基于兩階段DEA的空中突防兵力方案評價方法

周中良, 程　越, 寇　添, 咼鵬程

(空軍工程大學航空航天工程學院, 陜西 西安 710038)

0　引　言

作戰方案是作戰單元執行任務的基本依據,關系著戰斗的勝負,由兵力方案[1]、任務規劃[2]、效能評估[3]等要素組成。其中,兵力方案是作戰方案的重要組成部分,不同的兵力投入會獲得不同的作戰效果[4],故對兵力方案擇優選取是作戰取勝的關鍵。兵力方案的優選,存在兩類原則,一是作戰效能的最大化[5],二是效費比的最大化[6],本文以效費比為原則研究兵力方案的優選方法。

本文以飛機編隊突防作戰的兵力策略優選為背景,運用系統動力學(system dynamics, SD)的方法,構建突防編隊依次通過飛機攔截區、地空武器攔截區直至打擊目標的突防兵力損失模型,為優選提供較可靠的數據來源。采用數據包絡分析(data envelopment analysis, DEA)中序貫型網絡模型為評價方法,將突防過程抽象為類型3兩階段DEA的兵力多輸入多輸出系統,證明其加性與乘性效率分解與類型1不同,并分別從兩階段的輸出與輸入導向提出新的中立性評價方法,分別用于兵力策略的效率評價與優選。

1　突防兵力損失模型

兵力損失模型是兵力方案優選的基礎,是突防飛機編隊受攔截影響與攔截方受攻擊影響的數學描述,本文將突防過程分為通過飛機攔截區、通過地空武器攔截區兩部分,兩防空區互不重疊,呈“串聯”防御的關系。

如圖1所示,突防飛機編隊依次通過飛機攔截區、地空武器攔截區,實施對目標群的打擊。

圖1　突防作戰示意圖

設定突防方兵力類型有:被掩護機、掩護機、電子對抗兵力、網絡化作戰兵力。攔截方兵力類型有:攔截機、地空武器、電子對抗兵力、網絡化作戰兵力。被掩護機僅用于對目標的打擊;掩護機用于保護被掩護機,實施對攔截機與地空武器的作戰;攔截機用于對被掩護機與掩護機的作戰;地空武器分為防空導彈與高炮兩種,用于對突防編隊的攔截。由于電子對抗可能涉及的作戰單元較多,且戰術復雜,故在突防模型中以電子對抗能力指數表示;同樣地,網絡化作戰對作戰效能的影響也較復雜,以兵力倍增系數表示。電子對抗兵力與網絡化作戰兵力只考慮投入不考慮損失。采用

系統動力學的方法對突防作戰進行建模,該方法利用系統中各要素之間的影響對系統的特性進行研究[7-9]。存量流量圖是用于量化模型的基本方法,其中,存量是變量的累積量,流量是變化量,流率是變化的速率[10-12]。本文對兩防空區交戰中兵力變化影響的因素進行歸納總結,并作出相應的存量流量圖。

1.1　飛機攔截區模型

在飛機攔截區中,突防方參與的兵力類型有:被掩護機、掩護機、電子對抗兵力、網絡化作戰兵力。攔截方參與的兵力類型有:攔截機、電子對抗兵力、網絡化作戰兵力。對交戰過程進行分析,總結出所涉及的存量、流量、輔助變量、常量分別為存量:L1(t)、L2(t)、L3(t);流量:R1(t)、R2(t)、R3(t);輔助變量:Q1(t)、Q2(t)、Q3(t)、q13(t)、q23(t)、q31(t)、C13(t)、C23(t); 常量:q1、q2、q3、P13、P23、P31、A1、M1、A3、M3、T1、k1、k2、k3、k4。

