耦合含時滯的相互依存網(wǎng)絡的局部自適應異質同步?

王宇娟 涂俐蘭 宋帥 李寬洋

(武漢科技大學理學院,武漢 430065)

(2017年8月30日收到;2017年11月4日收到修改稿)

1 引 言

自20世紀末起,復雜網(wǎng)絡一直是科學界的熱點研究領域,取得了一系列研究成果,但是,很多成果僅僅適用于被視為孤立系統(tǒng)的單個網(wǎng)絡[1].隨著科技和社會的發(fā)展,不同系統(tǒng)或網(wǎng)絡之間的相互聯(lián)系越來越緊密,即網(wǎng)絡間的耦合越來越強[2].這使得某個網(wǎng)絡中節(jié)點的故障可能引起其他網(wǎng)絡中節(jié)點的崩潰,反之亦然[3].譬如:交通系統(tǒng)中航空與鐵路運輸網(wǎng)絡的復合;計算機網(wǎng)絡中物聯(lián)網(wǎng)與無線傳感器系統(tǒng)的相互支撐;電力基礎設施中變電供電系統(tǒng)與計算機網(wǎng)絡的安全牽制;現(xiàn)實生活中社會關系網(wǎng)和流行病傳播網(wǎng)之間的互相影響;投資與實業(yè)的合作演化等[4?8].近年來,國內外學者提出的相互依存網(wǎng)絡能更好地刻畫這種存在相互影響、相互依賴耦合作用的“網(wǎng)絡的網(wǎng)絡”,已經(jīng)成為當今復雜網(wǎng)絡領域最前沿的重要研究方向之一[9,10].

同步問題是復雜動力網(wǎng)絡研究中一個有趣且有意義的問題.最主要的原因是網(wǎng)絡同步在各個科技領域都有許多應用,譬如網(wǎng)絡通信中的信息交換一致,數(shù)值信號、模擬信號的同步轉換等[11?14].過去的20年里,復雜網(wǎng)絡的各種同步問題已經(jīng)進行了深入探討[15?21],并提出了各種同步方法,如聚類同步、相位同步、投影同步、廣義同步、滯后同步等[22?26].在復雜動力網(wǎng)絡的行為分析中,時滯扮演著非常重要的角色,對時滯的研究不可避免.研究表明,時滯對復雜動力網(wǎng)絡的行為有顯著影響[17?19,27,28].文獻[17—19]分別探討了時滯對復雜網(wǎng)絡同步的影響,并提出了使網(wǎng)絡達到同步的刻畫指標;對于時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡,文獻[27]分析了一種新的基于加權時滯的穩(wěn)定性判據(jù);文獻[28]通過引入新的時間變量使得網(wǎng)絡的時滯變小,從而提高網(wǎng)絡的同步能力.

迄今為止,科學界對復雜網(wǎng)絡同步的研究主要限于單個復雜網(wǎng)絡,對“網(wǎng)絡的網(wǎng)絡”的研究還處于初級階段,特別是相互依存網(wǎng)絡[29?33].文獻[29]提出了一種基于脈沖相互作用的具有時滯的多重遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡全局同步的新結果,其中的脈沖相互作用是指一定的神經(jīng)網(wǎng)絡只在脈沖時刻相互通信,而在剩余時間獨立;文獻[30]探討了多層網(wǎng)絡中多智能體系統(tǒng)的同步,提出了加性耦合和馬爾可夫開關耦合俘獲兩種數(shù)學模型的分層鏈接;文獻[31]研究了自適應多層網(wǎng)絡中的同步問題;文獻[32]發(fā)現(xiàn)連接方式對兩層網(wǎng)絡的同步能力具有很大的影響,為了獲得良好的同步能力,最有效的方法是連接度大的節(jié)點;文獻[33]研究了相互依存網(wǎng)絡的廣義互同步.

單個網(wǎng)絡上的動力學研究存在一定局限性,為了更好地反映實際網(wǎng)絡的演化行為機理,將這些動力學行為放在相互依存網(wǎng)絡中進行研究就顯得尤為重要.基于此,本文深入地研究耦合含時滯的相互依存網(wǎng)絡的局部自適應異質同步問題,并提出了新的局部自適應異質同步控制器和充分條件,創(chuàng)新點如下:1)考慮的網(wǎng)絡不僅含有非線性、光滑的耦合函數(shù),而且時滯同時出現(xiàn)在子網(wǎng)內和子網(wǎng)間的耦合項中,因此研究的相互依存網(wǎng)絡較其他文獻更具一般性;2)利用自適應控制和線性矩陣不等式(LMI)方法,從理論上提出了耦合時滯相互依存網(wǎng)絡的局部自適應異質同步充分條件,這些條件簡單易行.

