泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用

潘澤源

【摘 要】在機器人機構誤差分析中應用泛灰數學，可以從根本上提升其計算的精確度，以滿足實際的設計需求。但在實際的應用過程中，還存在一些不足之處與問題，影響機器人機構誤差分析效率，例如，分析理論傳統、分析方法不合理等。基于此，作者結合自身工作經驗，對泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用進行分析，以供相關人員參考。

【關鍵詞】泛灰數學；機器人；誤差分析

中圖分類號： TB11 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）02-0131-002

【Abstract】Applying the pan grey mathematics to the error analysis of robot mechanism can improve the accuracy of its calculation in order to meet the actual design requirements.However，in the practical application process，there are still some shortcomings and problems，which affect the efficiency of the error analysis of the robot mechanism.For example，the analysis theory tradition and the analysis method are unreasonable.Based on the work experience，the author analyzes the application of the grey mathematics in the error analysis of the robot mechanism for reference.

【Key words】Pan-grey mathematics；Robot；The error analysis

0 引言

泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用，為實際的誤差分析提供了新方法與新理論，可以有效的滿足當前時代的需求，具有較強的應用價值。例如，在機器人的手臂設計過程中，設計人員除了對相關的桿件、關節等原理與構造進行設計外，還需要結合設計的實際需求，對各桿件與關節的精度進行測量，以滿足實際的設計需求。

1 泛灰數學分析

1.1 泛灰數學的發展

區間分析又被人們稱為區間數學，其最早的應用目的是對相關的誤差進行分析研究，以保證明確其誤差的大小，在實際的運算過程中，相同的自變量受運算次序不同的影響，可能會導致產生不同的擴展區間。例如，張紀元在對機械誤差進行分析時，靈活利用三角函數的單調性，通過擴展進行區間法分析，但在實際的分析過程中，利用區間分析法可能出現誤差區間出現超差情況，誤差區間范圍過大，直接影響分析結果。基于此，通過不斷的完善與創新，灰色系統理論概念被提出，標志著一門嶄新的數學研究領域的發展，同時，相對應的“灰集合”概念逐漸衍生，區間灰數的運算法則逐漸明確。在實際的運算過程中，灰運算與區間數學具有相同的特性，部分代數性質難以表現，因此，泛灰數學概念逐漸提出，為機器人機構的誤差分析奠定良好的基礎。

1.2 泛灰數學概念

當前，人們將泛灰數學定義為：設論域U=R，R為實數集，則將R上的泛灰集成為泛灰數集，并將其有效的記為g（R），同時，稱g（R）中的相關元素為灰數集，記作：g=（x，〖μ1，μ2〗），x∈R，μ，μ∈R①，在①中，x值代表觀測值，〖μ，μ〗代表灰信息部，并將g（0）=（0，〖0，0〗）稱為g（R）中的零元，將g（1）=（1，〖1，1〗）稱為g（R）中的單位元。同時，如果觀測部為零，則將灰信息部中的不為零的泛灰數集記為g（0）′，并稱為亞零元，并且，將零元與亞零元統稱為泛零元，記為g（0）′′。以泛灰數學的概念為基礎，逐漸對泛灰的除法與加法運算進行定義，同時，利用加法運算定義與負元定義對減法進行定義，利用相關的逆元定義進行除法運算定義，同時，明確各運算定義的規律性，例如，泛灰加法運算定律可以滿足交換律與結合律，具有封閉性特點，且存在唯一的零元；泛灰乘法運算定律與加法定律相同，同時還可以滿足分配率。

1.3 區間灰數與泛灰數的轉化分析

以泛灰數的定義為基礎，在實際的運算應用過程中，可以將實際的泛灰數中（x，〖μ1，μ2〗）中的μ看作為數值x的最高或者最低的信任程度，以實際的數字為例，例如，μ1=0.5，μ2=0.7，則可以明確x的可信值在0.5x與0.7x之間，并用區間數進行合理的表示，表示為[0.5x，0.7x]。同時，應對μ的范圍進行有效的限制，μ∈[-1，1]。同時，當A[a，b]∈I（R）時，其數值均可以利用合理的泛灰數進行表示：（x，〖μ，μ〗）表示，例如，以實際的數值為例，主要分為四種：

第一種，當a>0時，存在[a，b]=（b，〖a/b，1〗），如實際數值的區間灰數：[1，2]=（2，〖0.5，1〗）。

第二種，當ab<0時，并且max{a，b}=b時，存在[a，b]=（b，〖a/b，1〗）情況，如實際的數值區間灰數：[-1，2]，由此可知，此時的a=-1，b=2，而max{-1，2}=2，ab=-2，則可以得出[-1，2]=（2，〖0.5，1〗）。

第三種，當ab<0時，并且max{a，b}=a時，存在[a，b]=（a，〖b/a，1〗）情況，如實際的數值區間灰數：[-2，1]，由此可知，此時的a=-2，b=1，而max{-2，1}=2，ab=-2<0，則可以得出[-2，1]=（-2，〖-0.5，1〗）。

第四種，當b<0時，存在[a，b]=（a，〖b/a，1〗），入實際的數值區間灰數：[-2，-1]，由此可知，此時的a=-2，b=-1<0，則可以得出[-2，-1]=（-2，〖-0.5，1〗）。

通過上述的泛灰數與區間灰數的轉化可知，以相關的函數為基礎，在實際的運算過程中，只要將區間灰數進行合理的輸入，利用該函數就可以求出相對應的泛灰數，以滿足實際的運算需求。

1.4 對泛灰函數的區間分析功能進行分析

泛灰數的實際應用，屬于實數的推廣，在推廣應用過程中，泛灰函數保留了相關的函數性質，與區間數學相對比，具有明顯的優勢，例如，具備區間分析功能優勢，利用該功能優勢，解決運算過程中遇到的問題。

