基于趨近律滑模控制的智能車(chē)輛軌跡跟蹤研究

姜立標(biāo)　吳中偉

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院， 廣州 510640)

0　引言

智能車(chē)輛是一個(gè)典型的時(shí)延、非線性系統(tǒng)，其模型參數(shù)具有不確定性，再加上實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外部干擾的存在，其軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)難度較高。滑模控制具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不敏感、無(wú)需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，被廣泛應(yīng)用在車(chē)輛以及類車(chē)機(jī)器人軌跡跟蹤控制等方面[4-5]。

軌跡跟蹤控制技術(shù)一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。在類車(chē)機(jī)器人跟蹤控制方面，HUNG等[6]在全向移動(dòng)平臺(tái)上使用自適應(yīng)滑模控制跟蹤目標(biāo)軌跡。KUNAR等[7]基于Backstepping反演控制的方法設(shè)計(jì)四輪機(jī)器人軌跡跟蹤控制律。ASLAM等[8]則使用模糊滑模控制對(duì)滑移轉(zhuǎn)向車(chē)輛進(jìn)行軌跡跟蹤控制。邵俊愷等[9]提出了基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的自適應(yīng)PID路徑跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)無(wú)人駕駛鉸接式車(chē)輛的路徑跟蹤控制。隨著智能控制理論的發(fā)展，智能車(chē)輛軌跡跟蹤控制方面出現(xiàn)了許多新的控制算法。李兵[10]利用滑模算法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法設(shè)計(jì)車(chē)輛的路徑跟蹤控制器，使智能車(chē)輛能夠較好地跟蹤期望軌跡。文獻(xiàn)[11-12]結(jié)合模糊算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法設(shè)計(jì)了車(chē)輛軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)[13-15]則在無(wú)人駕駛車(chē)輛上使用模型預(yù)測(cè)控制方法進(jìn)行軌跡跟蹤控制。然而在實(shí)際應(yīng)用中上述算法仍存在限制：模型預(yù)測(cè)算法控制精度較高但在線優(yōu)化耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，不能滿足跟蹤控制實(shí)時(shí)性要求；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法則需要大量精確數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，成本較高[16]。

針對(duì)智能車(chē)輛的軌跡跟蹤控制，本文提出一種基于趨近律滑模控制的軌跡跟蹤控制器，通過(guò)特殊函數(shù)和反雙曲正弦函數(shù)的組合，以期系統(tǒng)能夠在任意狀態(tài)都能以較大速度趨近滑模面并且平滑、限制抖振，避免現(xiàn)有趨近律滑模控制趨近速度慢、抖振現(xiàn)象較大的缺陷。

1　智能車(chē)輛系統(tǒng)

智能車(chē)輛是一個(gè)集感知、決策、控制、執(zhí)行等功能于一體的綜合系統(tǒng)[17-18]，如圖1所示。它集中運(yùn)用了計(jì)算機(jī)、傳感、信息融合、通訊、人工智能及自動(dòng)控制等技術(shù)，是典型的高新技術(shù)綜合體。

圖1　智能車(chē)輛系統(tǒng)Fig.1　Intelligent vehicle system

軌跡跟蹤控制是決策規(guī)劃系統(tǒng)與運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中的一部分，是智能車(chē)輛環(huán)境感知和車(chē)輛控制之間的橋梁。智能車(chē)輛從傳感器中獲取環(huán)境以及車(chē)輛信息，通過(guò)決策系統(tǒng)形成期待駕駛行為，接著通過(guò)控制系統(tǒng)對(duì)車(chē)輛進(jìn)行控制，使車(chē)輛安全地從當(dāng)前位置行駛到目標(biāo)位置。

研究車(chē)輛軌跡跟蹤控制的目的是在有限環(huán)境信息和車(chē)輛信息情況下，通過(guò)提高智能車(chē)輛合理決策和控制能力，形成安全可靠的目標(biāo)駕駛行為，并控制車(chē)輛駕駛行為，從而提高駕駛安全性。

