帶隔板的底水油藏水平井水脊高度計算

胡 平, 卞德智, 范子菲, 劉欣穎, 程林松

( 1. 中國石油勘探開發研究院，北京 100083； 2. 中國石化國際石油勘探開發公司，北京 100083； 3. 中國石油天然氣勘探開發公司，北京 100034； 4. 中國石油大學(北京) 石油工程學院，北京 102249 )

0 引言

水平井能夠有效延緩底水錐進，改變底水錐進模式，變“錐進”為“脊進”，因此被廣泛用于底水油氣藏的開發[1-3]。研究底水脊進規律，包括水脊高度及形態變化、水淹模式及機理，預測水平井的見水時間和臨界產量等指標參數，對實現底水油藏的高效穩定開發具有重要意義。

人們采用滲流力學理論和油藏工程方法對底水脊進進行研究。Giger F M[4]建立水平井底水脊進的二維數學模型，計算臨界產量和見水時間，但相關參數難以確定。Chaperon I[5]研究各向異性對水脊高度及臨界產量的影響。Ozkan E等[6]刻畫水平井開發底水油藏流體的流線分布。范子菲等[7]采用鏡像法得出一排水平井位于底水驅動油藏頂部的臨界產量公式，得到不同開發時間的臨界產量。程林松等[8]采用鏡像反映和勢的疊加原理，得到見水時間的計算公式。范子菲和程林松等沒有對水脊高度的變化規律進行研究。在水平井穩定滲流情況下,侯君等[9]給出底水油藏不同時刻和臨界條件下底水脊進高度的解析解。劉振宇等[10]利用復平面坐標變換的方法，得到描述水脊位置坐標的參數方程。隨著計算機技術的發展，利用數值模擬軟件實現底水脊進過程的可視化，結合生產實際對水淹模式、水淹機理及影響因素進行深入研究[11-13]。隔夾層是影響底水油藏開發的重要因素，帶隔板底水油藏水進規律的研究日漸成熟。李傳亮等[14-15]應用第二格林公式和達西公式，分別推導出隔板和半滲透隔板底水油藏的臨界產量公式。趙新智等[16]考慮隔板下部底水錐進的半球形徑向流和隔板上部的平面徑向流方式，應用物質平衡原理，推導低滲透帶隔板底水油藏見水時間的預報公式。劉峰等[17]建立考慮啟動壓力梯度的低滲透帶半滲透隔板的底水油藏油井見水時間預測公式。李傳亮、趙新智及劉峰等考慮隔板的因素對水進規律的影響，但只針對直井井型。Yue Ping等[18]和黃全華等[19]針對帶隔板底水油藏水平井的見水時間進行預測，但兩者未考慮隔板的存在對滲流場的影響，并且也未給出水脊高度的計算模型及其變化規律。

在水平井開采含夾層底水油藏物理實驗的基礎上，筆者以多孔介質滲流理論為依據，利用鏡像反映法和勢的疊加原理，研究帶隔板底水油藏任一時刻水脊的高度及形態，并對油井的見水時間進行預測，分析其影響因素，對油藏開發具有指導意義。

1 物理實驗

為了研究帶隔板底水油藏的水淹模式及水脊的變化規律，采用包括底水供給系統、三維可視化模型和記錄計量系統三部分組成的物理模擬裝置，對三組隔板長度不同的情況進行對比實驗，呈現出相似的變化規律[20]。

含隔夾層的非均質底水油藏底水脊進典型過程見圖1。實驗為隔板占油藏1/2的情況，展示帶隔板底水油藏水平井水脊的發展過程，可概括為“均勻托進—底水繞流—邊水橫掃—底水脊進—油井見水—沿井擴展—全井水淹”的水淹模式。根據實驗觀察，底水的水脊峰值并不是在隔板下部正中央，而是在隔板的邊部；隔夾層下部在開發前期出現“屋檐油”[21]，隨著生產的進行“屋檐油”的面積逐漸減?。坏姿@過隔板以邊水橫掃的方式進行驅替的過程很短暫，迅速進入以底水脊進為主的驅替方式，水脊峰值出現在隔板以上中央的近井底處。該實驗為后續水脊高度和見水時間的計算提供依據和支持。

