非奇異快速終端二階滑模有限時間制導律

李　炯, 張　濤, 雷虎民, 葉繼坤, 王華吉

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0　引　言

近年來,彈道導彈和高超聲速飛行器等高速目標不斷涌現,給各國的防空反導系統帶來了嚴峻的挑戰。攔截高速目標時,導彈的末制導時間只限于幾秒,為了實現對目標直接碰撞殺傷,需要使彈目視線(line of sight, LOS)角速率在有限時間內收斂到零附近的較小鄰域內,從而使導彈以準平行接近狀態殺傷目標[1]。實際應用中,尋的導彈的自動駕駛儀特性通常會使制導精度變差,尤其是對機動目標。因此,研究考慮自動駕駛儀動態特性的有限時間收斂制導律具有重要的意義。

文獻[2-4]針對傳統基于有限時間Lyapunov穩定性理論獲得的導引規律只能保證當時間趨于無窮時視線角速率收斂到零的問題,基于非線性控制有限時間穩定理論,設計了簡潔的有限時間收斂變結構導引規律,并提出了制導系統有限時間收斂的充分條件,但收斂速度較慢。文獻[5-7]針對制導律設計時選擇線性滑模面,跟蹤誤差收斂時間較長的問題。采用Terminal滑模控制策略,在滑模面中引入非線性函數,提高了收斂速度,但造成了系統的奇異問題。文獻[7-8]針對上述問題,基于非線性終端控制理論設計了非奇異終端滑模制導律,解決了奇異問題,但將目標機動設為干擾因素,只適用于靜止目標或弱機動目標,不適用于目標做大機動場景,而且未知擾動會造成系統強烈的抖振。文獻[9-10]設計了非線性干擾觀測器來估計目標機動,但需要目標機動的上界,這通常無法獲得,且對噪聲敏感。文獻[11]考慮了測量噪聲的干擾,設計了擴張觀測器對不確定項進行估計和補償,雖不需要任何先驗信息,但并未證明估計誤差能在有限時間收斂。

LOS角是制導律設計的關鍵參數,通常通過導引頭測量獲取,但在測量過程中存在噪聲干擾,且其微分量通常無法獲得。近年來,跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)被廣泛采用解決上述問題[12-18]。TD的基本概念最先由我國韓京清研究員提出,并給出了3種具體的TD[19],但其跟蹤和微分效果并不理想,國內外學者對TD的設計方法進行了深入研究,已提出多種形式的TD[15-16]。文獻[16]提出了混合微分器,即在設計微分器時,同時引入線性環節和非線性環節,非線性環節確保了微分器收斂的快速性,線性環節則有效避免了輸出顫振,但是形式過于復雜,參數鎮定困難,不利于工程應用。文獻[17]設計了反正切形式的新型跟蹤微分器,但是設計參數過多,且噪聲抑制能力不強。

針對上述問題,首先建立了包含導彈自動駕駛儀動態特性的非線性彈目運動模型;針對普通快速終端滑模控制產生的奇異問題和抖振問題,設計了非奇異快速終端二階滑模制導律(nonsingular fast terminal second-order sliding mode guidance law,NFTG),并對其穩定性和有限時間收斂特性進行了嚴格證明,給出了收斂時間的具體表達式;隨后設計了新型有限時間收斂微分器(finite-time-convergent differentiator, FD),用于抑制LOS角速率測量誤差和估計其一階微分量,并將其應用到擴張觀測器當中,用來對不確定項進行估計;最后通過數字仿真對所設計的制導律進行了仿真驗證。

1　導彈-目標相對運動描述模型

導彈與目標的相對運動如圖1所示。

圖1　導彈目標三維攔截幾何關系圖

其中OxIyIzI為慣性坐標系,OxLyLzL為視線坐標系,r為導彈和目標的相對距離,qε和qβ分別為視線傾角和視線偏角,θm、θt、φm和φt分別為導彈和目標的彈道傾角和彈道偏角。為便于制導律研究,可將末制導過程解耦成縱向平面和側向平面運動分別進行研究,本文主要針對導彈縱向平面展開研究。

假設在充分短的時間Δt內,xi、yi、zi、qε的增量分別為Δxi、Δyi、Δzi、Δqε,那么

(1)

若Δt充分小,則Δqε(t)為一個充分小的量,因此式(1)可化簡為

(2)

