再談多頻率電源下的最大功率傳輸問題

田社平, 孫 盾, 張 峰

(1. 上海交通大學 電子信息與電氣工程學院, 上海 200240；2. 浙江大學 電氣工程學院, 浙江 杭州 310027)

正弦穩態電路最大功率傳輸定理是電路理論課程的重要教學內容,它指出了電路在正弦激勵下負載獲取最大功率的條件[1-4]。在電路實際應用中,常常也存在非正弦周期激勵的情況，比如在傳感器應用電路中,傳感器將包含各種正弦成分的非電量(如振動)轉換為電量(如電壓),此時可將傳感器看作包含非正弦周期激勵的電源[5-6]。文獻[7]分別討論了2個和3個不同頻率激勵時的最大功率傳輸問題,但該文的數據測量結果與結論——非正弦周期穩態電路的負載所獲得的功率至多等于電源各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和相矛盾。為此,文獻[8]采用SPICE仿真重新計算,得到了正確的結果。文獻[9]對上述問題開展了進一步研究,通過Matlab計算,得出“不同頻率電源共同作用時最大功率大于各頻率電源單獨作用時功率之和”的結論,筆者認為這一結論是錯誤的。由于現行教材及文獻較少涉及這一問題,下面對該問題加以討論,以就教于大家。

1 含2個頻率激勵的單口網絡

理論上很難推導出非正弦周期激勵下負載獲取最大功率條件的一般解析表達式,為便于討論和比較,下面以文獻[7, 9]中的例子來加以說明,其中含2個頻率激勵的單口網絡如圖1[7，9]所示。文獻[7，9]已計算出該單口網絡提供給負載的最大功率為31.25 W。不失一般性,這里僅以包含2個正弦激勵的非正弦周期穩態電路為例加以討論。

圖1 含2個頻率激勵的單口網絡

2 負載為電阻的情況

圖2為負載為電阻的非正弦周期穩態電路,其激勵為

(1)

圖2 負載為電阻的非正弦周期穩態電路

圖3 當u1(t)單獨作用時的相量模型

所示，可求得流經RL的電流相量為

(2)

此時RL吸收的功率P12為

(3)

(4)

因此,當u(t)作用時,電路在穩態下RL吸收的功率為

(5)

令dP/dRL=0,借助Matlab軟件[10-11]求解得到RL=0.742 Ω,此時,RL吸收的功率達到最大。將RL=0.742 Ω代入式(5),可得Pmax=26.54 W。

3 負載為阻抗的情況

下面討論負載為阻抗的情況。由于電源中包含電感元件,因此負載要獲得更大的功率,則負載應為容性負載[12-13]。如圖4所示[9],電路中負載為RC串聯網絡,u(t)的表達式見式(1)。

圖4 負載為阻抗的情況

(6)

圖5 當u1(t)單獨作用時圖4電路相量模型

此時R吸收的功率P21為

(7)

(8)

因此,當u(t)作用時,電路在穩態下RL吸收的功率為

(9)

上式是關于R、C的函數。令dP/dR=0和dP/dC=0,借助Matlab軟件求解得到的方程組,可得到R=0.549 Ω、C=1.959 F時,RC網絡吸收的功率達到最大。經計算得到此時Pmax=30.91 W。可見,圖4電路負載獲得的功率要大于圖2電路負載為電阻的情形。但是,該Pmax小于可能的最大值31.25 W。

4 對文獻[9]計算結果的復核

根據文獻[9]的計算結果:當R=0.1 Ω,C=1 F時,有最大功率值93.82 W。顯然,該結果遠遠大于可能的最大功率31.25 W。文獻[9]的計算依據如下：

(10)

(11)

(3) 負載吸收的總功率為

P=P1+P2

(12)

當R=0.1Ω,C=1F時,利用式(10)—式(12)確實可以算得負載吸收的功率為93.82 W。但是,通過仔細分析,上述公式是錯誤的,其中式(10)應該表示為

(13)

式(11)應該表示為

(14)

采用上述正確的公式可以算得,當R=0.1 Ω和C=1 F時,負載吸收的功率為10.64 W,與由式(9)計算的結果完全相同。另外,當R=0.549 Ω,C=1.959 F時,利用式(13)、式(14)和式(12)算得負載吸收的功率為30.91 W,與由式(9)計算的結果也完全相同。

取R=0～1.5 Ω、間隔為0.02 Ω；C=1～3 F、間隔為0.02 F,用Matlab軟件繪制的功率曲線如圖6所示。采用式(9)以及式(13)、式(14)、式(12)兩種計算方式,所得結果完全相同。

圖6 圖4電路負載功率曲線

進一步分析文獻[9]關于3個不同頻率電源作用下的功率傳輸結果也是錯誤的,其原因同上。

5 最大功率傳輸電路的設計

上面討論的兩種負載情況均不能獲得最大功率。為了獲得最大功率,負載必須采用最大功率匹配網絡。圖7[7]給出了一種電路實現,易知,當ω=1 rads/s、2 rads/s時,從圖7端口ab向左看去的等效阻抗分別為ZS(j1)=(0.5+j0.5) Ω、ZS(j2)=(0.8+j0.4) Ω,因此,如果從圖7端口ab向右看去的負載阻抗滿足ZL(j1)=(0.5-j0.5) Ω、ZL(j2)=(0.8-j0.4) Ω,則負載可獲得最大功率。

圖7 負載獲得最大功率的電路之一

表1 最大功率匹配阻抗網絡的元件參數

針對圖1的單口網絡,可以設計不同拓撲結構的最大功率匹配阻抗網絡,如圖8所示的負載阻抗也能獲取最大功率。

圖8 負載獲得最大功率的電路之二

最大功率匹配網絡的設計還可采用電路諧振理論來設計[8],不再贅述。

6 結語

非正弦穩態周期電路的功率計算有其特殊性,即各諧波分量產生的功率并不影響其他諧波分量產生的功率,這簡化了非正弦穩態周期電路最大功率傳輸問題的分析。也正因為如此,“非正弦周期穩態電路的負載所獲得的功率至多等于電源各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和”，這一結論是必然成立的。本文給出了2個正弦激勵的非正弦周期穩態電路的分析過程,并指出了文獻[9]中的分析錯誤及其原因。對于含有多個諧波分量電源激勵的情況,可作類似分析。本文的討論可供從事電路理論教學的教師參考。

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