圖1 含隔夾層的非均質底水油藏底水脊進典型過程Fig.1 Representative process of water cresting in bottom water drive reservoir with barrier

2 地層中勢的分布

2.1 基本假設

圖2 帶隔板底水油藏水平井示意Fig.2 Schematic diagram of horizontal wellbore in bottom water reservoir with interlayer

(1)流體在多孔介質中的流動為穩定流；

(2)油水邊界為恒壓或等勢邊界，初始勢函數為Φe；

(3)忽略毛管力和相對滲透率的影響；

(4)不考慮隔板的滲透性，即隔板為不滲透隔板。

2.2 模型建立

帶隔板底水油藏水平井見圖2，其中rw為井筒半徑；Φw為井壁處的勢；a為水平井井眼中心距隔板的垂向距離；rb為隔板半徑；h為油藏厚度；hb為隔板距油水界面高度；re為供給半徑；Φe為供給邊界處的勢。當無隔板時，水質點在壓差的作用下直接到達井底，沿z軸方向質點的運動速度最快，最先到達井底，離z軸水平距離越遠，水質點運動速度越慢，在空間上，水體呈現脊狀上升。當有隔板存在時(見圖2)，在隔板寬度rb影響的范圍內，水質點在壓差的作用下上升，但到達隔板附近時不能繼續向上穿過隔板，而是繞過隔板到達井底，即水質點運動到隔板附近時，速度在z方向上的分量值為0，隔板表現為近似分流線的性質。與無隔板的情況相比，運動方向改變，意味著有無隔板油藏中流體的勢場分布不同。因此，不能按照無隔板時，油藏的勢函數分布計算相關的水脊高度等參數。

為了研究油藏中勢場的分布，將油藏劃分為3個區分別計算勢函數。以隔板為分界線，隔板下部為Ⅰ區，上部為Ⅱ區，隔板寬度影響范圍以外為Ⅲ區(見圖2)。Ⅰ區中流體質點向上運動的動力主要來源于底水供給邊界與油井之間的壓力差，并且考慮不滲透隔板對底水的阻擋，因此計算勢分布時采用圖3(a)的簡化模型：底水為直線供給邊界、隔板為封閉邊界外一口水平井生產的情況。同理，Ⅱ區水脊上升的動力主要來源于油井與周圍地層之間的壓力差，并且在隔板的影響范圍內，模型簡化為頂底為封閉邊界下一口水平井生產的情況，見圖3(b)。Ⅲ區在隔板影響范圍外，水脊上升的動力為油井與底水供給邊界之間的壓力差，模型簡化為頂部封閉邊界，底部為直線供給邊界一口水平井生產的情況，見圖3(c)。

圖3 帶隔板底水油藏水平井物理模型分區簡化模型Fig.3 Partition simplified model of horizontal well in bottom water reservoir with interlayer physical experiment

2.3 勢的分布

2.3.1 Ⅰ區

根據鏡像反映原理，圖3(a)中的yz平面的有限區域地層，可反映無限空間兩源兩匯交替排列的一直線井排。在yz平面的無限空間中，直線井排上井的類別和位置可歸結為四類：生產井兩類，即(0,4nhb+hb+a)和(0,4nhb+hb-a)；注入井兩類，即(0,4nhb-hb+a)和(0,4nhb-hb-a)，其中n=0，±1，±2，…。

設水平井長度為L，產量為Q，取q=Q/(2πL)。由勢的疊加原理，得到yz平面地層中任一點勢的分布為

(1)

式中：Φ為勢函數；C為常數。

由貝塞特公式[7]，式(1)可整理為

(2)

2.3.2 Ⅱ區

根據鏡像反映原理，圖3(b)中的yz平面的有限區域可反映無限平面中直線生產井排，生產井的井位坐標為：[0,2n(h-hb)+a]和[0,2n(h-hb)-a]，n=0，±1，±2，…,由勢的疊加原理，得到yz平面上任一點勢的分布為

(3)