2 泛灰運算軟件開發分析

MATLAB屬于數學軟件，以矩陣運算的快速解釋程序為核心，在實際的應用過程中，利用交互的方式，對用戶的各種指令進行合理的分析，并輸出明確的結果。泛灰運算軟件的應用，為實際的分析提供了良好的集成開放環境，用戶在使用過程中，可以進行大量的系統命令，例如，命令繪圖、進行數值運算等。實際上，MATLAB提供了數量較多的工具箱，幫助工作人員進行合理的問題處理，并利用其解決實際問題，靈活利用技術資源，以滿足當前的實際需求。因此，以現階段的泛灰數學為原理，以實際的，MATLAB為基礎，進行技術開發，開發出符合當前需求的泛灰運算工具箱。在實際的技術開發過程中，其主要的開發思維是以泛灰運算、區間灰數以及泛灰轉化為依據，進行合理的轉化，編制成完善的M文件，并建立合理的子文件，開發出合理的泛灰運算軟件，以滿足當前實際的需求。

3 泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用

以PUMA型機器人為基礎，進行合理的誤差設計分析，在實際的設計過程中，首先要求機器人設計任務符合執行功能的精度要求，利用合理的尺寸鏈達到精度目標，以此來保證機器人的精度符合標準。

3.1 明確機器人機構的泛灰誤差分析整體步驟

3.1.1 方程建立

在實際的分析過程中，需要分析人員結合實際研究情況建立完善的位置方程，設方程為f（q，l，x）=0，并且變化矩陣d（q，l，x）=0，在方程中，q為輸入運動參數已知量，l則為機構參數；x為實際的待定輸出構件位置參數數值，其中，q0、l0以及x0均為理想狀態下的機構位置數值。

3.1.2 泛灰的拓展

在運算分析過程中，將方程中的三個數值分別進行假設，例如，設方程f中q，l，x分別為A，X，Y，由此可知向量值函數f1（q，l）在A、X中的泛灰拓展數值為F1（A，X，Y）=0，并且其變換矩陣為D（A，X，Y），因此，利用合理的泛灰軟件進行合理的運算，并求出相對應的解。

3.2 對PUMA機器人機構的誤差進行分析

3.2.1 誤差分析

在PUMA機器人機構中，利用現階段的矩陣描述方法進行合理的變換矩建立，首先將機器人的桿件的進行合理的劃分，并按照順序進行排序，以第一個桿件為基礎，記為i，并以此類推。此時可以有效的得出Ai的數值：[cosθi-sinθicosαisinθisinαiαicosθi]，[sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在數值中，θi主要是指xi圍繞zi軸進行合理的旋轉，當旋轉到一定的角度時，xi與xi+1重合時旋轉的總角度值。di是指按照zi的方向進行合理的旋轉，代表從i標架原點Oi至zi與xi+1的交點間的距角度數值，而ai是指按照xi方向進行合理的旋轉，代表zi與xi+1的交點i的標架原點Oi的距角數值，αi是指繞xi軸進行合理的旋轉，從zi到zi+1的角度數值，在實際的旋轉過程中，其角度的方向依據右手定則原則進行規定。在實際的運算過程中，利用上述Ai的數值進行求解，有效的求出機器人手臂的變換矩陣數值，并將其記為Tn，由此可知，案例PUMA機器人的手臂變換矩陣數值等于T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001]，并且由此可知，其矩陣的數值為[nxOxax][nyoyay][nzozaz]，該數據值表示為機器人手臂末端的支架的姿勢，而實際的向量數值[px][py][pz]則表示機器人手臂末端標架原點的坐標數值，通過對機器人手臂變換矩陣數值進行有效的計算，明確相關的數據均為泛灰數，并且，將計算過程中涉及的常數也作為泛灰數值，通常情況下，作為一種特殊的泛灰數值處理。

3.2.2 參數分析

實際上，PUMA機器人存在大量的基本參數，其主要參數包括輸入參數矩陣、機器人姿勢誤差以及機器人手臂末端標架的位置參數等。在計算過程中，計算人員通常將上述參數表示為區間參數，通過相應的軟件程序，進行自動的計算與輸入，完成輸入后，輸出實際的參數值，并進行合理的表示。上述過程的主要目的是對實際存在的單獨誤差進行合理的考察，并分析由單獨誤差引起的實際姿勢誤差與末端標架位置誤差，為后續的分析提供參考依據，合理進行平行度誤差與垂直誤差數據的選擇，保證分析結果的準確性。通過有效的實踐，可以明確該驗證分析方法的時效性與準確性，例如，在實際的誤差分析過程中，將相關的基本參數與誤差進行結合，并將其表示為區間數，通過運用合理的泛灰數，可以高效的計算出各參數的實際區間表示，此時分析人員可以以實際的區間表示為依據，明確各誤差與各尺寸對實際的各個輸出參數的影響情況，以滿足實際的機器人機構誤差分析需求。靈活應用現有的泛灰運算工具箱，在已知各參數驗算輸出參數的誤差是否滿足實際的誤差需求，還可以對各個輸入參數的實際誤差進行分析，并分析該參數誤差對輸出參數的實際影響，從根本上確定各參數的公差與偏差。

4 結論

綜上所述，泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用，為機器人機構運動誤差分析提供了新方式，并利用泛灰數學自身的性質特點與優勢，將分析的整體步驟進行簡單化，保證分析結果的直觀性與可靠性，提升分析效率。泛灰數學在機器人誤差分析、靈敏度分析以及復雜機構分析中具有廣闊的應用前景，符合當前時代的要求。

【參考文獻】

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