玻爾—索末菲的橢圓軌道理論的推導

武曉霞　展鐵政　陳偉麗　侯小娟

【摘 要】本文從橢圓運動的軌道方程出發，結合量子化條件，詳細推導了玻爾-索末菲的橢圓軌道的理論，給出了電子的能量以及量子化的半長軸a和半短軸b的表達式。能級公式與玻爾通過對圓軌道得到的結果一致，即能量是量子化的。而電子具有一定能量時，可能的狀態n種，即n重簡并。

【關鍵詞】玻爾-索末菲的橢圓軌道；量子化條件；守恒量

中圖分類號： O562.1 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）02-0064-002

【Abstract】Starting from the orbital equations of elliptical motion and combining with the quantization conditions，the theory of elliptic orbitals of Bohr-Sommerfeld is deduced in detail.The energies of the electron and the quantized half- and semi-minor axes b expression.The energy level formula is consistent with the result Bohr obtained for a circular orbit，that is，the energy is quantized.And electronic has a certain energy，the possible state n species，that is，n heavy degenerate.

【Key words】Bohr-Sommerfeld elliptical orbit；Quantization conditions；Conservation quantity

玻爾理論是原子結構的半經典理論，雖然引入了量子化的概念，但大部分計算依然沿用經典力學。索末菲推廣了玻爾理論提出量子化通則，并應用有心力場中質點的普遍運動規律，得到了量子化的橢圓軌道。通常的原子物理學教材中進介紹索末菲理論的結果，而對其推導的過程講解較少。其實，索末菲橢圓軌道理論是有心力場中粒子運動的重要應用環節。

本文依據理論力學中的有心力場理論詳細推導了玻爾-索末菲橢圓軌道理論，并討論了其物理意義。希望對理論力學和原子物理學的教學有參考作用。

在原子中，核外電子受到的庫侖力也是平方反比吸引力，即

F=-■■e■，V（r）=-■■，（1）

式中，ε0是真空的電容率、Z是原子序數、-e是電子的電量、+Ze是原子核的電量。由于原子核的質量M遠大于電子的質量m，可仍視作為力心的原子核靜止不動，需要修正時再用μ取代m。按照經典力學的處理方法，得到電子繞核作橢圓運動的軌道方程，即

r=■（2）

ε表示偏心率。注意到α=■，再用符號pφ表示L，并稱之為電子的軌道角動量，則橢圓軌道的幾何參量為：

p=■，ε=■a=■■，b=■（3）

據行星沿橢圓軌道運動周期公式，可算出電子繞核運轉的頻率

f=■=■■=■■（4）

然而，在橢圓或圓軌道上運動的電子具有加速度，依經典電動力學：（1）加速運動的電子所發出的電磁輻射，其頻率是連續分布的，這與原子的光譜是線狀光譜不符；（2）因不斷發出輻射而逐漸損失能量的電子將會很快隕落到原子核上，從而導致原子迅速塌縮，這就更與原子應具有穩定的結構這一基本事實相悖了。為說明原子的穩定性并解釋原子的線光譜，玻爾（N.Bohr）于1913年建立了原子的量子論，指出電子只能沿著一組分立的定態軌道繞核運動，這時（即處于定態的）電子既不吸收也不輻射能量。玻爾還就圓軌道給出了定態條件，稱為量子化條件。1916年，索末菲（Sommerfeld）把它推廣到了橢圓軌道，對電子的徑向運動與角向運動給出了兩個量子化條件：

？蓍p■dr=n■h，？蓍p■dr=n■h，（5）

圖1 電子的橢圓軌道

式中（參見圖1），左邊的r、φ是電子的極坐標，pr=m■、pφ=mr2■是與這兩個坐標對應的徑向線動量與軌道角動量，符號？蓍表示積分應沿運動的一個周期進行，兩個積分都具有[能量·時間]的量綱，稱為作用量積分；右邊的h是普朗克常數，而nr、nφ是正整數，分別叫做徑量子數和角量子數。