2.3.3 Ⅲ區

圖3(c)中的yz平面的有限區域可反映無限空間兩源兩匯交替排列的直線井排，井的類別和位置可歸結為四類：生產井兩類，即[0,2h+4nh-(a+hb)]和[0,4nh+(a+hb)]；注入井兩類，即[0,2h+4nh+(a+hb)]和[0,4nh-(a+hb)]，其中n=0，±1，±2，…。因此，yz平面上任一點勢的分布[7]為

(4)

因此，為描述水脊到達井筒過程中的高度及形態，計算油井見水時間，將yz平面井筒以下區域的勢函數定義為分段函數，即

3 水脊高度計算方程及見水時間

3.1 水脊高度

3.1.1 Ⅰ區

由Ⅰ區勢的分布方程式(2)，求得井軸方向(y=0，即隔板正下方)上勢函數梯度為

(5)

(6)

式中：vz為流體的滲流速度v在z方向上的分量。滲流速度與流體質點的平均真實速度u的關系為

(7)

式中：φ為孔隙度；t為流體質點運動時間。對式(7)進行分離變量積分，將式(6)代入，有

(8)

積分得在井軸上(y=0)不同時刻水脊高度的計算式，即

(9)

另外，由式(2)可得

(10)

(11)

3.1.2 Ⅱ區

同樣，根據Ⅱ區勢的分布方程式(3)，可得井軸方向(y=0)上勢函數梯度，即

(12)

沿井軸方向上水脊高度的計算式為

(13)

沿y方向的勢梯度為

(14)

由式(14)，得Ⅱ區水脊面距離側向距離y隨時間t的變化為

(15)

3.1.3 Ⅲ區

由式(4),對y=rb的隔板邊緣求得z方向的勢梯度為

(16)

可得y=rb處不同時刻水脊高度為

(17)

其中，

同樣，由y方向的勢梯度，可得Ⅲ區的水脊離井軸側向距離y隨時間的變化，即

(18)

由于水脊形狀關于z軸對稱，y=-rb處水脊高度的變化及[-rb,y]范圍內的水脊側向距離的計算同式(17)及式(18)。綜合式(9)、式(11)、式(13)、式(15)、式(17)和式(18)，利用MATLAB軟件編制計算程序，計算不同時刻的水脊高度及其與井軸的側向距離，得到一系列離散的數值解；而后將數據點勾畫起來，即可對某一時刻水脊形狀進行描述。

3.2 見水時間

底水在Ⅰ區向上運動，在繞過隔板到達Ⅱ區之前，水脊的峰值出現在隔板邊緣y=±rb處，繞過隔板進入Ⅱ區，先以邊水的方式驅替，再以底水脊進的方式驅替，水脊的峰值出現在隔板中央正上方的井軸y=0處。在計算見水時間時，假設水質點的運動路線(見圖3)為：水質點由A點運動到B點，再沿著隔板由B點運動到C點，最后到達井筒D。見水時間為

t=tAB+tBC+tCD。

(19)

令式(17)中z=hb，得到tAB；由式(15)中z=hb，y=rb得到tBC；在式(13)中，令z=hb+a-rw，即可得到tCD。

4 實例分析

圖4 某油井月均產量隨時間變化曲線Fig.4 The average daily production changes with time for a certain well

以南美某一帶隔夾層的底水油藏水平井為例，其基本參數：油藏壓力為14.9 MPa，溫度為87.7 ℃，地層原油黏度為4.02 mPa·s，原油體積因數為1.042，油藏厚度h=20.7 m，隔板到油水界面距離hb=12 m，水平井到隔板距離a=2 m，油藏孔隙度φ=0.33，水平井筒長度為198 m，井徑rw=0.088 m，隔板半徑rb=20 m，油井初期產油量約為80 m3/d。油井的產量變化曲線見圖4。由圖4可知，油井的見水時間為585 d，根據式(19)，由MATLAB編制的計算程序，得到tAB=470 d，tBC=141 d，tCD=3 d，即t=614 d，與實際情況相比，誤差約為4.9%，其計算結果相對合理。

