營造生態課堂 彰顯數學美蘊

楊承軍

數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，體現數學的文化價值以及數學對推動社會發展所發揮的作用，明確數學是人類文化的重要組成部分，學習數學的科學思想體系、數學的美學價值以及數學家的創新精神。在數學課堂教學中，教師可利用數學之美實施審美教育，培養學生的審美情趣，引導學生發現美，使他們樹立正確的審美觀念。生態數學課堂倡導“順應自然、尊重個性、返璞歸真、教學相長”的教學理念，不僅可以充分展示教學內容的美學價值，還可以讓學生在平等、和諧、有生命的課堂中感受美的情趣，產生表達美、創造美的強烈愿望，進而通過數學特有的美來陶冶學生，為學生的未來學習和終身發展奠定基礎。

一、行走在價值多元化的時代，正確認識真善美

要提高學生的文化修養，切實改進學校的美育教學，要求每一位數學教師充分挖掘教材中的美育因素，培養學生正確的審美觀。2015年9月，國務院辦公廳印發了《關于全面加強和改進學校美育工作的意見》，吹響了教育事業挺進“美育”新時代的號角?！秶医逃聵I發展“十三五”規劃》明確指出：深入挖掘課程教材的育人作用，廣泛運用情境教學、現場教學、社會實踐等方式，關注學生情感體驗過程，引導和組織學生通過各種社會實踐活動踐行社會主義核心價值觀，開展自我教育。

走進數學世界,數學抽象的理論性與應用的廣泛性,邏輯的嚴謹性與結構的協調性,形式的對稱性與和諧性,內容的豐富性與深刻性,無不給人以美的情趣、美的享受、美的激勵、美的追求。在數學教學中進行美育教育,就要揭示出豐富的數學內容中蘊含的數學美，教師可以在提出數學問題時揭示數學的美，也可以在分析問題與解決問題時揭示數學的美,還可以在知識整理過程中揭示數學的美，從而激發學生強烈的學習好奇心，提高學生的數學素養。

二、演繹數學世界的內在規律，發現數學的邏輯美

音樂的殿堂里，優美動聽的樂曲讓你感受到音樂帶給你“美”的享受，文學園地里精辟絕妙的語句讓你體味文學帶給你“美”的大餐，而數學王國里簡約奇異的模型卻讓你感悟到數學特有的理性之“美”。這種“美”是啟迪智慧的“美”?！澳睦镉袛祵W,哪里就有美”，這是古代哲學家對數學美的態度。只要我們用心觀察世界、思考世界、表達世界，數學的美就會呈現出來，就會陶冶我們的情操。

1.數學的抽象美。

R.D.Carmicheal認為：數學家因為對發現的純粹愛好和其對腦力勞動產品的美的欣賞，創造了抽象和理想化的真理。抽象是對某類事物共性的描述。數學概念是從眾多事物共同屬性中抽象出來的。抽象是對日益擴展的數學知識總體進行簡化、廓清和統一化的過程。數學的抽象性在很大程度上表現在數學的簡約性。在教學中，教師要引領學生感受數學抽象美，必須從具體實物感知入手，注重建立表象，不斷從不同模型表征中抽象出最簡約的表征方式。

例如，在《認識三角形》一課的教學中，教師首先呈現大量的生活圖片，讓學生欣賞并找出學過的圖形，感受三角形運用之美以及美無處不在，從而使學生產生濃厚的學習興趣。接著，教師讓學生把一根吸管用剪刀剪成三段，看看能不能圍成三角形。學生通過動手操作和小組交流發現，有的能夠圍成三角形，有的不能圍成三角形。教師進而組織學生探究能夠圍成三角形的情況，發現只有當兩邊之和大于第三邊的時候，剪成的三段吸管才能夠圍成三角形。從而明白把一根吸管用剪刀剪成三段的時候，第一刀要剪在吸管中間多（或少）一些的地方，第二刀要把第一次剪的吸管更長的一段剪成兩段，歸納出：由三條線段圍成的圖形叫三角形。

