考慮非達西滲流的復合頁巖氣藏試井模型

王海濤, 彭 倩, 張烈輝, 郭晶晶, 聶 權

( 1. 西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室,四川 成都 610500； 2. 西南油氣田公司 蜀南氣礦,四川 瀘州 646000 )

0 引言

隨常規油氣資源開采趨緊,包括頁巖氣在內的非常規資源的開發逐漸成為研究的熱點[1-6]。頁巖氣藏作為自生自儲式氣藏[7],無論是在成藏機理、賦存方式方面,還是在滲流機理、滲流特征方面,都與常規氣藏差異較大。頁巖基質孔隙的大小從納米到微米,頁巖氣賦存狀態包括游離態、吸附態和溶解態,在頁巖中具有多重運移機制：吸附—解吸、擴散、滲流等[8-9]。人們研究頁巖氣藏不穩定試井問題,建立多種動態模型[10-16],促進頁巖氣滲流理論的發展。其中壓力和產量動態模型幾乎沒有考慮氣體在近井地帶滲流規律的變化,因此很難準確地描述氣體的滲流特征。頁巖儲層壓裂實踐表明,受剪切和滑移效應影響,頁巖儲層壓裂時形成的不再是有限的數條壓裂縫,而是縱橫交錯的裂縫網絡。在近井地帶縫網改造區,受裂縫網絡的高導流能力及過流斷面面積劇減的雙重作用影響,可能出現非達西效應。在綜合考慮吸附—解吸、擴散、非達西滲流(內區)和達西滲流(外區)等運移機制的基礎上,筆者建立更接近實際生產的頁巖氣藏試井解釋模型,并采用半解析法對模型進行求解。

1 非達西滲流

在對頁巖儲層壓裂時,受剪切滑移作用影響,在壓裂改造區形成的不再是有限條人工裂縫,而是縱橫交錯的裂縫網絡。在近井地帶縫網改造區,裂縫網絡導流能力極高,加之近井區過流斷面面積急劇減小,導致流體流動時流速過高,偏離達西滲流規律。

有關非達西滲流研究多基于兩種方程。Forchheimer P[17]提出包含速度一次方和平方項的Forchheimer方程(二項式非達西運動方程),描述非達西流動現象：

(1)

式中：p為孔隙壓力；L為多孔介質長度；μ為流體黏度；k為儲層滲透率；v為流速；α為非達西滲流系數；ρ為流體密度。

Izbash S提出指數式方程,描述速度與壓力梯度之間的非線性關系[18]：

(2)

式中：c為滲流系數,與流體及多孔介質的性質有關；n為滲流指數,0.5≤n≤1。

指數式方程是通過實驗和工程實踐總結出來,雖然不像二項式非達西運動方程那樣有明確的力學意義,但是從數值特征上描述流體速度變化的全過程,且形式簡單,便于推導應用,因此文中采用指數式方程表達非達西滲流現象。

2 物理模型

圖1 考慮多重機制的雙區復合頁巖氣藏模型

Fig.1 Schematic of a composite model in shale gas reservoirs with consideration of multiple migration mechanisms

考慮的頁巖氣藏滲流物理模型見圖1。根據由縫網壓裂等導致的孔滲物性差異,將頁巖氣藏的流動區域分為內區(1區)和外區(2區)。

基本假設：

(1)內區半徑為R,外區考慮無限大外邊界；

(2)氣層厚度為h,氣藏中各處原始地層壓力為pi；

(3)內區服從非達西滲流,外區服從達西滲流,且存在吸附—解吸和擴散效應；

(4)頁巖氣吸附—解吸滿足Langmuir吸附方程,擴散滿足Fick第一擴散定律；

(5)氣井以定產量qsc生產,忽略重力和毛細管力。

3 數學模型

借鑒Ikoku-Ramey對非牛頓流體滲流時的處理方法[19],擴展至高速非達西滲流：

(3)

(4)