2　車(chē)輛運(yùn)動(dòng)模型

2.1　車(chē)輛運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

假設(shè)車(chē)輛運(yùn)動(dòng)過(guò)程為低速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，忽略車(chē)輪側(cè)向滑動(dòng),車(chē)輛在行駛中不出現(xiàn)側(cè)向力，由此建立車(chē)輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，如圖2所示。

圖2　車(chē)輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型示意圖Fig.2　Sketch of vehicle kinematics model

圖中，θ為車(chē)輛車(chē)身與坐標(biāo)系X軸的夾角，φ為等效前輪轉(zhuǎn)角，l為車(chē)輛軸距，vf為車(chē)輛前軸中心點(diǎn)的速度，(xf,yf)為車(chē)輛前輪軸中心坐標(biāo)，(xr,yr)為車(chē)輛后輪軸中心坐標(biāo)。

為方便計(jì)算，將四輪車(chē)簡(jiǎn)化為虛擬的兩輪車(chē)，如圖3所示。由幾何關(guān)系得到簡(jiǎn)化前后前輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系式

cotα+cotβ=2cotφ

(1)

式中α——外輪轉(zhuǎn)角β——內(nèi)輪轉(zhuǎn)角

圖3　等效前輪轉(zhuǎn)角示意圖Fig.3　Sketch of equivalent front wheel angle

由假設(shè)條件可知，車(chē)輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型本身符合非完整性約束條件,即

(2)

由圖2可知

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行求導(dǎo)得

(4)

將式(4)代入式(2),可得

(5)

又由圖2,可得

(6)

將式(6)代入式(5)可得

(7)

由式(4)、式(6)、式(7)得

(8)

所以,對(duì)于前輪轉(zhuǎn)向的車(chē)輛,以后軸中點(diǎn)為參考點(diǎn)，其連續(xù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(9)

式中v——后軸中點(diǎn)處速度，其方向垂直于后軸軸線

車(chē)輛的位姿可由后輪中點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置以及車(chē)輛航向角來(lái)表示，可以描述為ρ=(x,y,θ)。為簡(jiǎn)化表達(dá)式，使用向量q=(v,ω)表示車(chē)輛的線速度和角速度控制量。同時(shí)令

則車(chē)輛運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以表示為

(10)

假定車(chē)輛最大等效前輪轉(zhuǎn)角為φmax，則后軸中點(diǎn)最小的轉(zhuǎn)彎半徑為ρmin，則對(duì)應(yīng)的角速度范圍

2.2　系統(tǒng)誤差分析

如圖4車(chē)輛位姿圖所示，用(xc,yc,θc)表示車(chē)輛的當(dāng)前位置，(xr,yr,θr)表示參考的目標(biāo)位置，則車(chē)輛的位姿誤差為

(11)

圖4　車(chē)輛位姿Fig.4　Vehicle position

對(duì)式(11)進(jìn)行微分，結(jié)合式(10)和參考的控制輸入qr=(vr,ωr)，可以得到系統(tǒng)誤差的微分方程

(12)

車(chē)輛的軌跡跟蹤控制目標(biāo)是尋找到合適的控制輸入q=(v,ω)，對(duì)車(chē)輛在任意的初始誤差情況下，系統(tǒng)在該控制輸入下，使得誤差pe有界且不斷趨向于0，即

(13)

3　車(chē)輛軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

3.1　算法流程

為了減小軌跡跟蹤的誤差，提出了基于趨近律滑模控制的軌跡跟蹤控制算法，其流程如圖5所示。首先建立車(chē)輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將參考軌跡與當(dāng)前實(shí)際車(chē)輛位姿進(jìn)行位姿誤差分析，并將位姿誤差連同參考車(chē)輛速度和角速度輸入到所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器中，從而獲得需要的控制車(chē)輛跟蹤參考軌跡的車(chē)速和角速度。

山地型軟土散布于我國(guó)廣大山地區(qū)域，山地型軟土由該地域泥灰?guī)r，砂泥巖等巖層的碎粒及分化產(chǎn)物經(jīng)雨水裹挾沉積于嶺腳山澗等地。經(jīng)長(zhǎng)期干濕循環(huán)及沉積作用形成。依據(jù)其成因不同可分為洪水沖擊、自身滑移型與溪流雨水搬運(yùn)型。

