不完全共因失效系統可靠性預測貝葉斯更新

蔣子涵, 方志耕, 芮菡萏, 張習習, 劉思峰

(南京航空航天大學經濟與管理學院, 江蘇 南京 211106)

0　引　言

共因失效(common cause failures, CCF)是一種相依失效,表現為在同一原因下,系統內的多個元件同時或在很短的時間間隔內相繼發生失效。CCF是冗余設計的天敵,其會大大增加元件發生關聯失效的概率,嚴重降低系統的可靠性。此外,在航空工業、電子工業及核電工業等領域里,CCF是導致系統失效的重要原因,忽略共因的影響將會使可靠性分析產生較大誤差。因此,學者們投入了大量精力來研究CCF的概率分布形式,及其可能對各元件產生的影響。

從1970年代開始,學者們就提出了許多用于分析CCF的模型,包括β因子模型、α因子模型、多希臘字母模型等,在此基礎上也進行了很多研究工作[1-4]。進入21世紀后,隨著系統結構的復雜化以及更多研究案例的出現,對CCF的研究進入了新階段。文獻[5]在傳統模型的基礎上提出作用矩陣的概念,指出共因是以一定概率給每個部件造成不同程度的影響,從而增加了馬爾可夫過程的適用性;類似地,文獻[6]研究了多階段任務系統的概率共因故障問題,提出了分析系統可靠性的顯式和隱式方法;文獻[7]也考慮了概率共因故障模型,并結合隨機方法和動態故障樹來研究帶有備件門的冗余系統可靠性。文獻[8-9]結合了蒙特卡羅模擬和元胞自動機兩種算法,在傳統方法只能分析可以轉化為串、并聯結構的簡單系統的基礎上,進一步評估了復雜系統的可靠性。文獻[10]利用有序二叉決策圖,建立了具有時延約束的網絡可靠性模型,從CCF角度分析了航空電子系統的網絡可靠性。而文獻[11]則以有序二叉決策圖為工具研究帶有非獨立傳播效應的共因故障系統的可靠性。

核電行業作為CCF的重要應用領域,也產生了很多研究成果。文獻[12-13]以核電站為研究背景,構建了一種包含擴散和選擇性失效的多狀態系統模型,并提出廣義發生函數來計算可靠度。文獻[14]運用蒙特卡羅仿真研究了發生自然災害(如地震)時核電站的概率安全評價問題。

近年來,學者們的研究對象逐漸從單一狀態系統轉變為多狀態系統,同時一些新的技術也被用來求解更復雜的系統,常見的方法包括目標導向的流圖法(goal oriented-FLOW,GO-FLOW),馬爾可夫鏈和貝葉斯網絡。其中文獻[15]用統一的映射規則把離散時間貝葉斯網絡和GO-FLOW結合起來,使帶有復雜特征的GO-FLOW模型能被轉化為離散時間貝葉斯網絡模型。文獻[16-17]基于馬爾可夫過程,分別結合多狀態分析和故障反應分析,提出了冗余分配的方法。最后,貝葉斯網絡也是學者們研究的重點。文獻[18-19]均建立了系統的動態貝葉斯網絡模型,以便發現多種故障沖擊下系統的薄弱環節;文獻[20]則以物聯網為研究對象,設計了貝葉斯網絡中新的節點連接方式,分析了物聯網的全端可靠性。

本文考慮不完全CCF機制,認為共因只以一定概率p(發生共因時,單一元件的失效概率)使相關元件發生失效,使得可靠性預測模型更符合現實。目前對不完全CCF的研究只是通過失效次數和總試驗時間來估計多重失效率,本文進一步利用失效時刻數據來進行多重失效率的貝葉斯更新,不僅使估計結果更準確,也能利用新信息來動態預測系統的可靠性。此外,在已有研究僅考慮CCF率的基礎上,本文還考慮了元件的獨立失效率,并通過貝葉斯方法對獨立失效率的估計值進行更新,使得模型同時包含了獨立失效和不完全CCF的特征。