式中：rw為井眼半徑；psc為地面標況壓力；T為氣藏溫度；Zi為原始條件下的天然氣偏差因數；Tsc為地面標況溫度。

式(3)實際上是將非達西滲流時慣性阻力的影響等效為表觀滲透率k1a的變化：地層近井地帶流速大,慣性阻力大,表觀滲透率與地層本身滲透率(達西滲透率)相比下降幅度也大,因此表觀滲透率小；反之,逐漸遠離井壁時,地層滲流速度變小,慣性阻力變小,表觀滲透率與地層本身滲透率相比下降幅度變小。假設在非達西滲流區域的外邊界(內、外區的銜接面),非達西效應非常微弱,表觀滲透率非常接近于地層本身滲透率：

(5)

其他無因次變量定義為

無因次擬壓力

無因次時間

流度比

儲容比

聯立質量守恒方程、狀態方程和指數式方程,經過擬壓力化及無因次化,得到無因次復合頁巖氣藏內區滲流微分方程：

(6)

聯立質量守恒方程、狀態方程、運動方程、Langmuir等溫吸附方程,經過擬壓力化及無因次化,得到無因次復合頁巖氣藏外區滲流微分方程[16,20]：

(7)

其他定解條件：

m1D|tD=0=0,

(8)

m2D|tD=0=0,

(9)

(10)

m2D(∞,tD)=0,

(11)

m1D|rD=RD=m2D|rD=RD,

(12)

(13)

式(6-13)構成完整的考慮高速非達西滲流、達西滲流、吸附—解吸、擴散等機制作用的復合頁巖氣藏試井數學模型。

式(6)經過Laplace變換后將變為υ階虛宗量貝塞爾方程,在Laplace空間的通解[19]為

(14)

式(7)經過Laplace變換后將變為零階虛宗量貝塞爾方程,在Laplace空間的通解為

(15)

利用邊界條件式(10-13),可以確定式(14-15)的4個未知數,計算井底壓力需要確定系數A1和B1。為了簡便起見,只給出井底壓力解及必要的A1和B1的表達式：

(16)

若考慮井筒儲集效應和表皮效應,則關系式[21-22]為

(17)

式中：S為表皮因數；CD為井儲因數。

4 模擬結果

4.1 典型曲線特征

考慮非達西效應等多重運移機制的復合頁巖氣藏試井典型曲線見圖2,其中曲線參數CD=20,S=2.5,RD=300,M12=3,ω12=1.2,n=0.7。

根據曲線的形態,可劃分流動階段：(1)純井筒儲集影響階段。該階段雙對數壓力和壓力導數曲線合二為一,呈斜率為1的直線,表明受續流段的影響。(2)過渡階段。該階段是從純井筒儲集效應向內區徑向流階段的過渡,導數曲線出現“駝峰”。(3)內區徑向流階段。該階段壓力導數曲線逐漸下降,原因是逐漸遠離井筒時,慣性阻力逐漸減小,內區表觀滲透率逐漸增大。(4)內區徑向流向外區徑向流的過渡階段。由于內外區流度比M12>1,表明外區物性差,導數曲線上升。(5)外區徑向流階段。由于內外區流度比M12=3>1,表明外區物性差,壓力導數曲線上升一個臺階后呈一條水平直線。

另外,為進行對比,假設滲流指數取為一個趨近于1的數,如n=0.999 9,流度比M12=1,儲容比ω12=1,可以模擬內、外區為達西流的均質氣藏的情形,并將它與傳統的均質氣藏模型進行對比(見圖3)。由圖3可以看出,兩種模型計算的試井曲線基本重合,驗證文中復合頁巖氣藏試井模型的正確性。

4.2 敏感性分析

4.2.1 滲流指數

不同滲流指數n時復合頁巖氣藏的壓力和壓力導數曲線見圖4。由圖4可看出,滲流指數對壓力和壓力導數曲線有較大的影響：n越大,越趨近于達西滲流,過渡段和內區徑向流段的壓力及壓力導數曲線位置越低,表明達西滲流比非達西滲流消耗更少的能量。

4.2.2 內區半徑

不同內區半徑RD時復合頁巖氣藏的壓力和壓力導數曲線見圖5。由圖5可看出：RD越大,內區非達西滲流段持續時間越長,外區達西徑向流段出現時間越晚。

4.2.3 內外區流度比

不同內外區流度比M12時復合頁巖氣藏的壓力和壓力導數曲線見圖6。由圖6可看出,導數曲線在“凹子”最深處向上抬升,然后逐漸變得平緩,形成另一條徑向流水平線(外區徑向流)。原因是壓力波從內區傳播到達外區后,外區的滲透性變差,從而導致壓力損失加大。M12越大,壓力導數曲線抬升幅度越大。

