或者γ的值時,隨P增加,P1越來越小,P2越來越大這一規律不變.

3 MI特性

依線性穩定性分析方法,本文得出與文獻[43]中色散關系方程即方程(28)—(34)完全相同的色散關系,這里不再展示.文獻[43]實質上只粗糙地分析了第一種場分布時三芯光纖MI增益譜的主要特征,本文則在文獻[43]的基礎上詳細研究兩種場分布下三芯光纖的MI增益譜的主要特征,從而完善正三角型三芯光纖中等腰對稱平面波的整個調制不穩定性分析.

3.1 第一種場分布

3.1.1 正常色散區

考慮參數C=200 m?1,γ=5(kW·m)?1,相應的最小入射總功率Pmin=158 kW.

圖2描述了當β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0 ps/m時正三角型三芯光纖等腰對稱平面波MI增益譜隨總功率P的演化.在最小總功率P=158 kW處有兩個MI帶,其中高頻MI帶處于主導地位.隨著P的增加,低頻MI帶增益逐步增強并迅速趨于飽和,而高頻MI帶增益則迅速減小,同時出現了一個新的微弱增益帶.

圖2所示的三芯光纖MI增益譜與雙芯光纖非對稱平面波在正常色散區域中MI增益譜的主要特征非常類似,另外我們發現耦合系數C和耦合系數色散C1對增益譜的影響亦與雙芯光纖類似,具體可參考文獻[35].其主要區別是對于相同尺寸和材料的雙芯光纖,三芯光纖中最小總功率(158 kW)約是雙芯光纖最小總功率(80 kW)的2倍.

三芯光纖MI增益譜與雙芯光纖增益譜相似的可能原因是由該場的分布特點所決定的,由表1可知P1總大于P2,而且隨總功率P的增加,P1?P2,換言之,相對于芯1中的場,芯2和芯3中的場非常弱,因此,三芯光纖可以等價地看作一個由芯1與芯2組成的雙芯光纖,芯3的場可以看作微小擾動,故該場分布下三芯光纖等腰對稱平面波的MI增益譜與雙芯光纖非對稱平面波MI增益譜主要特征相似.

圖2 參數β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,正常色散區MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.2.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

3.1.2 反常色散區

考慮參數C=200 m?1,γ=2.5(kW·m)?1,相應的最小入射總功率Pmin=316 kW.

圖3描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,MI增益譜隨總功率P的演化過程.隨著P的增加,該MI增益帶逐步增強;并且圖3所示的MI增益譜與雙芯光纖非對稱平面波在反常色散區域中MI增益譜的主要特征非常相似,耦合系數C和耦合系數色散C1對增益譜的影響亦與雙芯光纖類似,在此不再展示.同樣,其主要區別是對于相同尺寸和材料的雙芯光纖,三芯光纖中最小總功率(316 kW)約是雙芯光纖最小入射總功率(160 kW)的2倍.

反常色散情況下,三芯光纖等腰對稱平面波該場分布對應的MI增益譜與雙芯光纖非對稱平面波增益譜相似的主要原因與3.1.1節中的分析相同.

圖3 參數β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,反常色散區MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.3.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the anomalous dispersion regime with β2= ?0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

3.2 第二種場分布

3.2.1 正常色散區

考慮參數C=200 m?1,γ=5(kW·m)?1,相應的最小總功率Pmin=158 kW.

圖4描述了參數β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,MI增益譜隨總功率P的變化.首先值得注意的是零擾動頻率即無擾動初始條件時,MI增益不為零,反而最大;在P=158 kW處,只有一個MI帶,隨著P的增加,增益不斷增強;且在P值增加的過程中,于不同P值臨界點出現了兩個新生的隨著P增加而減小的微弱增益帶,但低頻MI帶始終處于絕對主導地位.顯然,第二種場分布對應的增益譜主要特征與雙芯光纖非對稱平面波增益譜的主要特征完全不同.

圖5描述了β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0時,MI增益譜隨線性耦合系數C的演化.可以發現MI帶隨著C的增加而不斷增強,這與雙芯光纖中線性耦合系數的影響類似.

圖4 參數β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,正常色散區MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.4.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

圖5 參數β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m時,正常色散區MI增益譜隨耦合系數C變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.5.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the coupling coefficient C in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m.

圖6 參數β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時,正常色散區MI增益譜隨耦合系數色散C1變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.6.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the coupling coefficient dispersion C1in the normal dispersion regime with β2=0.02 ps2/m,γ =5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1.