各參數意義如圖2所示,其中,數量的單位是“架”,損耗的單位是“架/分鐘”,攻擊速度的單位是“次/分鐘”, 時間單位是“min”。根據存量、流量、輔助變量、常量之間的影響關系,利用vensim 6.0b PLE軟件作出存量流量圖,因果關系標明極性,且常量用虛線連接。輔助變量具體數學模型參考文獻[13]。

q13(t)dt+q1T1

(1)

(2)

(3)

1.2　地面防空區攔截模型

對飛機編隊在地空武器攔截區中的交戰過程進行分析,總結出所涉及的存量、流量、輔助變量、常量分別為存量:L1(t)、L2(t)、L4(t)、L5(t)、L6(t);流量:R1(t)、R2(t)、R4(t)、R5(t)、R6(t);輔助變量:Q1(t)、Q2(t)、Q4(t)、Q5(t)、Q6(t)、q14(t)、q15(t)、q24(t)、q25(t)、q42(t)、q52(t)、q62(t)、C14(t)、C15(t)、C24(t)、C25(t)、C41(t)、C51(t);常量:q1、q2、q4、q5、P14、P15、P24、P25、P42、P52、P62、A1、M1、A2、M2、A4、A5、T2、k1、k2、k3。

各參數意義如圖3所示,與飛機攔截區相同的變量的單位相同,地空導彈與高炮單元及目標的單位是“個”,存量流量圖構建方法與飛機攔截區相同。

圖3　地空武器攔截區兵力損耗存量流量圖

(q14(t)+q15(t))dt+q1T2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2　兩階段DEA評價方法

飛機編隊在突防中,會依次通過飛機攔截區與地空武器攔截區,最終實現對目標的打擊。每一攔截區都會對突防編隊造成不同的損失,如掩護機與突防機的損失等,并且收獲不同的作戰收益,如擊毀攔截飛機、避開地空武器等。對這個過程進行效率評價,是兵力方案優選的基礎?？梢?突防兵力損失模型是一個多輸入多輸出的系統模型,要評價不同兵力策略的優劣,根本上就是對多輸入多輸出系統進行效率評價。

DEA是經濟、管理等學科中用于多輸入多輸出系統效率評價的經典方法。決策單元(decision making unit, DMU)是DEA方法中的評價對象,是對DEA所研究對象的統稱,本文研究的兵力方案就是DMU的一種。傳統的DEA方法將DMU視作“黑箱”,不考慮其內部結構,不能根據DMU內部的投入產出關系評價效率,是傳統DEA評價方法的主要缺點。而多階段DEA適用于對具有網絡結構的DMU中每一階段進行效率評價,為決策提供更加準確的依據[14-16]。文獻[17]于1978年提出DEA的第一個模型以來,傳統DEA一直將DMU視作僅具有一個階段的多輸入多輸出系統,即“黑箱”,忽略DMU內部結構。直到文獻[18]于1996年對具有多階段的DMU研究了效率評價問題。文獻[19]對多階段DEA評價模型與方法進行了總結。文獻[20-21]提出了不同種類多階段網絡DEA的評價方法,并對兩階段DEA進行了著重研究。

圖4是多階段DEA系統的示意圖,X表示系統外部輸入,Z表示系統內部的輸入或輸出,K表示非末階段系統外部輸出,Y表示末階段系統外部輸出。由突防的過程可知其適用于兩階段DEA評價,兩階段DEA可分為圖5所示的4種結構。

圖4　多階段DEA

圖5　兩階段DEA的4種類型

不考慮兵力補充,按照飛機編隊依次通過飛機攔截區與地空武器攔截區的流程,根據兩個攔截區的兵力損失存量流量圖,可以總結出突防作戰的兵力輸入輸出結構如圖6所示。

圖6　突防作戰的兵力輸入輸出結構

可見,對于突防作戰,在階段1中存在不屬于階段2輸入的輸出,且階段2沒有外部輸入,故適用于兩階段DEA評價中的類型3模型。下面對類型3模型在規模有效情況下[22-24]的效率評價問題進行研究。

