壓敏油藏不規則裂縫形態對壓裂水平井產能的影響

孫璐，劉月田*，王宇，張藝馨，柴汝寬

1 中國石油大學油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249，中國

2 奧克拉荷馬大學石油與地質工程學院，奧克拉荷馬州諾曼市 73019，美國

0 引言

目前研究壓裂水平井產能問題已成為高效開發致密油藏的重要內容，其產能模型應該充分考慮人工裂縫的復雜性以及致密油藏的壓力敏感性，對此國內外學者進行了大量的研究。Evans[1]在1993年首先提出了均勻流量模型；Larsen[2-3]在1994年建立了有限導流模型；Ozkan[4-5]以壓裂水平井的滲流區域為基礎提出了三線性模型；F. Medeiros[6-7]又發展到三孔模型，三孔模型認為壓裂改造區(SRV)之外的儲層對多級壓裂水平井產能的貢獻可以忽略。三孔模型沒有考慮縫間干擾的問題，也不能真實地模擬地層中裂縫的形態及其分布情況。Ozkan[8-9]在1991年提出了Laplace空間的源函數，Guo和Evans[10]在此基礎上利用源函數結合Newmann積分方法得到了多級壓裂水平井的非穩態流動解析解。Raghavan[11]、Chen[12]、姚軍[13]、王曉冬[14]、廉培慶[15]等也利用此方法和疊加原理求解了地層流體流入人工裂縫的數學模型，解決了縫間干擾問題。2015年郭建春[16-17]等考慮到人工裂縫的導流能力與裂縫寬度有關，求解了楔形人工裂縫的壓裂水平井的產能模型，但是該研究模擬的裂縫都是與井軸對稱的垂直縫。在現場的實際監測和壓裂措施模擬中發現人工裂縫形態復雜多變，存在裂縫兩翼長度不同，兩翼與井筒的夾角不同，裂縫頸縮，人工裂縫發生轉向，以及轉向后各級裂縫之間距離不相等的情形，這些因素都會對壓裂水平井產能造成影響(Menglu Lin[18]、包勁青[19]等)。現有的致密油藏多級壓裂水平井產能模型對人工裂縫的復雜性考慮得還不是很全面，有待進一步提高。

李傳亮[20]、孫來喜[21-22]等對低滲、特低滲油藏壓力敏感實驗研究發現，人工裂縫的壓力敏感系數大于天然裂縫。因此，致密油藏壓裂水平井產能模型的建立還需要分別考慮人工裂縫和天然裂縫的壓力敏感系數。Blasingame[23-24]、孫賀東[25]、陳民鋒[26-27]等在壓力敏感油藏產量遞減分析中發現，生產壓差大，致密油藏生產井產量遞減快。而在油藏開發過程中，適當放大生產壓差，有利于流體流動，提高生產井產量。因此，對壓力敏感油藏進行開發時，確定合理的生產工作制度是致密油藏高效開發的研究內容之一，也是致密油藏精細開發的重要基礎。

本文在前人研究的基礎上，考慮不規則形態人工裂縫、人工裂縫與天然裂縫的壓力敏感系數組合，建立了致密油藏壓裂水平井的產能模型。在模型建立中，引入了不規則形態裂縫離散方法，采用Green源函數并結合Duhamel原理求解裂縫微元段在線匯節點處的壓降，采用等效滲透率思想描述了SRV區中雙重介質滲透率，并處理SRV區壓力敏感問題。