圖6描述了β2=0.02 ps2/m,γ=5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時MI增益譜隨耦合系數色散C1的變化.低頻MI帶幾乎不受耦合系數色散C1的影響,高頻MI帶先減弱,然后消失,再重現,并且逐步增強并趨于飽和.我們嘗試了不同大小的入射功率,發現高頻MI帶增益總是很小,低頻MI帶始終處于主導地位,故三芯光纖中耦合系數色散對增益譜的影響非常小,而在雙芯光纖中,在耦合系數色散影響下出現的高頻MI帶增益可大于低頻MI帶增益.

3.2.2 反常色散區

考慮參數C=200 m?1,γ=2.5(kW·m)?1,最小入射總功率Pmin=316 kW.

圖7描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,MI增益譜隨總功率P的演化.MI帶隨P的增加而增強,在無擾動條件時對應的MI增益不為零,而在雙芯光纖非對稱平面波增益譜中,零擾動頻率對應的增益為零.

圖8描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0時,MI增益譜隨線性耦合系數C的演化,MI帶隨C的增加而逐漸減弱,其中零擾動頻率附近增益先增大后減小,這與雙芯光纖非對稱平面波增益譜中線性耦合系數的影響基本類似.

圖9描述了β2=?0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時,MI增益譜隨耦合系數色散C1的變化.耦合系數色散C1幾乎不影響低頻MI帶,其主要影響是產生一個高頻MI帶,但是該高頻MI帶增益非常小.我們嘗試了不同大小的入射功率,低頻MI帶則始終處于主導地位.因此,耦合系數色散C1的影響非常小,而其對雙芯光纖增益譜的影響則非常顯著.

圖7 參數β2=? 0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0時,反常色散區MI增益譜隨總功率P變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.7.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the total power in the anomalous dispersion regime for β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,C=200 m?1,C1=0.

圖8 參數β2=? 0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m時,反常色散區MI增益譜隨耦合系數C變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.8.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with the coupling coefficient C in the anomalous dispersion regime with β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C1=0 ps/m.

圖9 參數β2=? 0.02 ps2/m,γ=2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1時,反常色散區MI增益譜隨耦合系數色散C1變化的三維圖(a)和二維圖(b)Fig.9.(a)3D and(b)2D plots showing the variation of the MI gain spectrum with coupling coefficient dispersion C1in the anomalous dispersion regime with β2= ? 0.02 ps2/m,γ =2.5(kW·m)?1,P=400 kW,C=200 m?1.

4 結 論

正三角型三芯光纖中等腰對稱平面波有兩種不同的場分布,第一種場分布即如圖1的芯1中場隨總功率增強而越來越強,芯2、芯3中場越來越弱;第二種場分布即如圖1的芯2和芯3中場隨總功率增強而越來越強,芯1中場越來越弱,芯2、芯3中場越來越強.本文首先詳細地分析了正三角型三芯光纖等腰對稱平面波兩種場分布的特點,其次系統研究了它在兩種場分布下調制不穩定性增益譜的主要特征,其中第一種場分布對應的調制不穩定性增益譜主要特征與雙芯光纖非對稱平面波的增益譜相似[35,43],而第二種場分布對應的調制不穩定性增益譜的主要特征與雙芯光纖非對稱平面波增益譜的主要特征有很大不同.

無擾動時,第二種場分布在正常和反常色散區域均可產生不穩定性增益,且在正常色散區域,無擾動情況對應的增益最強,而在雙芯光纖非對稱平面波增益譜中,零擾動頻率對應的MI增益為零[35].

線性耦合系數在正常色散區域會增強增益譜的增益,在反常色散區域會減弱增益譜的增益,這與其在雙芯光纖中的影響相似,而耦合系數色散在正常和反常色散區域對三芯光纖等腰對稱平面波的MI增益譜影響均非常弱,這與其在雙芯光纖中的影響完全不同.