在這個教學片段中，教師從生活入手，提供充分的感知材料，讓學生動手剪吸管，充分感受三角形三邊的關系，在理解“三角形”這一抽象的數學概念的同時，深刻體會到數學的抽象之美。

2.數學的推理美。

《數學課程標準》明確指出：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是學生學習數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。在小學數學教學中，構建良好的數學知識結構是培養發展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。教師應通過多樣化的活動培養學生的推理能力。

例如，在《長方形和正方形》一課的教學中，教師可以組織學生通過以下三個數學活動經歷合情推理與演繹推理的過程，從而感悟出長方形與正方形的特征。

活動一：擺小棒中產生猜想。

同桌學生合作，用12根小棒（三種不同長度）擺出長方形和正方形各一個。

學生展示。

反思：為什么你認為你擺出的圖形就是長方形？為什么你認為你擺出的圖形就是正方形？

根據學生的回答進行板書。

長方形：上下兩邊相等，左右兩邊相等；四個角都是直角。

正方形：四條邊都相等；四個角都是直角。

反思：這個長方形它上下邊在哪？（注：出示非標準狀態下的長方形質疑，引起認知沖突，認識引入“對邊”的必要性，把上面的板書改為“對邊相等”。同時介紹：長方形有對邊，也有鄰邊。長方形中相鄰的兩條邊，或者說組成長方形每一個直角的兩條邊，就是長方形的一組鄰邊。）

活動二：用量一量、折一折等多種方法驗證猜想。

（1）用量一量、折一折的方法，驗證你們的發現，并把經過驗證的結論填寫到課本第72頁上。

（2）學生扮演教師的角色展示匯報驗證的過程。

（3）教師講解：長方形兩組對邊分別相等，所以，長方形的四條邊只有兩種長度，較長的邊叫做長，較短的邊叫做寬。長方形的一條長與一條寬組成長方形的一組鄰邊。

正方形的四條邊都相等，所以，正方形的四條邊只有一種長度，任何一條邊都叫邊。

作為一名數學教師應當抓住時機，設計恰當的教學內容，讓學生積極地參與數學活動，體會數學知識的形成過程，讓學生感悟到推理的方法和效能，充分展現人的想象能力、抽象能力，充分展現人的智慧。這個教學案例中，教師充分發揮學生的主體性，采用猜想驗證等多種教學方法，改變傳統的教學觀念，提高學生的學習興趣，盡可能擺脫限制因子的束縛，讓課堂教學呈現別樣活力。牛頓說：“沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發現?！辈孪胧菍W生感知事物作出初步的未經證實的判斷，它是學生獲取知識過程中的重要環節，它不是憑空猜想，是以一定的數學知識、經驗知識和思維方法為基礎的一種合理猜想，而不是“瞎猜”。這節課中設計了兩次數學活動，首先是讓學生通過3種不同長度的12根小棒進行直觀操作，讓低年級學生在擺長方形和正方形的操作活動中，借助觀察和操作等活動產生圖形特征的猜想，營造出探究長方形、正方形特征的學習氛圍，激起學生飽滿的熱情和積極的思維。接著讓學生通過折一折、量一量、比一比等操作活動來驗證自己對圖形特征的猜想，在猜想、轉換中理解圖形間的關系，從而發展學生的空間觀念，合情推理與演繹推理相輔相成，一種推理之美油然而生。

3.數學的建模美。

數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構。數學建模就是通過建立模型的方法求得問題解決的數學活動過程。要提高學生數學建模能力，除了在教學中潛移默化地培養學生的數學應用意識外，還需要立足課本，夯實所學的基礎知識。如果學生對所學的數學知識不及時加以鞏固，則提高建模能力根本無從談起。數學建模能力是學生解答數學問題的一種綜合能力。無知便無能，部分學生在建模時所遇到的困難與所學課本知識不牢固有直接關系。

例如，在教學《圓柱的表面積和體積的練習》一課時，學生已經認識了圓柱的特征，掌握了圓柱表面積、體積的計算方法，懂得運用公式解決有關的實際問題。在此基礎上我們設計了一節“圓柱的表面積和體積的練習”課，打破重復機械練習的格局，打破“死套公式”的形式，用一張長方形紙讓學生充分發揮想象創造出圓柱，觀察比較中發現“側面積不變，底面積越大，表面積、體積越大”，鼓勵學生應用所學的圓柱的表面積和體積的知識探索規律，體會變量之間的關系。學生經歷了以下三個層次：