對式(2)兩端進行二次求導并化簡,可得

(3)

將導彈自動駕駛儀視作一階慣性環節,則

(4)

式中,τ為導彈自動駕駛儀時間常數;amy為獲得的導彈加速度;u(t)為提供給導彈自動駕駛儀的制導指令加速度。

(5)

由式(5)可得

(6)

(7)

對式(5)兩端進行微分,可得

(8)

結合式(4)、式(6)、式(8),化簡可得

(9)

考慮導彈自動駕駛儀延遲的彈目相對運動學模型可表示為

(10)

2　非奇異快速終端二階滑模有限時間收斂制導律設計

2.1　制導律設計

選取非奇異快速終端滑模面設計為

(11)

式中,α>0；β>0；p和q為正的奇數,且1

(12)

設計二階滑模制導律為

(13)

式中,k1>0,k2>0,λ>2為制導律設計的參數;由于λ>2, |s|1-1/λsgn(s)和|s|1-2/λsgn(s)均為非光滑的連續函數,因此制導律是連續控制信號,進而可以大幅度地削弱滑?？刂频母哳l抖振,有利于實際的工程應用。

2.2　穩定性分析

將式(13)代入式(12)中可得

(14)

定義以下

w1=s

(15)

則

(16)

考慮Lyapunov函數，即

(17)

V正定,則

(w2-k1|w1|1-1/λsgn(w1))+

(2w2-k1|w1|(λ-1)/λsgn(w1))

(-k2|s|1-2/λsgn(w1))-

(18)

將式(18)寫成如下矩陣形式

(19)

其中,w=[|w1|1-1/λsgn(w1),w2]T

2.3　有限時間收斂特性證明

(1)V是正定函數;

(2) 存在一個實數c>0、κ∈(0,1)和原點開鄰域V?D,滿足

(20)

則原點是系統的有限時間的穩定平衡點,且

(21)

證明將式(17)寫成如下矩陣形式,即

V=wTPw

(22)

其中

由于k2>0、λ>2,易驗證矩陣P正定且函數V徑向無界,即

ρmin(P)‖w‖2≤V≤ρmax(P)‖w‖2

(23)

其中,ρmin(·)和ρmax(·)分別表示矩陣(·)的最小和最大特征值,‖·‖表示矩陣(·)的歐幾里得范數。

-ρmin(Q)‖w‖(2λ-3)/(λ-1)≤-ρmin(Q)V(2λ-3)/(λ-1)

(24)

即

(25)

式中,c=ρmin,κ=(2λ-3)/(λ-1)

其收斂時間為

(26)

故s可在有限時間tr內收斂到零。下面證明當t=tr、s(tr)=0、x2(tr)≠0時,x2可在有限時間ts內收斂到零。

取Lyapunov函數為

(27)

對式(27)進行微分,可得

(28)

由于當t≥tr時,s(tr)=0,故

化簡可得

化簡可得

(29)

由1

根據引理1,易知x2可達到有限時間收斂,其收斂時間為

(30)

證畢

3　有限時間收斂微分器ESO設計

3.1　有限時間收斂微分器FD設計

對于如下系統

(31)

式中,x1,x2,…,xn∈R為狀態變量；fA(·)為連續函數且f(0,…,0)=0。

參考文獻[14]可得如下新型FD

(32)

式中,ζ1,ζ2,…,ζn為系統狀態變量；υ(t)為帶有噪聲的輸入信號；ζ1為去除噪聲后的跟蹤信號；ζi為υ(t)的第i-1階導數的估計值,i=2,3,…,n。R、χi(i=1,2,…,n)∈R+為待設計參數。則存在φ>0與ιφ>n使得

(33)

式中,O((1/R)ιφ-i+1)表示ζi與υ(i-1)(t)的近似程度是(1/R)ιφ-i+1階的,φ=(1-?)/?,?∈(0,min{ι/(ι+n),1/2}),n≥2。估計誤差為(1/R)ιφ-i+1的高階無窮小。

通過選取足夠大的設計參數R,估計誤差可以任意小。誤差有限時間收斂特性具體證明見文獻[18]。

3.2　基于FD的擴張觀測器設計

(34)

(35)

根據式(31)、式(32)及式(34),可得擴張后的系統為

(36)

根據擴張觀測器(extended state observer,ESO)的設計原理可知,系統基于FD的ESO(ESO based on FD, FESO)為

(37)