圖2 復合頁巖氣藏的壓力及壓力導數曲線Fig.2 Pressure and pressure derivative responses of composite shale gas reservoirs

圖3 文中簡化模型與傳統模型曲線

Fig.3 Comparison of transient pressure responses calculated by the reduced form of the proposed model in this paper and the typical model

圖4 滲流指數對復合頁巖氣藏壓力響應特征曲線的影響Fig.4 Effect of seepage index on transient pressure behavior

圖5 內區半徑對復合頁巖氣藏壓力響應特征曲線的影響Fig.5 Effect of inner region radius on transient pressure behavior

4.2.4 儲容比

不同儲容比ω12時復合頁巖氣藏的的壓力和壓力導數曲線見圖7。由圖7可看出,改變儲容比ω12,內外區過渡段后期出現峰值不同的小“駝峰”,ω12越大,“駝峰”的峰值越大。

圖6 流度比對復合頁巖氣藏壓力響應特征曲線的影響

Fig.6 Effect of Mobility ratio between inner region and outer region on transient pressure behavior

圖7 儲容比對復合頁巖氣藏壓力響應特征曲線的影響Fig.7 Effect of storativity ratio on transient pressure behavior

4.2.5 擴散系數

不同擴散系數D時復合頁巖氣藏的壓力和壓力導數曲線見圖8,其中k1=2×10-18m2,k2e=0.001×10-18m2,μ1=μ2=2×10-5Pa·s,φ1=0.04,φ2=0.02,ct1=ct2=3×10-8Pa-1,Ti=383K,Tsc=293 K,psc=105Pa,pL=2×107Pa,pi=3×107Pa,Zi=0.91。由圖8可看出,D越大,外區徑向流壓力導數曲線位置越低。原因是隨擴散系數的增大,外區等效滲透性變好,導致壓力損失減小。

4.2.6 Langmuir吸附體積

在其他參數不變的情況下,不同Langmuir吸附體積VL時的壓力和壓力導數曲線見圖9,其中k1=2×10-18m2,k2e=0.001×10-18m2,μ1=μ2=2×10-5Pa·s,φ1=0.04,φ2=0.02,ct1=ct2=3×10-8Pa-1,Ti=383 K,Tsc=293 K,psc=105Pa,pL=2×107Pa,pi=3×107Pa,Zi=0.91。由圖9可以看出,改變VL,內外區過渡段后期出現峰值不同的小“駝峰”,VL越大,小“駝峰”位置越低,即與儲容比ω12的影響結果相反。

圖8 擴散系數對復合頁巖氣藏壓力響應特征曲線的影響Fig.8 Effect of diffusion coefficient on transient pressure behavior

圖9 Langmuir吸附體積對復合頁巖氣藏壓力響應特征曲線的影響Fig.9 Effect of Langmuir volume on transient pressure behavior

井儲因數CD與表皮因數S對典型曲線的影響與達西流的相同[23-25],不再贅述。

5 結論

(1)建立考慮非達西滲流的復合頁巖氣藏試井模型,在采用指數式方程描述近井地帶非達西滲流現象同時,還考慮頁巖氣解吸、擴散和滲流運移機制。

(2)采用半解析法對模型進行求解,編程繪制試井典型曲線,并劃分為純井筒儲集影響階段、過渡階段、內區徑向流階段、內區徑向流向外區徑向流的過渡階段、外區徑向流階段5個典型的流動階段。

(3)滲流指數越大,過渡段和內區徑向流段的壓力及壓力導數曲線位置越低；內區半徑越大,內區非達西滲流段持續時間越長；內外區流度比越大,外區徑向流壓力導數曲線抬升幅度越大；儲容比越大,內外區過渡段后期出現的小“駝峰”的峰值越大；擴散系數越大,外區徑向流壓力導數曲線位置越低；Langmuir吸附體積越大,內外區過渡段后期出現的小“駝峰”位置越低。

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