帶碰撞角約束的三維有限時間滑模制導律

趙曜，李璞，劉娟，陳喆，劉向東

（1.中國運載火箭技術研究院，北京 100076； 2.國防科學技術大學，長沙 410073；3.北京理工大學 自動化學院，北京 100081）

末制導的首要任務是控制導彈精確命中目標，隨著科技的日新月異，現代軍事應用對末制導技術的性能要求也日益提高。在某些特定的情況下，為了增強打擊的毀傷效果或發揮導彈所攜彈頭的最大殺傷能力，往往需要導彈從指定的方向、以特定的姿態對目標進行打擊，因而產生了帶碰撞角度約束的制導問題［1］。

由于形式簡單、所需的信息量少，比例制導在實際工程領域得到了廣泛的應用［2-4］。然而傳統的比例制導方法只能夠實現末端脫靶量為零，對于碰撞角約束要求無法滿足。為了解決上述問題，學者們提出了多種改進的比例制導方法［5-9］。一種較為典型的方法是偏置的比例制導。這類方法是在傳統的比例制導律的基礎上添加一個時變偏置項以消除碰撞角誤差［5-6］。然而，偏置的比例制導在對目標進行追尾打擊時性能會急劇下降［9］。另一種改進的比例制導方法是通過在線更新比例系數得到的。文獻［7］針對高超聲速滑翔飛行器打擊地面靜止目標提出了一種自適應三維末制導律，該制導律的比例系數以特定的閉環形式進行連續更新，使得導彈的彈道傾角和偏角末值均滿足期望要求。然而在初始指向誤差較大的情況下，文獻［7］的方法會給制導初段帶來巨大的誘導阻力并導致較長的飛行時間。為了解決該問題，Ratnoo和 Ghose［8］在制導初始段設計了一種定向制導，該制導律也是比例系數隨時間變化的比例制導。文獻［9］進一步對該方法進行了擴展，使其能夠打擊常值速度目標。然而文獻［8-9］中提出的制導方法僅能應用于二維平面。

作為一種變結構控制方法，滑模控制對模型不確定性和外部擾動有著較強的魯棒性，因而在末制導系統設計中得到了廣泛的應用。周荻等［10］針對尋的導彈提出了一種自適應滑模制導律，并分別通過理論分析和數值仿真驗證了制導律對參數攝動的魯棒性。然而，該制導律并未考慮碰撞角約束。Shima［11］基于滑?？刂铺岢隽艘环N攔截角度約束制導律，該制導律能夠應用于對目標進行迎頭打擊、尾追打擊和彈頭追蹤打擊等情形。文獻［12］進一步考慮了時變的加速度邊界約束，對 Shima［11］的制導律進行了擴展研究。但是該制導方法并未考慮導彈的氣動特性。Hou和Duan［13］基于自適應滑?？刂品椒ㄔO計了整合的制導控制策略，并通過非線性導彈模型對制導律的有效性進行了驗證。但是該制導律僅研究了彈目在同一二維平面的情形，并且可實現的碰撞角范圍非常有限。因此，需要進一步研究可實現碰撞角范圍較廣且能應用于三維空間的滑模制導方法。

彭雙春等［14］結合微分幾何和李群方法的優點，設計了一種三維制導律，但是該方法精度對制導參數的優化結果較為敏感。文獻［15］利用變結構控制方法設計了魯棒制導律，然而該方法設計時忽略了導彈的動態特性?；诜蔷€性最優控制理論，文獻［16］提出了一種模型預測靜態規劃三維制導律，該制導方法不僅能夠滿足期望的終端約束，也能使制導指令最小化。然而，應用該方法需要首先提供指令初解，然后通過在線優化得到實際制導指令，且優化的收斂速度與初解精度直接相關。文獻［17］基于狀態相關黎卡提方程方法設計了帶碰撞角約束的三維制導律，該方法雖然不需要提供初解信息，但是仍需在線求解狀態相關黎卡提方程，計算量較大，不利于彈上計算機求解。

本文基于導彈的非線性運動學和動力學模型提出了一種三維有限時間滑模制導方法，實現了以期望的碰撞角對地面靜止目標的打擊要求。首先根據終端約束條件設計了滑模函數，然后利用Lyapunov方法得到了解析的制導律并證明了閉環系統的穩定性。本文提出的制導方法具有以下優勢：①無需對模型作解耦或線性化處理；②縱向和側向平面碰撞角約束均能滿足且可實現的碰撞角范圍較大；③得到了解析的制導指令，在線計算量小；④閉環系統對外界擾動和參數不確定性不敏感。

