控制論中動態系統的數學模型及分析

王紅雁

【摘 要】控制系統的建立，往往先要建立相應的數學模型，而建立數學模型往往涉及到許多數學簡化算法。控制論是美國數學家諾伯特·維納創立的一個數學理論，它最初以數學模型為理論的基礎，后來逐漸滲透到各種系統之中，本文對數學上的控制理論進行簡單的探討。

【關鍵詞】連續時間；動態系統；數學模型；控制理論

中圖分類號： O231.3 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）31-0136-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.31.066

【Abstract】The establishment of control systems often requires the establishment of corresponding mathematical models， and the establishment of mathematical models often involves many mathematical simplification algorithms. Cybernetics is a mathematical theory founded by American mathematician Norbert Wiener. It was originally based on mathematical models and gradually penetrated into various systems. This paper briefly discusses mathematical control theory.

【Key words】Continuous time； Dynamic system； Mathematical model； Control theory

1 控制論

1.1 控制系統

對一個自然的對象，通過一定的影響，是這個對象的行為滿足預先設定的目標，或者完成相應的任務。這就叫做控制系統。

控制論是對控制系統建立具有指導意義的操作理論。控制論理論應用非常廣泛，他的觀點都有很好的研究價值，控制論對一系列的研究提供了方向，將被研究對象當成整體的可控的系統，對它的信息處理、傳遞、反饋等系統的研究，可以使得被研究的物體或者系統有著出乎意料的收獲。

1.2 控制論簡述

在1947年，美國學者維納創立控制論數學學科。并于1948年發表著作《控制論》，他的發表，給學術界造成了極大的震動，一時間，維納家喻戶曉，控制論作為一種偏重于實際意義的理論，為不少行業的發展起了不小的推動作用，20世紀后期，控制論已經慢慢的滲透到，機械，醫學，生物等多個方面，慢慢的控制論也逐漸豐富起來，控制論是一部兼顧理論與應用的偉大著作。其大概可以理解為在無人控制的情況下，系統會按照設定的方向運行。從控制論建立以來，其大概經歷了兩個不同的階段。古典控制論：通過函數信息計算，對控制系統的輸入，執行，表達進行分析和設計問題。現代控制論：因為科學技術的發展，特別是空間科學的進步，控制論開始與空間結合，基于現代空間的狀況，開始研究可以多個同時輸出，多個同時接受，程序進行的更加智能，效率更加高效的控制系統研究開發。

控制論的誕生是自動控制、電子技術、計算機科學等多個行業相互結合的結果，維納從1919年就已經開始存在控制論的模糊思考，二戰期間維納受任自行火炮的研究，在當時他就提出了反饋思想，把活動的所有結果參數化，同時把導致活動結果產生關系函數的關系，然后再送回總控制系統進行修改校準。并在1943年，他撰寫了《行為、目的和目的論》，并且這個思想在自行火炮的研發上取得了成功，這是得維納對控制論的思考更加的清晰。從1948年控制論誕生，到控制論廣泛的運用于各個領域時間不到兩年，六年以后，我國的科學家，錢學森教授將控制論推廣，讓其在工程方面應用，創造了工程控制論，從此以后，控制論呈井噴式發展，各種控制論涌現，比如生物控制論，經濟控制論，社會控制論等等。

2 數學控制基礎

控制系統可以通過常微分方程，差分方程，偏微分方程等一些列數學公式建立，通過各個公式之間的關系，調配下一級動作。在數學中有兩大控制理論。

2.1 基本控制理論

2.1.1 經典控制論

經典控制論解決的是單輸入輸出和早期的穩定性理論。研究反饋控制得主要是以反饋控制為其主要研究內容的自動控制理論的歷史，從第一篇關于經典控制論的時間算起來到現在還不足100年。但是早在1000年以前控制論思想就已經開始具有概念。控制這個詞語也極大的反應了，人類對掌握超越自身能力的渴望。渴望征服自然，為自己服務著一思想。但是早期的控制論思想是不穩定，不平衡的，于是穩定性的問題很早以前就開始被研究，根據有關的文獻表明牛頓可能是研究動態系統穩定性的第一個人。牛頓的數學原理的一系列研究表明，尤其是他的引力學說中對于做圓周運動的質子的對應研究中，他假設圓周運動質子收到的引力的大小與它到圓周運動中心的距離n次方有關。他發現，n>-3時，當質子受到微小的干擾時，仍然能夠在原來的圓周運動軌道上做圓周運動。而當n≤-3時，質子受到細微的擾動將會以螺旋的方式進行遠離圓周中心，此也叫作逃離運動，或者逐漸靠近圓周運動中心。

在萬有引力建立之后，許多學者，天文學家，物理學家嘗試證明太陽系的圓周運動是穩定的。我們所熟知的數學家拉格朗日，和拉普拉斯也曾對這個問題進行過深入的研究，基于前人的經驗和理論研究，在24歲時“證明了行星到人陽的距離在一些微小的周期變化之內是不變的”雖然這個證明在現在來說是不嚴格的，但是他的理論對李亞普諾夫的穩定性理論有很大的影響。