[1]Alves E O,Cardoso W B,Avelar A T 2016JOSA B33 1134

[2]Copie F,Conforti M,Kudlinski A,Trillo S,Mussot A 2017Opt.Express25 11283

[3]Armaroli A,Biancalana F 2014Opt.Lett.39 4804

[4]Benjamin T B,Feir J E 1967J.Fluid Mech.27 417

[5]Fang Y,Yakimenko V E,Babzien M,Fedurin M,Kusche K P,Malone R,Vieira J,Mori W B,Muggli P 2014Phys.Rev.Lett.112 045001

[6]Mithun T,Porsezian K 2012Phys.Rev.A85 013616

[7]Zhong X,Cheng K,Chiang K S 2014JOSA B31 1484

[8]Canabarro A,Santos B,de Lima Bernardo B,Moura A L,Soares W C,de Lima E,Gleria I,Lyra M L 2016Phys.Rev.A93 023834

[9]Kibler B,Amrani F,Morin P,Kudlinski A 2016Phys.Rev.A93 013857

[10]Armaroli A,Trillo S 2014JOSA B31 551

[11]Agrawal G P 1987Phys.Rev.Lett.59 880

[12]Tanemura T,Ozeki Y,Kikuchi K 2004Phys.Rev.Lett.93 163902

[13]Dinda P T,Porsezian K 2010JOSA B27 1143

[14]Bale B G,Boscolo S,Hammani K,Finot C 2011JOSA B28 2059

[15]Finot C,Wabnitz S 2015JOSA B32 892

[16]Tang D Y,Guo J,Song Y F,Li L,Zhao L M,Shen D Y 2014Opt.Fiber Technol.20 610

[17]Kennedy R E,Popov S V,Taylor J R 2006Opt.Lett.31 167

[18]Pan N,Huang P,Huang L G,Lei M,Liu W J 2015Acta Phys.Sin.64 090504(in Chinese)[潘楠,黃平,黃龍剛,雷鳴,劉文軍2015物理學報64 090504]

[19]Gu B,Yuan W,Frosz M H,Zhang A P,He S L,Bang O 2012Opt.Lett.37 794

[20]Bendahmane A,Mussotm A,Kudlinski A,Szriftgiser P,Conforti M,Wabnitz S,Trillo S 2015Opt.Express23 30861

[21]Richardson D J,Fini J M,Nelson L E 2013Nature Photon.7 354

[22]Saitoh K,Matsuo S 2016J.Lightwave Technol.34 55

[23]Radosavljevic A,Danicic A,Petrovic J,Maluckov A,Haziewski L 2015JOSA B32 2520

[24]Sillard P,Molin D,Bigot-Astruc M,Amezcua-Correa A,de Jongh K,Achten F 2016J.Lightwave Technol.34 1672

[25]Wang L,Zhu Y J,Qi F H,Li M,Guo R 2015Chaos25 063111

[26]Zhang J H,Wang L,Liu C 2017Proc.R.Soc.A473 20160681

[27]Wang L,Zhang J H,Liu C,Li M,Qi F H 2016Phys.Rev.E93 062217

[28]Cai L Y,Wang X,Wang L,Li M,Liu Y,Shi Y Y 2017Nonlinear Dyn.90 2221

[29]Wang L,Jiang D Y,Qi F H,Shi Y Y,Zhao Y C 2017Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.42 502

[30]Wang L,Wang Z Q,Sun W R,Shi Y Y,Li M,Xu M 2017Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.47 190[31]Ding W S,Xi L,Liu L H 2008Acta Phys.Sin.57 7705(in Chinese)[丁萬山,席崚,柳蓮花 2008物理學報 57 7705]

[32]Trillo S,Wabnitz S,Stegeman G I,Wright E M 1989JOSA B6 889

[33]Tasgal R S,Malomed B A 1999Phys.Scr.60 418

[34]Xiang Y J,Wen S C,Dai X Y,Fan D Y 2010Phys.Rev.E82 056605

[35]Li J H,Chiang K S,Chow K W 2011JOSA B28 1693

[36]Li J H,Chiang K S,Malomed B A,Chow K W 2012J.Phys.B45 165404

[37]Ding W,Staines O K,Hobbs G D,Gorbach A V,de Nobriga C,Wadsworth W J,Knight J C,Skryabin D V,Strain M J,Sorel M 2012Opt.Lett.37 668

[38]Tatsing P H,Mohamadou A,Bouri C,Tiofack G L,Kofane T C 2012JOSA B29 3218

[39]Nithyanandan K,Raja R V J,Porsezian K 2013Phys.Rev.A87 043805

[40]Zhang J G,Dai X Y,Zhang L F,Xiang Y J,Li Y F 2015JOSA B32 1

[41]Ali A K S,Porsezian K,Uthayakumar T 2014Phys.Rev.E90 042910

[42]Mohamadou A,Tatsing P H,Tiofack L C G,Tabi C B,Kofane T C 2014J.Mod.Opt.61 1670

[43]Li J H,Zhou H,Chiang K S,Xiao S R 2016JOSA B33 2357