1 數學模型建立及求解

圖1所示在封閉的矩形油藏內有一口N級壓裂水平井，沿水平井筒從左至右，人工裂縫依次記為f1、f2、…、fk、…、fN，其中，fk1和fk2分別為左翼和右翼，k=1,2, 3,…,N 。實際人工裂縫幾何形態可分為規則(如fk?1和fk)和不規則(如fk+1、fk+2和fk+3)2類。建立的產能模型遵循如下基本假設：①忽略壓裂改造區(SRV)外圍區域中流體流動，SRV區具有雙重介質結構和滲透率各向異性特征，考慮SRV區天然裂縫和人工裂縫的壓力敏感系數組合。②各級人工裂縫具有不同形態——垂直楔形縫、斜交楔形縫、轉向裂縫、頸縮裂縫、矮裂縫等，各級裂縫之間存在干擾。③人工裂縫垂直貫穿儲層。④儲層內流體僅通過人工裂縫流入井筒，考慮水平井筒中的摩擦壓降和加速度壓降。⑤流體為單相微可壓縮流體，流動滿足達西定律。

圖1 模擬壓裂水平井平面示意圖Fig. 1 Plan schematic diagram of fractured horizontal wells

1.1 不規則形態裂縫離散

如圖2所示，對于任意形態的裂縫，以fk的左翼fk1和右翼fk2為例，可將左翼裂縫壁面形狀記為不規則形狀Ak1Bk1Ck1，Ck1Dk1為中線。流體由遠處匯流至裂縫壁面處，人工裂縫可視作由沿裂縫中心線分布的線匯微元組成。設定線匯分布在裂縫的橫截面與2個壁面交匯的位置，圖2中Ok1,i點記為線匯XHk1,i位置，將橫截面與不規則形狀Ak1Bk1Ck1中線交點在x?y平面內的坐標(xk1,i,yk1,i)記為線匯XHk1,i的坐標。Ok1,0和Ok2,0分別記為左翼fk1和右翼fk2與水平井筒壁的交匯點。設定在Ok1,i+1點至Ok1,i點之間是一個共有(ns?i)個線匯流量流經的矩形微元段，矩形的長度等于裂縫寬度，矩形的寬度等于相鄰兩個交匯點間的垂直距離。經過上述方法處理，將任意形態的裂縫劃分為許多變寬度的矩形微元段。對于不規則形態的裂縫，裂縫的2個壁面視作2段連續的曲線，2條曲線的平面距離即為裂縫寬度。結合壓裂措施模擬的裂縫形態數據，通過數值逼近獲取左邊曲線Ak1Ck1形態的函數表達式Fl( x, y )，右邊曲線Bk1Ck1形態的函數表達式Fr( x, y )。對于矩形縫，2個表達式是常數項不等但斜率相等的一次函數；對于楔形縫，2個表達式是斜率不等的一次函數。

1.2 儲層中的數學模型

1.2.1 SRV區的數學模型

初始時刻油藏各邊界無流體流動。開始生產時，線匯對整個油藏產生瞬時壓降。假設從初始時間t0=0到時刻t，人工裂縫fk左翼上任意線匯XHk1,j以qk1,j的速度流入裂縫中，線匯坐標為(xk1,j,yk1,j,zk1,j)。在t時刻，所有線匯對線匯位置(xk1,j,yk1,j,zk1,j)產生的總壓降為

式中，

圖2 人工裂縫離散處理示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the left wing discretization of arti ficial fractures

1.2.2 人工裂縫中的數學模型

假設人工裂縫fk內的流體保持線性流動，可以計算得到左翼fk1上任意線匯位置Ok1,j和Ok1,0之間的壓差(即Ok1,j到水平井筒壁之間的壓降)為

同理，得右翼內任意線匯位置Ok2,j和Ok2,0之間的壓差表達式。

1.3 產能耦合模型及求解

1.3.1 水平井筒的數學模型

井筒內的壓降分為摩擦壓降和加速度壓降，則摩擦壓降表達式和加速度壓降表達式分別為

設定各級人工裂縫的跟端壓力pfk近似為

當pf1=pf2=…=pfk=…=pfN時，求解得到井筒為無限導流時多級壓裂水平井的產能。水平井筒跟端處p0,1=p0,2=pwf。

1.3.2 耦合模型及求解

如圖3所示，選取節點一-儲層至節點三-縫口(跟端)作為研究對象，2個子系統的壓降表達式為

已知N級壓裂水平井，共得到關于2N? ns個未知線匯流量的2N? ns個方程，得到2N? ns階線性方程組。此外，任意線匯是變質量流動，應用Duhamel原理確定任意線匯處的壓力降。采取離散時間處理，在時間步n? t下展開式(7)可得