4.1 水脊形態變化特征

各分區距離原點不同位置處的水脊高度z隨時間的變化見圖5-7。由圖5-7可知：對于Ⅰ區，水脊高度隨時間的增加而增加，但增加速度逐漸減慢，當時間達到2×103d時，水脊高度變化很小，甚至趨于定值，即水脊高度難以達到隔板高度處，兩者之間的高度差范圍內，底水很難波及而形成所謂的“屋檐油”；距離原點(隔板中間正下方)越近的位置水脊高度越低，越遠的位置(隔板邊緣附近下方)水脊高度越高，表明越靠近隔板正下方中央位置，隔板對底水脊進的抑制作用越強，而在隔板邊緣附近抑制作用減弱；在某一時刻，當y均勻增加時，水脊高度z并不均勻增加，近原點位置處z的差異較小，遠離原點位置處z的差異變大，表明隔板對底水的抑制作用沿y軸方向并不是均勻減弱。當底水繞過隔板到達Ⅱ區后，水脊高度隨時間的增加呈線性變化，表明底水能量充足，導致水線在隔板上方均勻推進；y越小，直線的斜率越大，表明越靠近水平井處壓差越大，水脊高度上升越快；在同一時刻，y越小，越靠近水平井井底，水脊高度沿y方向的差異越大，即水脊高度z在近水平井正下方、隔板正上方位置處變化大，隨y取值均勻增加，z的差異減小。對于Ⅲ區，水脊高度隨時間的增加而增加，增加的速度逐漸減慢；離隔板邊緣正下方處越遠，水脊高度越低，水脊高度差沿y方向的變化越小，即水脊趨于平緩。根據計算的數值結果，作出3個時間節點的水脊形狀(見圖8)，隔板下方“屋檐油”的存在，為底水油藏水平井生產的進一步挖潛指明方向。計算得到的水脊形態變化特征與物理實驗結果可以相互驗證。

圖5 Ⅰ區水脊高度隨時間變化Fig.5 Water cresting height changes with time for zone Ⅰ

圖6 Ⅱ區水脊高度隨時間變化Fig.6 Water cresting height changes with time for zone Ⅱ

圖7 Ⅲ區水脊高度隨時間變化

Fig.7 Water cresting height changes with time for zone Ⅲ

圖8 不同時間節點水脊形態Fig.8 The water cresting shape under different time

4.2 見水時間影響因素

研究不同因素，包括隔板半徑、隔板距水平井的垂直距離，以及油井產量對帶隔板底水油藏水平井見水時間的影響(見圖9)。由圖9可知，水平井見水時間隨隔板半徑的增大而相應延后，即水平井見水越晚。以隔板半徑20 m為拐點，當隔板半徑低于20 m時，見水時間隨隔板半徑的增大變化幅度較小，當隔板半徑大于20 m時，見水時間隨隔板半徑的增大變化幅度變大，明顯改善油井的生產效果。隔板與水平井間的垂直距離對見水時間的影響表現出類似的變化規律(見圖10)：隔板距離水平井的垂直距離越大(隔板距離底水越近)，隔板對底水的抑制作用越強，油井見水越晚。當隔板與井的垂直距離在5 m以上時，見水時間變化明顯。見水時間隨油井產量的增加而減小，即水平井見水時間提前。當油井產量小于50 m3/d時，見水時間隨油井產油量的增加明顯提前，油井產量大于50 m3/d后，見水時間變化幅度逐漸減小(見圖11)。因此，在實際生產中控制油井的產油量，在保證產能的基礎上可以延緩見水時間。

圖9 隔板半徑對見水時間的影響Fig.9 The effect of interlayer radius on water breakthrough time

圖10 隔板與井的垂直距離對見水時間的影響Fig.10 The effect of vertical distance away from well on water breakthrough