第二個作用量積分容易求出結果。因為在庫侖場中pφ是常數，于是有

？蘩■■pφdφ=pφ·2π=nφh，

故得

pφ=mr2■=nφ■=nφh.（6）

考慮到pφ=0的軌道是過力心的直線，為不讓電子貫穿原子核，在早期的量子論中，規定nφ是非零的正整數。因此上式表明：電子沿軌道運動的角動量不能連續變化，只能取角動量量子單位h=■的整數倍。

欲計算第一個作用量積分，不妨將積分變量從r變換成φ。為此，應先留意

■=■=■■=■■，dr=■dφ；

再令u=■、即dr=-■du，從而有

prdr=m■dr=■■■dφ=■■dφ，

注意到

■=■■=■

便可將被積式寫為

這樣，通過徑向坐標給出的量子化條件就變成了

應用留數定理能夠求得式中的定積分：

所以第二個量子化條件給出的結果是

由這一方程與式（6）及b=■=a■可知

■=■=■（7）

其中

n=nφ+nr（8）

稱為主量子數。將a、b的經典力學表達式（3）代入式（7），即可解得電子的能量

E=-■■=-■■（9）

這與玻爾通過對圓軌道得到的能級公式相同，主量子數n的取值為n=1，2，3，…。上式表明，電子的能量也不能連續變化，只能依據主量子數n的不同取一系列離散的量值，常說成能量是量子化的。再將式（9）代回到式（3）中，就能求出量子化的半長軸a和半短軸b，即

a=（n■+n■）■■=n■■，b=（n■+n■）n■■=nn■■，（10）

這里

a1=■≈0.0529nm

稱為第一玻爾半徑。從（10）的兩式還可看出：當b=a、即軌道變成圓時，應讓nφ=n、nr=0。下面將各量子數的可能取值一并列出：

主量子數：n=1，2，3，…，

角量子數：nφ=1，2，3，…n，

徑量子數：nr=n-1，n-2，…，0.

總之，電子的能量E（或者寫成En）只與主量子數n有關。當n一定時，可以有一個圓軌道：nφ=n（nr=0）；n-1個橢圓軌道：nφ=1，2，…，n-1。也就是說n給定后，電子共有nφ取不同值的條可能軌道，即有n種可能狀態；而電子處在這n種可能狀態時都具有相同的能量。在量子力學中，將這種情況視為簡并，n叫做簡并度。圖2給出了原子序數Z=1的氫原子處在n=3的能態時，電子的三條可能軌道。

圖2 n=3的玻爾-索末菲電子軌道

可是，氫光譜具有精細結構，表明電子的能量不應是簡并的。于是索末菲進一步用三維球坐標系代替平面極坐標系來討論電子的開普勒問題，雖然仍未能解釋譜線何以會分裂，卻得出了軌道角動量在空間的取向（即軌道平面的法線）也不能連續改變的結論，并稱之為空間量子化。空間量子化使原子具有了類似于“球形”的一種結構。此后，索末菲還將相對論效應引入到橢圓軌道理論中，結果是穩定的電子軌道已不再閉合，變成了繞一個焦點作慢進動的橢圓；而角量子數也出現在E的相對論修正項中，從而解除了能級的簡并。

以上我們主要介紹了在玻爾-索末菲的橢圓軌道理論中，是如何將量子化的定態軌道從電子的經典軌道中挑選出來的，讀者自然可體會出理論力學的方法所起的作用。盡管微觀粒子具有波粒二象性，電子的運動其實并無一條確切的軌道，這一理論已被量子力學所取代。但是，從軌道理論到量子力學，是人們認識微觀世界的歷史進程。至今，玻爾-索末菲量子論不但仍能在一定程度上幫助我們理解原子的圖像，而且其中的一些觀念和方法對量子宇宙學的建立也有所啟迪，在整個物理學中依然占有一席之地。

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