在十九世紀以前保守系統的穩定性一直是討論驗證的重點。主要是關于行星圓周運動是否具有穩定問題。Clerk Maxwell是最先通過對對反饋控制系統的穩定性進行系統分析，并且取得了不錯的成果，并且撰寫了關于此的論文 。關于他研究結果是否正確，麥氏對三階微分方程進行驗證，以及具有五階微分方程的Maxwells governor進行了研究。證明其結果是可行的，并且得出了系統穩定性的條件。在同一個階段維什聶格拉斯基也對蒸汽機的穩定性問題進行探討，維什聶格拉斯基也是對其進行線性化，但是他用線性微分方程描述由調整對象和調整器組成的系統。比Clerk的方法更加簡便。

2.1.2 現代控制理論

在現在控制理論中進展最快的是對的是多輸入多輸出線性系統，特別是建立對刻劃控制系統本質的基本理論，比如可控性、可觀性、實現理論等，從此控制的工程設計變成了一門單獨的研究方向。它促進了控制理論從理論到應用的進程，促進非線性系統、最優控制，卡爾曼濾波、魯棒控制等理論的提出與進步發展，并且稱為重要的科學研究理論。

在上世紀五十年代，由于空間技術的發展和計算機技術的不斷進步，并于上世紀六十年代取得巨大的成果。在這一段時間，卡爾曼第一次將狀態空間系統與控制理論雜糅結合起來，并提出了一些具有重要意義的理論。這些理論就組成了近代現代控制理論的起點和基礎。

線性代數和微分方程是現代控制理論的重要手段，與狀態空間法結合，制作控制系統。其中狀態空間法，發揮了非常大的應用，他不只是關注控制系統外部的穩定，他同時兼顧系統內部。它揭示了控制系統內部的運動規律，對系統實現優化。與經典的控制理論相比，現代控制理論原則上講它可以應用在更多的對象上，它不僅僅是單輸入輸出的、線性的、定富的、也可以是多輸入輸出量的、非線性的、時變的、離散的、高效的。

2.2 控制理論的數學表達

控制理論在數學上的聯系涉及線性控制系統和非線性控制系統。線性控制系統主要涉及到線性代數、常微分方程、隨機控制系統，概率論、隨機過程和隨機微分方程，集中參數控制系統變分法常微分方程泛的分析。

非線性控制系統涉及到分布參數控制系統偏微分方程、泛的分析、線性算寧半樣理論等。非線性控制系統微分幾何的現代理論，微分拓撲初步、常微分方程離散中件動態系統抽象代數等。

3 控制.系統穩定性

3.1 李亞普諾夫穩定性

3.1.1 平衡狀態穩定

我們先來假定一個圓周運動，設以X為圓心，以 R 為半徑的一個球形區域S，那么x一定會有一個半徑，且0≤r≤R。只要x1一開始就在球形區域以內， 當隨著時間進行x1一直都在這個球形區域里面，那么這個圓周系統是穩定的。當x1在運動中受到干擾時，x1一直沒有超出球面范圍，那么它最后還會在球面以內穩定運行， 如圖 1 的曲線 2 2 .2 平衡狀態漸近穩定。

3.1.2 平衡狀態不穩定

假設x不穩定時。那么在球形區域內運動的x1將會脫離球體。

3.1.3 李亞普諾夫間接法

間接法是的將非線性系統在平衡點附近進行線性化， 將非線性系統近似的看成線性系統，然后用研究小范圍內線性化系統的穩定性。這一種線性近似運算只有當X1偏差量很小的前提下進行，但是到臨界以后不再使用。

3.1.4 李亞普諾夫直接法

直接法不同于間接法，其不再采用對線性控制系統的近似研究， 它判斷非線性系統的穩定性利用李雅普諾夫函數來研究。這種方法與間接法互補，兩者的使用范圍各不相同，直接法適合臨界狀況，不適合平衡點附近的輕微擾動。此外直接法還適合大范圍系統穩定性的研究。

3.2 連續時間函數的定義：

針對要研究的對象，我們可以為這個對象得動態性能建立一個數學模型，然后在進行研究探索。 大部分研究對象的動態系統分析可以用這兩個方程來表示：

關于連續時間系統的函數：·X（t）=f[X（t），U（t），t]

關于離散時間系統的函數：X（k+1）=f[X（k），U（k）， k]

當時間不變動時，及定時不變時：X·（t）=f[X（t），U（t）]

X（k+1）=f[X（k），U（k）]

其實非線性系統的分析不是太難，主要在尋找定量上，通俗來講就是尋找控制系統特征規律。判斷這個系統是否穩定，就要尋找這個系統是否有平衡點，然后通過平衡點的穩定，判斷系統是否穩定。

系統的平衡狀態

假設一個動態系統是平衡的問題， X-其中的狀態點， 若系統穩定當到達 X-以后， 就保持為 X-。若比系統平衡， 平衡狀態 X-應滿足：

離散時間系統：X-=f（X-）

連續時間系統：0=f（X-）

4 結語

本文只簡單介紹了數學中的控制論基礎，并對控制系統中的穩定性問題進行簡單的分析。拉氏變換極大的促進了控制系統理論由理論到應用的進程。當然控制論從理論到應用最重要依靠的是好幾代人的不懈努力。隨著近代數學不斷進步，我相信有關控制系統理論的一些問題終會解決。

【參考文獻】

[1]鄭春玲.控制論中動態系統的數學模型及分析[J].景德鎮高專學報，1999（4）：26-27.

[2]世文菊，何彥彬，任善恂.基于控制論的數學測試系統應用研究[J]. 現代遠程教育研究，2012（10）：33-36.