2 預備知識

考慮由兩個子網(wǎng)絡構成的具有時滯的相互依存動力網(wǎng)絡,節(jié)點數(shù)為N1=N2=N,網(wǎng)絡中每個節(jié)點都是一個n維系統(tǒng),且子網(wǎng)絡間是一對一相互依賴的關系,網(wǎng)絡的狀態(tài)方程可表示為

則Lk=?dkAk是一個拉普拉斯矩陣.ckl是子網(wǎng)絡k對子網(wǎng)絡l的耦合強度,代表了兩個子網(wǎng)絡對應節(jié)點間的相互依存關系.

假設1在本文中,總假設c12=c21=c.

假設2設是函數(shù)在s1(t)處的雅可比矩陣;設其中是的最大值.再設是函數(shù)在s2(t)處的雅可比矩陣;設其中是的最大值.

假設3設是函數(shù)處的雅可比矩陣;設是函數(shù)在處的雅可比矩陣;再設B=(bij)n×n,D=(dij)n×n,且bij和dij分別是bij(t? τ)和dij(t? τ)(t∈R)的最大值.

注1在本文中,E代表適當維數(shù)的單位矩陣.

注2本文主要討論(1)式網(wǎng)絡在控制器的作用下達到局部自適應漸近異質同步問題,所以,若對(1)式網(wǎng)絡施加控制器,可得其狀態(tài)方程如下.

當k=1時,子網(wǎng)1可表示為

當k=2時,子網(wǎng)2可表示為

定義1(漸近異質同步) 一般地,對于相互依存網(wǎng)絡((1)式),若

則稱(1)式網(wǎng)絡達到漸近異質同步,其中s1(t)∈Rn和s2(t)∈Rn分別為

和

這兩個孤立節(jié)點系統(tǒng)的解.

同時,(6)式和(7)式系統(tǒng)分別可表示為

引理1(Schur complement[34]) 假設Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)和S(x)都是x的矩陣函數(shù),則線性矩陣不等式

等價于下列條件中的任何一個:

引理2[35]對于任意矩陣X,Y∈Rn×m,矩陣不等式XTY+YTX≤XTAX+YTA?1Y成立,其中AT=A＞0,A∈Rn×n.

3 主要結果

根據(jù)上述假設,提出相互依存網(wǎng)絡((1)式)的局部自適應漸近異質同步的充分條件.

定理1當假設2和假設3成立時,若存在兩個對稱正定矩陣P＞0和Q＞0,兩個正實數(shù)矩陣使得

成立,則(1)式網(wǎng)絡在控制器

和自適應律

證明構造一個李雅普諾夫函數(shù)為

由引理2,有

而且

所以,

由假設2和假設3,有

假設

其中

且設

則

(21)式表明在各種假設下,時滯耦合的相互依存網(wǎng)絡((1)式)達到了局部自適應漸近異質同步.因為不等式(20)式不是標準的LMI形式,利用引理1,可以將其改寫為不等式(11)式.至此,定理1得證.

4 數(shù)值模擬

為了驗證上述理論分析的主要結果,對NW小世界子網(wǎng)絡和BA無標度子網(wǎng)絡構成的相互依存網(wǎng)絡進行數(shù)值模擬,其中子網(wǎng)絡間是一對一的相互依賴關系.考慮具有100個節(jié)點的NW小世界子網(wǎng)絡((3)式),其平均路徑長度為1.616,聚類系數(shù)為0.37934,節(jié)點平均度為38.02.網(wǎng)絡的每個節(jié)點動力系統(tǒng)都是Lorenz系統(tǒng),

式中a1,b1,c1是實數(shù).當a1=10,b1=28,c1=8/3時,系統(tǒng)是混沌的.

另外一個子網(wǎng)絡為含100個節(jié)點的BA無標度子網(wǎng)絡((4)式),其平均路徑長度為2.1376,聚類系數(shù)為0.21285,節(jié)點平均度為10.74.網(wǎng)絡的節(jié)點動力系統(tǒng)是R?ssler系統(tǒng),

式中a2,b2,c2是實數(shù).當a2=b2=0.2,c2=5.7時,系統(tǒng)是混沌的.