圖11 油井產量對見水時間的影響

5 結論

(1)不同分區內，水脊高度隨時間的變化規律不同。在Ⅰ分區內，水脊高度隨時間的增加而增加，但增加速度逐漸減慢，甚至趨于定值，水脊高度與隔板所在位置的高度差范圍內形成“屋檐油”；在某一時刻，水脊高度z在近原點位置處沿y方向差異較小，遠離原點位置處z的差異變大。在Ⅱ分區內，水脊高度隨時間的增加呈線性變化；在同一時刻，越靠近水平井井底，水脊高度沿y方向的差異越大。在Ⅲ分區內，水脊高度隨時間的增加而增加，增加的速度逐漸減慢；離隔板邊緣正下方處越遠，水脊高度越低，水脊高度差沿y方向的變化越小。

(2)水平井見水時間隨隔板半徑的增大而相應延后，當隔板半徑大于20 m時，見水時間隨隔板半徑的增加變化幅度增大；隔板距離水平井的垂直距離越大，油井見水越晚，當隔板與井的垂直距離在5 m以上時，見水時間明顯延緩；見水時間隨油井產量的增加而縮短，油井產量大于50 m3/d后，見水時間變化幅度逐漸減??；見水時間與實際誤差約為4.9%。

[1] 黃小荷,朱維耀,岳明,等.基于分形幾何的裂縫型底水氣藏產能模型[J].東北石油大學學報,2013,37(6):86-93.

Huang Xiaohe, Zhu Weiyao, Yue Ming, et al. Productivity model of fractured bottom-water gas reservoir based on fractal geometry [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2013,37(6):86-93.

[2] 王春智,李兆敏,李松巖,等.水平井開發底水稠油油藏氮氣泡沫和凍膠控水三維物理模擬試驗[J].中國石油大學學報:自然科學版,2015,39(6):118-123.

Wang Chunzhi, Li Zhaomin, Li Songyan, et al. Experimental study on water control and oil recovery in bottom water driving reservoirs using plugging agents [J]. Journal of China University of Petroleum: Edition of Natural Science, 2015,39(6):118-123.

[3] 劉欣穎,胡平.非均質底水油藏水平井三維物理模擬實驗[J].石油學報,2011,32(6):1012-1016.

Liu Xinying, Hu Ping. A 3-D visible physical experiment on horizontal wells of heterogeneous reservoirs with bottom water [J]. Acta Petrolei Sinica, 2011,32(6):1012-1016.

[4] Giger F M. Analytic 2-D models of water cresting before breakthrough for horizontal wells [R]. SPE 15378, 1989.

[5] Chaperon I. Theoretical study of coning toward horizontal and vertical wells in anisotropic formations: Subcritical and critical rates [R]. SPE 15377, 1986.

[6] Ozkan E, Raghavan R. Performance of horizontal wells subject to bottomwater drive [R]. SPE 18559, 1990.

[7] 范子菲,林志芳.底水驅動油藏水平井臨界產量公式及其變化規律研究[J].石油勘探與開發,1994,21(1):65-70.

Fan Zifei, Lin Zhifang. A study of critical rate of a horizontal well in a reservoir with bottom-water drive [J]. Petroleum Exploration and Development, 1994,21(1):65-70.

[8] 程林松,郎兆新,張麗華.底水驅油藏水平井錐進的油藏工程研究[J].石油大學學報:自然科學版,1994,18(4):43-47.

Cheng Linsong, Lang Zhaoxin, Zhang Lihua. Reservoir engineering problem of horizontal wells coning in bottom-water driven reservoir [J]. Journal of University of Petroleum: Edition of Natural Science, 1994,18(4):43-47.

[9] 侯君,程林松,李春蘭.底水油藏水平井水脊高度的計算[J].水動力學研究與進展,2006,21(3):374-380.

Hou Jun, Cheng Linsong, Li Chunlan. Calculaiton of water cresting height for horizontal well in bottom-water [J]. Journal of Hydrodynamics, 2006,21(3):374-380.

[10] 劉振宇,程博,劉洋,等.水平井開發研究-底水油藏的水脊變化及見水時間預測[J].大慶石油學院學報,2002,26(4):100-103.

Liu Zhenyu, Cheng Bo, Liu Yang, et al. Water cresting characteristics and determination of breakthrough time for horizontal wells [J]. Journal of Daqing Petroleum Institute, 2002,26(4):100-103.