1 系統模型

導彈三維質點運動學模型［17］為

式中：（x，y，z）為導彈質心位置坐標；V、γ和 χ分別為導彈的速度、彈道傾角和彈道偏角；D為阻力；g為重力加速度；m為導彈質量；ay和az分別為導彈法向和側向加速度，與導彈速度矢量垂直，因而只改變導彈的速度方向，不改變速度大小。令（xf，yf，zf）為目標的位置坐標，γf和 χf分別為縱向和側向期望的碰撞角末值。帶碰撞角約束的三維末制導問題可描述為：設計制導律，使得脫靶量和碰撞角誤差在導彈落地時刻同時收斂為0，即設計ay，az，使得下式成立：

2 制導律設計

首先，構造2個新變量 λ1和 ξ1，具體形式如下所示：

式中：Y＝y0-y，y0為導彈初始高度值；因為Y僅與高度信息相關，因此稱其為“偽高度變量”；Yf為Y的末值。

以Y為自變量對式（3）求微分，可得

由式（3）和式（4）容易得到以下結論：如果λ1、ξ1、λ2和 ξ24個變量在Y→Yf時（即y→yf時）同時收斂為 0，則有x＝xf，z＝zf，γ＝γf，χ＝χf，期望的設計指標（見式（2））也就得到了滿足。

基于上述結論進行帶碰撞角約束的有限時間滑模制導律設計，首先給出以下定理：

定理1考慮一變量 σ1，將其對Y求導得到σ2。如果將σ2作為控制量，且其具有如下形式：

則σ1和σ2將會在Y＝Yf時同時收斂為0。

證明由式（5），可得到如下等式關系：

通過調整變量位置，可將式（6）整理成如下形式：

假設式（7）的初始狀態為（Yb，σ1b）。則將式（7）從（Yb，σ1b）積分到未來某狀態點（Y，σ1）可得

由式（8）可推得

將式（9）兩邊取指數運算，即可得到 σ1的解析表達式如下：

再將式（10）對Y求微分，可進一步得到 σ2的解析表達式：

由式（10）和式（11）可以看出，如果n＞1成立，則在Y＝Yf時σ1和σ2將會同時收斂到0。

通過以上定理可以發現，式（5）給出了 σ2的一條合理的變化軌跡，即如果σ2按照式（5）定義的軌跡變化，則σ1和σ2將會在Y＝Yf時同時收斂為0。因此，制導律的設計目標可以轉化為通過設計控制器使得λ2和 ξ2均按照式（5）定義的軌跡變化來實現。

設計有限時間滑?？刂破鱽韺崿F上述指標要求。首先對 λ2和 ξ2再求一次微分，可以得到如下等式：

令式（12）中的 γ′，χ′為輔助控制量，實際控制量ay，az可由輔助控制量求得。利用式（3）和式（4）中的變量 λ1，ξ1，λ2，ξ2，設計如下的滑模函數：

令式（14）和式（15）均等于 0，聯立求解可得到如下等效控制：

選取如下形式的控制量：

式中：等效控制量 γ′eq和 χ′eq由式（16）給出；γ′dis和χ′dis為切換控制量。

將式（19）代入式（18），經整理可得

根據 Lyapunov穩定性理論，若V′1≤0且V′2≤0，則閉環系統穩定。因此，可令

式中：k1、k2為切換增益。將式（16）和式（22）代入式（19）即可得到輔助控制量為

進一步將式（23）結果代入式（14）和式（15），可得

從式（24）可以看出，參數k1和k2的物理意義分別為滑模函數S1和S2接近滑模面的速率。因此，可將切換增益設計如下：

其中：Yb＝pYf，p∈（0，1），因此有Yb＜Yf?；：瘮礢1和S2將在Y＝Yb時收斂到零，即Y∈［Yb，Yf］時，有S1＝S2＝0。由上述結論可知，設計的控制律式（23）可使得 λ2和 ξ2在Y∈［Yb，Yf］時均按照式（5）定義的軌跡變化。進而由定理 1可知 λ1、ξ1、λ2和 ξ24個變量在Y＝Yf時同時收斂為 0，將式（3）和式（4）代入求解，易得即滿足了期望的設計指標式（2）。因此，可得到結論：在控制律式（23）作用下，導彈能以期望的彈道傾角和彈道偏角對目標進行精確打擊。