2.1　加性效率分解模型

根據加性兩階段DEA模型,假設第j個DMU-DMUj的兩階段整體效率為

(9)

階段1和階段2的效率分別為

(10)

則整體效率的加性分解為

(11)

(12)

(13)

(14)

易知,式(14)屬于分式規化模型,為簡化運算,應用C2變換進行處理,該變換是由Charnes與Cooper兩人提出的處理分式規劃的方法[25],可以得到

(15)

當式(15)取得最大值時,令(u*,w*,r*,q*)為最優參數組合,則

(16)

(17)

兩個階段效率分解系數的比值為

(18)

2.2　乘性效率分解模型

對類型3的兩階段DEA,由乘性效率分解的定義,可給出其整體效率為

(19)

階段效率與加性效率分解模型相同,為取得整體效率最大值,根據輸入導向,作最優規劃,即

(20)

應用C2變換,有

(21)

令(u*,w*,r*,q*)是式(21)的最優參數組合,則

(22)

(23)

2.3　中立性兩階段效率合成

從第2.1節與第2.2節可知,無論是整體效率的加性分解還是乘性分解,其目的都是提出一種兩階段DEA的整體效率評價方法。對于多階段DEA,除首階段的輸入與尾階段的輸出外,還存在其余輸入或輸出,這些量在效率評價中的作用是未知的,故整體效率的定義與單階段DMU不同,存在主觀性與多樣性。本節對類型3的兩階段DEA中的兩個階段分別從輸出導向與輸入導向進行效率評價,由兩階段各自效率值的大小,根據不同導向具備的不同最優規劃的特性,提出一種中立性合成的兩階段DEA整體效率評價方法,在滿足分階段評價的基礎上,為類型3兩階段DEA的整體效率構建客觀的評價方法。對階段1,從輸出導向,做出最優規劃為

(24)

對階段2,從輸入導向,做出最優規劃為

(25)

因式(24)和式(25)限制條件相同,且目標函數可整合,故可合并為一個規劃,即

(26)

同樣地,應用C2變換,有

min [qXj0wZj0-uYj0(wZj0+rKj0)]

(27)

令(u*,w*,r*,q*)是最優參數組合,則最優解為q*Xj0w*Zj0-u*Yj0(w*Zj0+r*Kj0),且

(28)

以上將根據第一階段與第二階段兩最優規劃進行整合,提出了可根據兩階段合成效率值對整體效率進行評價的方法,避免了因整體效率定義方式的不同所導致的評價結果的主觀性與偏見性?？梢钥闯?本文提出的3種類型3兩階段DEA均具有中立性,且無優劣之分。

3　仿真分析

首先設定突防作戰中突防方與攔截方的兵力,模型參數以及作戰任務要求,根據兵力損耗模型得到所有兵力方案的兵力損耗情況,然后根據構建的3種兩階段DEA效率評價方法對兵力方案進行效率評價,根據任務要求,選擇最優兵力方案。

突防方與攔截方兵力及毀傷系數設定如表1和表2所示。作戰時間持續20單位,不分波次,任務成功的底線為摧毀50個以上(含50個)目標,攔截方兵力為固定值。

表1　兵力參數

表2　毀傷系數

表2中表示行中兵力對列中兵力的毀傷系數。分配系數均按照平均分配的原則,從突防方的角度對兵力策略進行優選。首先,對可生成所有兵力方案的結果進行推演,兵力方案共有10×12×4×2=960個。由于兵力方案數目較多,不逐一列出。飛機攔截區和地空武器攔截區兵力損失如表3和表4所示。

表3　飛機攔截區兵力損失

表4　地空武器攔截區兵力損失

分別運用類型3兩階段DEA的加性效率分解、乘性效率分解與中立性效率合成方法對960種兵力方案進行效率評價。將所有兵力方案的效率值映射在二維坐標系上,其中橫坐標S表示方案,縱坐標E表示效率值,以“紅色”“藍色”“綠色”分別表示表示兵力方案在飛機攔截區效率值、地空武器攔截區效率值、整體效率值。