[11] 周代余,江同文,馮積累,等.底水油藏水平井水淹動態和水淹模式研究[J].石油學報,2004,25(6):73-77.

Zhou Daiyu, Jiang Tongwen, Feng Jilei, et al. Waterflooding performance and pattern in horizontal well with bottom water reservoir [J]. Acta Petrolei Sinica, 2004,25(6):73-77.

[12] 姜漢橋,李俊鍵,李杰.底水油藏水平井水淹規律數值模擬研究[J].西南石油大學學報:自然科學版,2009,31(6):172-176.

Jiang Hanqiao, Li Junjian, Li Jie. Investigation on water-out mechanism of bottom water driven reservoir in horizontal wells [J]. Journal of Southwest Petroleum University: Science and Technology Edition, 2009,31(6):172-176.

[13] 王敬,劉慧卿,劉松原,等.非均質底水油藏水平井水淹規律研究[J].石油學報,2010,31(6):970-974.

Wang Jing, Liu Huiqing, Liu Songyuan, et al. A flooding law in horizontal wells of heterogeneous reservoirs with bottom water [J]. Acta Petrolei Sinica, 2010,31(6):970-974.

[14] 李傳亮,宋洪才,秦宏偉.帶隔板底水油藏油井臨界產量計算公式[J].大慶石油地質與開發,1993,12(4):43-46.

Li Chuanliang, Song Hongcai, Qin Hongwei. Computation formula of critical production oil wells in reservoir with bottom water and confining bed [J]. Petroleum Geology and Oilfield Development in Daqing, 1993,12(4):43-46.

[15] 李傳亮.半滲透隔板底水油藏油井見水時間預報公式[J].大慶石油地質與開發,2001,20(4):32-33.

Li Chuanliang. Prediction formula for water breakthrough time of semipermeable partition bottom water reservoir [J]. Petroleum Geology and Oilfield Development in Daqing, 2001,20(4):32-33.

[16] 趙新智,朱圣舉.低滲透帶隔板底水油藏油井見水時間預測[J].石油勘探與開發,2012,39(4):471-474.

Zhao Xinzhi, Zhu Shengjyu. Prediction of water breakthrough time for oil wells in low-permeability bottom water reservoirs with barrier [J]. Petroleum Exploration and Development, 2012,39(4):471-474.

[17] 劉峰,洪建偉,任建紅,等.低滲透帶半滲透隔板的底水油藏油井見水時間預測[J].鉆采工藝,2014,37(2):51-53.

Liu Feng, Hong Jianwei, Ren Jianhong, et al. Study on water breakthrough time prediction for oil wells in low-permeability bottom water reservoirs with semi-permeable barrier [J]. Drilling & Production Technology, 2014,37(2):51-53.

[18] Yue Ping, Du Zhimin, Chen Xiaofan, et al. The critical rate of horizontal wells in bottom-water reservoirs with an impermeable barrier [J]. Petroleum Science, 2012,9(2):223-228.

[19] 黃全華,陸云,付云輝,等.帶隔板底水油藏水平井見水時間預測方法[J].油氣地質與采收率,2016,23(6):82-86.

Huang Quanhua, Lu Yun, Fu Yunhui, et al. Prediction method of water breakthrough time of horizontal wells in bottom water reservoir with barrier [J]. Petroleum Geology and Recovery Efficiency, 2016,23(6):82-86.

[20] 劉欣穎,胡平.水平井開采含夾層底水油藏三維物理模擬試驗研究[J].石油天然氣學報,2011,33(8):129-133.

Liu xinying, Hu Ping. 3-D Physical experiment on horizontal well production in bottom water reservoirs with interbeds [J]. Journal of Oil and Gas Technology, 2011,33(8):129-133.

[21] 薛永超,粱衛,耿傳林.夾層對底水油藏油水運動的控制作用[J].西安石油大學學報:自然科學版,2011,26(1):14-17.

Xue Yongchao, Liang Wei, Geng Chuanlin. Control effect of inter-layers on the migration of oil and water in bottom-water reservoirs [J]. Journal of Xi'an Shiyou University: Natural Science Edition, 2011,26(1):14-17.