圖5　算法流程Fig.5　Algorithm process

3.2　控制器設(shè)計(jì)

反步(Back-stepping)控制設(shè)計(jì)方法因?yàn)榭蓪⒖刂破鞯脑O(shè)計(jì)與基于Lyapunv穩(wěn)定性的證明相結(jié)合、可將高階系統(tǒng)劃分為若干個(gè)低階子系統(tǒng)、控制器結(jié)構(gòu)清晰等特點(diǎn)，在非線性系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用[19-20]。因此，采用此方法設(shè)計(jì)智能車(chē)輛軌跡跟蹤控制的滑模控制切換函數(shù)。

引理1：對(duì)于任意x∈R并且|x|<∞,有φ(x)=xsin(arctanx)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

根據(jù)上述引理設(shè)計(jì)滑模切換函數(shù)。

當(dāng)xe=0時(shí)，考察Lyapunov函數(shù)

(14)

對(duì)其求導(dǎo)可得

(15)

令θe=-arctan(vrye)，那vryearctan(vrye)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)vrye=0時(shí)等號(hào)成立,則

所以只要xe收斂到0且θe收斂到-arctan(vrye)，則系統(tǒng)狀態(tài)ye收斂到0。

根據(jù)上述結(jié)論設(shè)計(jì)切換函數(shù)

(16)

通過(guò)控制輸入，使得s1趨向于0,s2趨向于0，即實(shí)現(xiàn)xe收斂到0同時(shí)θe收斂到-arctan(vrye)，從而實(shí)現(xiàn)ye趨向于0,θe趨向于0。

對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制而言，不連續(xù)開(kāi)關(guān)特性會(huì)引起系統(tǒng)的抖振。同時(shí)理想滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的假設(shè)條件對(duì)于實(shí)際控制系統(tǒng)不可能完全成立。所以抖振無(wú)法消除而且消除了抖振也就消除了變結(jié)構(gòu)控制的抗攝動(dòng)抗擾動(dòng)的能力，因此，完全消除抖振是不可能的，只能將抖振削弱到一定的范圍[21-22]。

為使系統(tǒng)能快速接近切換面，并且進(jìn)一步改善其抖振現(xiàn)象，采用新型趨近律[23]

(17)

其中

式中0<δ<1,η>0,ε>0 ，δ為fal(s,η,δ)在原點(diǎn)附近正負(fù)對(duì)稱線性段的區(qū)間長(zhǎng)度，并且fal(s,η,δ)為非連續(xù)函數(shù)。

圖6　X軸軌跡跟蹤效果Fig.6　Trajectory tracking effects of X axis

當(dāng)|s|≤δ時(shí)，即s接近0時(shí)，式(17)第1項(xiàng)可以使得系統(tǒng)趨近速度變大，使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間之內(nèi)快速到達(dá)滑動(dòng)面，同時(shí)在滑動(dòng)面附近的fal(s,η,δ)是光滑連續(xù)的，控制輸入的高頻震動(dòng)現(xiàn)象被有效削弱。而且式(17)的第2項(xiàng)也是光滑連續(xù)函數(shù)，當(dāng)|s|>δ時(shí)，能保證系統(tǒng)狀態(tài)可以較大的速度趨近滑動(dòng)面并且起到平滑和限幅的作用。

令ζ=arctan(vrye)，則系統(tǒng)的趨近律可表示為

(18)

整理式(18)可以得到控制律

(19)

4　仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證上述基于新型趨近律滑膜控制器的控制效果，根據(jù)第2、3節(jié)內(nèi)容在Simulink軟件上搭建被控對(duì)象——智能車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和本文提出的軌跡跟蹤控制器。式(18)中新型趨近律滑模控制參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1　仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1　Simulation parameter setting