教師：每個同學手中都有一張長方形紙，兩個人合作用這張紙變出不同的圓柱，看哪一組變得多？

展示匯報，探索規律。（1）學生匯報展示變出的不同圓柱體，溝通與長方形紙之間的關系。（2）解決沿著長邊圍成的圓柱與沿著寬邊圍成的圓柱表面積與體積的變化情況。（3）解決繞著長邊旋轉的圓柱與繞著寬邊旋轉的圓柱表面積與體積的變化情況。（4）解決分別繞著長方形兩條對稱軸旋轉得到的圓柱表面積與體積的變化情況。

拓展提升，建立模型。教師引導學生研究“當圓柱側面積一定時，底面積越大，表面積、體積也就越大”產生的原因。

教師：這是我們在有限的時間里，研究三組圓柱得到的結論，通過一張長方形紙圍或旋轉得到的每組圓柱，我們發現：每組圓柱側面積相等，底面積越大，表面積和體積越大，我們還能用其他辦法驗證這個結論嗎？

生1：我用一張長10厘米寬5厘米的長方形紙變出圓柱來驗證。

生2：我用長25厘米寬12厘米的紙變出圓柱驗證。

師：說得完嗎？應該怎么辦？

生3：老師，可以用字母代替。

師：好辦法，如果長用a寬用b，你能算出B組兩個圓柱體積比嗎？

（學生計算、匯報后教師出示課件）

師：今天回去后大家能否用剛才學過的辦法算出A組C組的兩個圓柱的比？

師：同學們，你們即將升入中學，在中學的數學里很多時候要用定義定理來證明結論，今天的學習對你們未來的學習是很有幫助的。

一張長方形紙可以通過圍、旋轉等方式變化出圓柱，從二維到三維的想象，放飛學生的思維，讓學生在自己頭腦想象的過程中構建圖形表象，發展空間觀念。學生在探究“側面積不變，底面積越大，表面積、體積越大”中鞏固圓柱側面積、表面積、體積的相關知識，經歷觀察、比較、猜想、驗證，培養數學思想方法。由合情推理到演繹推理的證明，數學模型的建立可以讓優秀的學生跳一跳摘得到，為升入中學的學習做好鋪墊。這樣的一節練習課，以往教師把精力放在計算方面，但我要說的是：數學思維比數學運算更重要，上帝造物都很簡單，所有的問題都可以用數學公式來表達，這是應用數學家們的一個信仰。這就是數學的建模之美。

三、追尋數學大國的歷史脈絡，感受數學的人文美

波瀾壯闊的中華文明史中最亮麗的篇章就是中國數學史。縱觀古代數學史，中國數學對于世界的卓越貢獻如盛開著的中國文明之花，一朵朵展現開來。數學家都把對數學的研究、追求當作有著藝術享受的快樂。在小學階段教師應挖掘教材中的數學文化，從小讓學生體驗到我國數學文化的精髓。如，教學《圓的周長》時結合介紹祖沖之小時候酷愛數學和天文,學習非常刻苦，“專攻數術,搜揀古今”的故事；在開設的數學綜合實踐活動課中廣泛講述引以為傲的數學史，讓學生感受到作為一門科學的數學所表現出來的文化美。

數學的文化美、科學美、邏輯美，推動著生產發展、改變著人們的生活方式，影響著人類精神文明的發展。在生態的數學課堂中，教師應關注課堂生態環境，做到放與收、動與靜、得與失、死與活四個方面的和諧統一，實現教師、學生、環境的可持續發展。教師要時時反思自己的教學觀念和行為，充分發揮學生的主體性，采用多種教學手段和評價方法，改變傳統的教學觀念，提高學生的學習興趣。盡可能擺脫限制因子的束縛，讓課堂教學呈現別樣活力。在這樣的課堂中，要注意美育滲透，讓學生在輕松愉悅中提高學習興趣及應用數學的能力。