如圖7所示,應用加性效率分解的評價方法,當突防編隊通過飛機攔截區時,第392號方案效率值最高,效率值為0.963 5,方案為5架被掩護機、1架掩護機、電子對抗兵力為4、網絡化作戰兵力為2,但是該方案只能摧毀45.821 5個目標,不符合任務要求。

圖7　加性效率分解中飛機攔截區效率值

如圖8所示,應用加性效率分解的評價方法,當突防編隊通過地空武器攔截區時,第911號方案效率值最高,效率值為0.965 1,方案為10架被掩護機、6架掩護機、電子對抗兵力為4、網絡化作戰兵力為1,可摧毀84.562 4個目標,可知該方案符合任務要求。

圖8　加性效率分解中地空武器攔截區效率值

如圖9所示,應用加性效率分解的評價方法,整體上,第673號方案效率值最高,效率值為0.943 3。方案為8架被掩護機、1架掩護機、電子對抗兵力為1、網絡化作戰兵力為1,可摧毀51.012 2個目標,符合任務要求。

圖9　加性效率分解中整體效率值

如圖10所示,應用乘性效率分解的評價方法,當突防編隊通過飛機攔截區時,第122號方案效率值最高,效率值為0.981 0,方案為2架被掩護機、4架掩護機、電子對抗兵力為1、網絡化作戰兵力為2,可摧毀11.936 5個目標,不符合任務要求。

圖10　乘性效率分解中飛機攔截區效率值

如圖11所示,應用乘性效率分解的評價方法,當突防編隊通過地空武器攔截區時,第883號方案效率值最高,為0.974 5,方案為10架被掩護機、3架掩護機、電子對抗兵力為2、網絡化作戰兵力為1,可摧毀56.968 7個目標,符合任務要求。

圖11　乘性效率分解中地空武器攔截區效率 Fig11　Efficiencies in air defense weapons interception zone under multiplicative efficiency decomposition model

如圖12所示,應用乘性效率分解的評價方法,整體上,第673號方案效率值最高,效率值為0.9890。與加性效率分解方法所得結果相同。

圖12　乘性效率分解中整體效率值

如圖13所示,應用中立性兩階段效率合成的評價方法,當通過飛機攔截區時,第392號方案效率值最高,效率值為0.991 1,與加性效率分解方法所得結果相同。

圖13　中立性兩階段效率合成中飛機攔截區效率值

如圖14所示,應用中立性兩階段效率合成的評價方法,當通過地空武器攔截區時,第883號方案效率值最高,效率值為0.951 3,與乘性效率分解方法所得結果相同。

圖14　中立性兩階段效率合成中地空武器攔截區效率值

如圖15所示,應用中立性兩階段效率合成的評價方法,整體上,第673號方案效率值最高,效率值為0.972 0,與兩種效率分解方法所得評價結果均相同。

圖15　中立性兩階段效率合成中整體效率值

綜上,應選取第673號作戰方案,能夠取得最大的整體作戰效率值?？梢钥闯?3種方法在評價結果上基本一致,尤其是效率加性分解與乘性分解評價方法所得結果與中立性效率合成評價方法所得結果基本一致,驗證了類型3兩階段DEA在效率分解時的中立性。

4　結　論

本文運用系統動力學的方法構建了突防飛機編隊依次通過飛機攔截區與地空武器攔截區的兵力損失模型。對類型3兩階段DEA的效率加性分解與乘性分解模型進行推導,并指出其無偏見性,并提出從不同導向綜合兩階段效率的中立性評價方法,在仿真實驗中證明3種方法的有效性。值得注意的是,當可選兵力種類與數目較多時,可選兵力方案的數目將十分龐大,逐一計算效率值進行優選將耗費較長時間,今后將研究運用近似尋優算法解決該問題的可行性。

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