設(shè)定參考軌跡是目標(biāo)線速度和角速度都是勻速運(yùn)動(dòng)的圓軌跡，取ωr=0.2 rad/s,vr=2 m/s,則v′r=0 m/s2。位姿誤差初始值取pe(0)=(20,6,0)。仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6a可知，在本文趨近律控制和雙冪次趨近律控制下，車(chē)輛都能跟蹤到參考的X軸軌跡。但是由圖6b可知，在本文趨近律控制下車(chē)輛能較快地跟蹤到參考軌跡，到1.87 s時(shí)，X軸誤差絕對(duì)值小于0.020 m；而在雙冪次趨近律控制下直到9.27 s，X軸誤差絕對(duì)值才小于0.020 m，耗時(shí)比前者增加7.40 s。而且本文趨近律在接近滑模面時(shí)趨近速度明顯減慢，能平滑地靠近滑模面；而后者在首次接近滑模面時(shí)具有較大的趨近速度，使系統(tǒng)狀態(tài)穿過(guò)滑模面，仍以一定速度向負(fù)方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，負(fù)向X軸誤差最小值為-4.212 m，隨后才逐漸趨向于0。

同樣由圖7a可知，在本文趨近律和雙冪次趨近律控制下，車(chē)輛都能跟蹤到參考的Y軸參考軌跡。由圖7b可知，到1.85 s時(shí)本文趨近律控制下Y軸誤差絕對(duì)值小于0.006 m。而雙冪次趨近律控制下，Y軸誤差先增加然后下降，到7.05 s時(shí)，Y軸誤差絕對(duì)值才小于0.006 m，耗時(shí)比前者增加5.20 s，其正向最大Y軸誤差達(dá)到6.236 m，負(fù)向Y軸誤差最小值為-0.829 m，均明顯大于本文趨近律控制的效果。

圖7　Y軸軌跡跟蹤效果Fig.7　Trajectory tracking effects of Y axis

由圖8a可知，兩者都能跟蹤到參考航向角。由圖8b可知，趨近律的趨近速度明顯高于雙冪次趨近律。由圖8c可知，本文趨近律和雙冪次趨近律控制下航向角跟蹤都出現(xiàn)了抖振現(xiàn)象。在前者控制下，負(fù)向航向角誤差最小值為-0.246 rad，正向航向角誤差達(dá)到0.004 rad，到2.31 s，航向角誤差絕對(duì)值小于0.001 rad；而在雙冪次趨近律控制下，負(fù)向航向角誤差最小值為-0.873 rad，正向航向角誤差最大達(dá)到0.296 rad，到8.15 s時(shí)，航向角誤差絕對(duì)值小于0.001 rad。由此可知，本文趨近律控制下抖振現(xiàn)象明顯減弱，最大正向和負(fù)向航向角誤差僅為雙冪次趨近律的1.351%和28.178%，到達(dá)航向角誤差絕對(duì)值小于0.001 rad的時(shí)間縮短了5.84 s。

圖8　航向角跟蹤效果Fig.8　Tracking effects of course angle

由圖9可以看出，在本文趨近律滑模控制下，車(chē)輛能很快地跟蹤到參考軌跡，反應(yīng)快速準(zhǔn)確。而雙冪次趨近律滑模控制雖然也能跟蹤到參考軌跡，但是需要行駛更長(zhǎng)的距離才能跟蹤成功。相比之下，本文趨近律的跟蹤效果更好。

圖9　圓軌跡跟蹤Fig.9　Curve following

5　結(jié)束語(yǔ)

以智能車(chē)輛作為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并且提出了基于趨近律自適應(yīng)滑模控制的軌跡跟蹤控制算法，與雙冪次趨近律跟蹤控制算法進(jìn)行圓形軌跡跟蹤Simulink對(duì)比仿真。通過(guò)仿真可知，在本文趨近律滑模控制下，系統(tǒng)X軸誤差和Y軸誤差收斂時(shí)間明顯比雙冪次趨近律滑模控制縮短，航向角誤差抖振現(xiàn)象減弱，整體跟蹤效果平滑快速，其結(jié)果驗(yàn)證了基于本文趨近律的滑膜控制算法具備更快的趨近速度，抖振現(xiàn)象明顯削弱，跟蹤效果更優(yōu)。

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