本文希望通過該模型更準確地預測系統可靠性,并通過計算可靠度分位點壽命來合理確定系統的檢修周期,使系統可靠性維持在一個較高水平。

1　不完全CCF系統可靠性模型

1.1　共因的發生率

共因分為系統外部沖擊和內部故障。假定共因的到來是一個泊松過程,則相鄰兩次共因發生的時間間隔Δt服從指數分布,記為Δt～Exp(μ)。

若系統中共有m個元件,且都屬于同一個失效分布,稱為相同分布單元。令λi表示發生共因時,系統中指定i個元件同時失效的失效率;λiVm表示發生共因時,系統中任意i個元件同時失效的失效率,則有

λi=μpi(1-p)m-i

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,Cq(p)表示發生q重以上失效的概率,即

(5)

假如共因到來時,每個元件發生失效的概率p各不相同,那么λi和λiVm的表達式就會因元件組合不同而變化。例如假設系統中有3個元件,在共因下發生故障的概率分別是p1,p2和p3,這時可設λ1,2為1、2號元件同時失效的失效率,即λ1,2=p1p2(1-p3),其他情況以此類推。

推論1設{N1(t),t≥0}和{N2(t),t≥0}為兩個獨立的泊松過程,且強度分別為λ1和λ2,則這兩個泊松過程的疊加{N(t),t≥0}是一個強度為λ=λ1+λ2的泊松過程。

不難證明,推論1可以推廣到有限個獨立泊松過程相疊加的情形，如圖1所示。

圖1　獨立泊松過程的疊加

(6)

(7)

(8)

為了計算共因下元件失效概率p的最大似然估計值,可根據觀察時間T內的一組統計數據N2Vm,N3Vm,…,NmVm來構造p的最大似然函數,即

L(p)=P(N2Vm,N3Vm,…,NmVm)=

(9)

式中,q=(1-p)。可見L(p)的核是式(9)的后半部分,即

(10)

通過對式(10)求導,即可解出p的最大似然估計值p*。

1.2　元件的狀態描述方法

假設系統由m個元件組成。為了對元件的正常或故障狀態進行表示,引入以下符號來表示正?；蚬收鲜录21]:

(11)

1.3　系統可靠性分析方法

P(x1)P(x2|x1)P(x3|x1x2)…

P(xr|x1x2x3…xr-1)

(12)

(13)

2　系統可靠性參數的貝葉斯更新

2.1　共因發生率μ的貝葉斯更新

圖2　共因發生與多重失效

共因以μ的發生率到達,在該段時間內共發生6次共因。每次發生共因時,系統相應出現了二重、三重和四重失效,且失效率分別為λ2Vm,λ3Vm和λ4Vm。因此多重失效率之和反映了共因的發生率μ。由式(4)和推論1可知,這樣的做法是可行的。具體的步驟如下:

與獨立失效率的分析不同的是,CCF分析應將系統作為一個整體來研究,因此把每一次CCF看作一個樣本點。由于已知共因的發生是一個泊松過程,因此系統在共因作用下的壽命服從指數分布族,那么樣本的似然函數為

(14)

(15)

(16)

(17)

2.2　元件獨立故障率λ的貝葉斯更新

設元件在無共因作用時的壽命T服從指數分布Exp(λ),即元件的獨立失效率為λ,則壽命的分布函數是F(t)=1-e-λt。對λ進行貝葉斯估計的步驟如下:

步驟1由于有過往壽命試驗的統計數據,故假設λ的先驗分布為Gamma分布,即π(λ)～Ga(a,b),先驗概率密度函數為

(18)

步驟2現對m個該種元件進行了新的壽命試驗,假設共測得r次失效,且各失效時刻為t1≤t2≤…≤tr≤τ(r≤m),其中τ為指定的觀察中止時間。該樣本的似然函數為

(19)

步驟3依據先驗信息和新試驗數據,并由連續變量的貝葉斯公式可得λ的后驗概率密度為

(20)