式中,e為系統狀態量的觀測誤差;zi為FESO對系統狀態的觀測值,βi1、βi2、βi3、βi4為觀測增益;非線性函數fal(ei,αi,δi)是FESO的核心部分,它是連續非光滑的,對模型不確定性及外界干擾具有較強的適應性,其表達式為

(38)

式中,αi=1/2n-1,δi=h,n為FESO的階數,h為積分步長。由于FESO所涉及的參數較多,對其進行穩定性分析難度較大,為保證觀測誤差趨近于零,文獻[19-21]中擴張觀測器參數大致取值為βi1=4ω、βi2=6ω2、βi3=4ω3、βi4=ω4。不確定項估計值可用atr⊥=r·z4(t)求出,從而達到對制導律進行有效補償的目的。

根據式(13),基于跟蹤微分濾波器ESO的有限時間收斂制導律表達式為

(39)

3.3　FESO估計結果

測量噪聲為均值為零、方差為1.7×10-4的高斯白噪聲,FESO的參數取值為R=60、χ1=15、χ2=1、h0=0.01 ms、δ=0.01、β01=100、β02=150、β03=300、β04=2 000、α1=0.9、α2=0.8、α3=0.7。仿真結果如圖2和圖3所示。

圖2　視線角速率濾波曲線 Fig2　LOS angular rate filtering curve

圖3　不確定項估計曲線 Fig3　Uncertainty estimates curve

由圖(2)可知，有限時間收斂微分具有良好的視線角濾波特性。圖(3)中的部分不確定性真值為Cf,雖然不能代表完全的不確定性,但在一定程度上可以看出不確定估計值與真值的關系,該值雖小,但它是控制量的分子,若與1/B1相乘,將會有很大程度增大。因此,基于有限時間收斂的微分濾波器FESO的有限時間具有良好的視線角速率濾波特性及不確定性補償能力。

4　仿真分析

圖4　彈目相對運動道曲線 Fig4　Target-missle trajectory curve

由圖4可知,無論目標做哪種類型的機動,NFTG彈道相比于SMG、FTCG和文獻[6]中的彈道,在初始階段較為彎曲,但末端比較平直,這主要是因為NFTG使角速率在有限時間內收斂到零附近的鄰域的速度最快。彈目視線角速率曲線如圖5所示。導彈過載曲線如圖6所示。

圖5　LOS角速率曲線 Fig5　The LOS angular rate curve

圖6　導彈過載曲線

由圖6可知,NFTG和FTCG在視線角速率未達到有限時間收斂之前,相比于SMG導彈的過載比較大,但當視線角速率達到有限時間收斂之后,NFTG和FTCG的過載明顯比SMG小,且由于NFTG收斂速度比FTCG更快,過載更小。從能量分配的角度解釋,為使導彈的某些狀態,如視線角速率,在末制導初期便達到有限時間收斂,必然需要更大的過載,消耗更多的能量,但是一旦視線角速率達到有限時間收斂狀態,控制量便會降低為很小值,這樣可使導彈在末制導初期充分利用機動能力和能量,而在末端保證導彈的過載比較小,這無疑會提高導彈的制導精度和作戰性能,另外由于本文采取了二階滑模控制方法,相比于另外幾種方法,其過載抖振明顯減小,具有重要的工程應用價值。由表1可直觀看到3種制導律具體的視線角速率收斂時間和平均脫靶量,無論導彈做什么樣的機動,FTCG和NFTG均能保證直接碰撞殺傷,而SMG面對方波機動和正弦機動出現了脫靶。

表1　蒙特卡羅仿真分析

5　結　論

針對高速機動目標攔截問題,基于終端滑?？刂评碚摵投A滑模控制理論,設計了零化視線角速率的非奇異快速終端二階滑模制導律,并嚴格證明了系統的穩定性和有限時間收斂特性;為抑制測量噪聲和估計彈目視線角速率,設計了新型有限時間收斂微分器,將其與擴張觀測器結合來估計不確定項。仿真結果表明:所設計的微分器收斂速度快,估計精度高,且具有較強的抗干擾能力,目標做不同類型機動的情況下,所設計的制導律均能保證視線角速率在有限時間收斂,達到準平行接近,且末端需用過載小,可實現直接碰撞殺傷。

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