同時,設網(wǎng)絡((3)式和(4)式)的內部耦合函數(shù)為

在所有的數(shù)值模擬中,為了簡單起見,設網(wǎng)絡中的參數(shù)分別為τ=1,c=0.03,d1=0.02,d2=0.02.并設孤立節(jié)點系統(tǒng)的初始值分別為s1=(3,?10,8),s2=(2,8,?10);子網(wǎng)絡(3)式和(4)式的初始值分別為自適應律的初始值和反饋增益分別為和

圖1 子網(wǎng)絡((3)式)的運動軌跡圖Fig.1.Trajectory of the sub-network(Eq.(3)).

圖2 子網(wǎng)絡((4)式)的運動軌跡圖Fig.2.Trajectory of the sub-network(Eq.(4)).

在上述條件下,相互依存網(wǎng)絡的子網(wǎng)絡((3)式和(4)式)的各個節(jié)點的動力軌跡圖分別如圖1和圖2所示.圖1和圖2說明隨著時間的改變,網(wǎng)絡中的每個節(jié)點的運行軌跡處于雜亂的狀態(tài).

根據(jù)定理1,利用MATLAB的LMI工具箱,可求得存在正定矩陣P和Q,

使得滿足定理1的條件((11)式).對網(wǎng)絡((3)式和(4)式)施加控制器((12)式),在自適應律((13)式)的作用下,獲得誤差系統(tǒng)的軌跡圖,如圖3和圖4所示.圖3和圖4表明,在自適應控制器的作用下,在1 s之內第二個、第三個子圖的誤差分量很快都趨于零,而第一個子圖的軌跡則在零的附近有非常微小的擺動,這說明在控制器的作用下此時的誤差運動軌跡是有界的,也是漸近穩(wěn)定的.圖5和圖6則說明隨著時間的增加(如增大到5 s),最終完全趨于零.此時,兩個子網(wǎng)絡各自完全自適應同步到各自孤立系統(tǒng)的運動軌跡.

圖3 子網(wǎng)絡((3)式)節(jié)點誤差系統(tǒng)的軌跡圖Fig.3. Trajectory of the error system of the subnetwork(Eq.(3)).

圖4 子網(wǎng)絡((4)式)節(jié)點誤差系統(tǒng)的軌跡圖Fig.4.Trajectory of the error system of the subnetwork(Eq.(4)).

圖5 誤差分量的軌跡圖Fig.5.Trajectory of.

圖6 誤差分量的軌跡圖Fig.6.Trajectory of.

在相互依存網(wǎng)絡的兩個子網(wǎng)絡((3)式和(4)式)達到自適應漸近異質同步的同時,圖7和圖8說明自適應律((13)式)的軌跡也很快趨于穩(wěn)定值,從而驗證了本文提出理論的正確性和有效性.

圖7 子網(wǎng)絡((3)式)自適應律軌跡圖Fig.7.Adaptive laws of the sub-network(Eq.(3)).

5 結 論

在復雜網(wǎng)絡間相互作用關系日益增強的今天,需要將研究目光由單個網(wǎng)絡轉向更一般的由多個子網(wǎng)絡所組成的相互依存網(wǎng)絡,進而對實際系統(tǒng)或網(wǎng)絡的運作有更深入、全面的了解.研究了由兩個子網(wǎng)絡構成的相互依存網(wǎng)絡的局部自適應異質同步問題,其中兩個子網(wǎng)內和子網(wǎng)間耦合都具有時滯,網(wǎng)絡中耦合關系是滿足光滑性的非線性函數(shù).首先對網(wǎng)絡進行局部線性化,再利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,結合自適應控制技術和線性矩陣不等式方法,對網(wǎng)絡施加合適的控制器,提出了時滯相互依存網(wǎng)絡達到自適應漸近異質同步的充分條件.值得注意的是,本文所提出的控制器簡單且易操作.最后,利用NW小世界子網(wǎng)絡和BA無標度子網(wǎng)絡構成的相互依存網(wǎng)絡進行了數(shù)值模擬,結果表明提出理論的正確性和有效性.該研究為揭示網(wǎng)絡行為規(guī)律提供了新的思路,也為實際網(wǎng)絡建設(如基礎設施系統(tǒng))[3?8]提供了理論基礎.由于提出的理論結果與時滯無關,因此下一步工作是探討相互依存網(wǎng)絡時滯相關的同步問題.

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圖8 子網(wǎng)絡((4)式)自適應律軌跡圖Fig.8.Adaptive laws of the sub-network(Eq.(4)).

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