將式(18)和式(19)代入式(20),可得

(21)

步驟4式(21)中等號右端是Gamma分布的一個核,即π(λ|t1,t2,…,tr)∝λa+r-1e-(b+Tr)λ。因此λ的后驗分布服從Gamma分布,即π(λ|t1,t2,…,tr)～Ga(a+r-1,b+Tr),因此可得λ的貝葉斯估計值為

(22)

3　實例分析

某民航客機上搭載的飛行數據記錄系統由8個元件組成,其結構如圖3所示。其中1、2號元件是緩降系統的一部分,由同一個電路控制,若出現電壓異常,可能會導致元件失效,因此其組成CCF組1;此外,1、2號元件各自會因為相應的傳感器或電機故障而發生獨立失效。5、7、8號元件是數據傳輸系統的一部分,由另一個電路控制,電壓異常同樣會導致元件失效,因此其組成CCF組2。同一個CCF組內的元件為相同分布單元。而3、4、6號元件只發生獨立失效,稱為獨立失效組。

圖3　系統可靠性框圖和CCF組

事先已知1、2號元件,3、4、6號元件和5、7、8號元件在獨立失效情況下的壽命服從指數分布,且失效率參數λ各不相同。為了對各元件的獨立失效率進行估計,分別選取了50個元件進行失效觀察。該試驗為定時截尾壽命試驗,觀察時間為5 000 h。其失效時刻如表1～表3所示。同時,對兩個CCF組分別進行CCF觀察,并將多重失效時刻記錄在表2和表3中。

表1　獨立組失效時刻

表2　CCF組1失效時刻

表3　CCF組2失效時刻

表4　失效數據及獨立失效率計算值

表5　失效數據及CCF率計算值

現求解該系統的可靠度函數。設第i個元件的可靠度為Ri(t),i=1,2,…,8,則通過最小路集法和串并聯法可得該系統可靠度函數為

RS=(R1+R2-R1R2)R3(R4R7+R5R7-

R4R5R7+R5R8-R5R7R8+R6R8-

R5R6R8-R4R6R7R8+R4R5R6R7R8)

(23)

式中,有3組相同分布單元:1、2號元件,5、7、8號元件和3、4、6號元件。令R1=R2=RA,R5=R7=R8=RB,R3=R4=R6=RC。則式(23)可寫為

(24)

由式(13)可得到式(24)中各分量的表達式,即

圖4顯示了3種情況下的可靠性對比,其中完全CCF是指:只要發生共因就出現失效。由計算可知,不考慮CCF時,系統的期望壽命為5 132 h;不完全CCF為1 429 h;而在完全CCF的假設下只有805 h。可見,CCF會大大降低系統的期望壽命,在系統設計與維護中是不能忽視的因素。

圖4　3種假設下系統可靠度對比

另外,進行貝葉斯更新可以更準確地對系統可靠性進行分析。在實際情況中,人們更關心系統可靠性的退化情況而非期望壽命,因此需要計算系統可靠度在何時會降低到指定數值。圖5顯示了在不完全CCF假設下,貝葉斯更新前后系統的可靠性退化情況。在更新前,系統可靠度在第165 h降至0.9,而更新后這一時刻則變為192 h,可見系統的可靠壽命比先驗估計有所提高。

圖5　貝葉斯更新前后的可靠度分位壽命

此外,經過貝葉斯更新后,不完全CCF系統的可靠度依次降至0.85和0.8的時刻分別為291 h和393 h。根據這些信息可以確定系統的檢修周期。例如,若要使系統可靠性維持在85%以上,則應每間隔291 h檢修一次。

本節實例分析表明,CCF會大大降低系統的可靠度,是實際分析中不能忽略的因素。另外,與傳統的完全CCF相比,本文提出的不完全CCF假設能夠更合理地對系統的可靠性進行分析。最后,貝葉斯更新能夠更準確地反映系統的狀態,并且可以通過新的數據來方便地進行動態更新。

4　結　論

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