結合式（1）和式（23），可得到如下帶碰撞角約束的三維制導律：

在制導律式（26）作用下，系統狀態在達到滑模面之后會沿著滑模面繼續滑動，此時控制律中的切換函數會引起抖振現象。為了抑制抖振，采用了飽和函數法，即用連續的飽和函數sat（S）去近似切換函數sgn（S）。飽和函數選擇為如下形式：

式中：ε為邊界層厚度，其值需要折中選擇。邊界層厚度越大，對抖振的抑制效果也越好，但是相應的靜態誤差也會越大；邊界層厚度越小，對抖振抑制效果越弱，但是相應的靜態誤差也會越小。

3 數值仿真

本節通過數值仿真驗證本文所提制導律的有效性，導彈氣動數據取自文獻［18］。導彈在三維空間中的初始位置坐標為（x0，y0，z0）＝（0，3，3）km，初始速度為V0＝600m/s，目標位置坐標為（xf，yf，zf）＝（10，0，1）km。制導參數選擇為n＝3，p＝0.3，ε＝0.001。需要指出本節所有的仿真算例均考慮了一階自動駕駛儀滯后特性，滯后時間選為0.3 s。仿真結束條件設定為y＝0m，即導彈落地時刻。

首先選擇了不同的初始發射角進行仿真。其中，發射角（γ0，χ0）分別選為（-5°，0°），（-15°，30°）和（-30°，-30°），碰撞角（γf，χf）選擇為（-60°，30°）。仿真結果如圖 1所示。

從以上結果可以看出，雖然導彈的初始發射方向不同，但最終均能以期望的碰撞角對目標實現精確打擊。對于（γ0，χ0）為（-15°，30°）和（-30°，-30°）的算例，由于初始指向誤差較大，因此在初始時刻通過較大的法向和側向過載對導彈的指向進行了修正。當導彈的彈道傾角和彈道偏角進入合理的范圍內時，過載幅值也下降到較小的范圍。此外，通過滑模函數變化曲線可以發現，雖然到達滑模面的時間不同，但是只要在碰撞時刻之前到達滑模面，期望的終端約束就能得到滿足。

然后通過蒙特卡羅仿真驗證有限時間滑模制導律對外界擾動和參數不確定性的魯棒性。導彈的初始發射角（γ0，χ0）和期望的碰撞角（γf，χf）分別選擇為（-5°，10°）和（-70°，60°）。仿真中，在制導指令輸入端加入范圍為±20%指令幅值的隨機干擾作為外部擾動。此外，參數不確定性通過施加范圍為大氣密度標稱值±5%的隨機噪聲來實現。進行1 000次的蒙特卡羅仿真，得到結果如圖2所示。

圖1 不同發射角條件下仿真結果Fig.1 Simulation results with different launch angles

由于仿真結束條件設定為y＝0，因此，脫靶量可由x坐標和z坐標的末值分布來體現。圖2（a）給出了脫靶量的蒙特卡羅仿真結果，可以看出1 000次蒙特卡羅仿真碰撞點的x坐標和z坐標范圍分別在（9 999.94，10 000.06）m和（999.997，1000.003）m之間，說明脫靶量非常小。碰撞角的蒙特卡羅仿真結果可參見圖2（b）。從該結果可以看出，彈道傾角和彈道偏角的末值范圍分別在（-70.2°，-69.8°）和（59.2°，60.9°）之間，因此，碰撞角誤差也非常小。該組仿真結果驗證了本文所提制導方法能夠保證較高的終端精度。

為了進一步驗證本方法的魯棒性優勢，圖3中給出了應用文獻［17］制導律得到的蒙特卡羅仿真結果。對比圖2和圖3可以發現，相較于文獻［17］的方法，本文方法對外部擾動和模型不確定性具有更強的魯棒性。

圖2 本文制導律蒙特卡羅仿真結果Fig.2 Results of Monte Carlo simulation with proposed guidance law

圖3 文獻［17］制導律蒙特卡羅仿真結果Fig.3 Results of Monte Carlo simulation with guidance law in Ref.［17］

4 結 論

本文提出了一種三維有限時間滑模制導律，不僅實現了導彈對地面靜止目標的精確打擊，也實現了對縱向和側向碰撞角的約束。該制導方法無需對系統模型進行解耦或線性化處理，制導律形式簡單且需求信息量較少。數值仿真結果驗證了該制導律能保證很高的終端精度，且對初始指向誤差、外界擾動及參數不確定性具有較強的魯棒性。在今后研究中，還需將該制導方法擴展到打擊機動目標的情形。

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