圖3 流動節點系統分析示意圖Fig. 3 Schematic diagram of flow node point system

依據式(8)，提取線性方程組的系數矩陣，得到時間步n? t下線性方程組為A? qn?t=B ，其中，系數矩陣A為

系數矩陣中各元素的計算通式如下

其中，d=1,2。

時間步n? t下的未知量矩陣為

其中，

常數項矩陣為

矩陣中相應系數計算表達式為

當壓裂水平井的內邊界條件為定井底流壓pwf時，可以利用式(4)-式(6)計算不同跟端位置的壓力，并借助人工裂縫的流量qfk來確定每一級人工裂縫的跟端壓力。

1.4 SRV區和人工裂縫壓力敏感的處理

在n? t時刻，通過線性方程組A? q=B已經得到了第1時間步至第n時間步的所有線匯流量。那么，在所有線匯流量和矩形封閉油藏一個線匯的解的基礎上，應用Duhamel原理確定n? t時刻下油藏中任意位置(x, y, z)的壓力表達式如下

采用等效滲透率確定SRV區平均滲透率Kx、Ky、Kz的計算表達式(16)。平均滲透率Kx、Ky、Kz與SRV區地層平均壓力有關。采用壓力敏感系數α1表示天然裂縫的壓力敏感程度。

其中，kfx、kfy和kfz的計算表達式為

表1 中Bakken致密油井B-1#和B-6#的基礎參數Table 1 Basic parameters of B-1# and B-6# in Mid-Bakken

圖4 半解析模型與Arps模型及改進Ambrose模型的對比Fig. 4 Comparison of semi-analytical model with Arps model and improved Ambrose model

將不同生產時刻線匯處的壓力代入人工裂縫的滲透率kf表達式(17)中，可得沿不同線匯處裂縫微元段中的滲透率。采用壓力敏感系數α2表示人工裂縫的壓力敏感程度。

2 模型驗證

楊俊峰[28]應用Arps模型預測了中Bakken致密油井B-1#壓裂水平井產能，用改進的Ambrose模型預測了中Bakken致密油井B-6#壓裂水平井產能。

圖5 人工裂縫形態示意圖Fig. 5 Schematic diagram of morphology of arti ficial fractures

表2 人工裂縫、水平井和油藏的參數Table 2 Parameters of arti ficial fractures, horizontal wells and reservoir

本文對中Bakken致密油井B-1#和B-6#開展模擬計算，計算中采用的參數與楊俊峰的一致，見表1。通過穩態逐漸逼近非穩態的方法，運用本文的半解析模型計算了壓裂水平井全生產過程。計算對比結果見圖4，證明半解析模型計算結果能夠描述兩口井的生產變化。

3 模型分析

在壓裂水平井模型中設計了9種不同形態的中心對稱裂縫，其中裂縫與井筒的關系包括垂直、斜交和轉向，裂縫的形態包括矩形、楔形和頸縮，如圖5中的①-⑨所示。采用拋物線方程描述裂縫⑦和⑧的形態，采用雙曲線方程來近似描述裂縫⑥和⑨的形態，采用線性關系式來描述裂縫③的形態。方程中的系數根據裂縫的平均寬度、趾端和跟端寬度、垂直長度和水平長度計算得到。

通過壓裂施工模擬計算、微地震監測和示蹤劑測試解釋來獲取人工裂縫、水平井、油藏的參數，計算各級裂縫線匯流量的基礎參數參見表2。

3.1 人工裂縫的形態與線匯流量的關系

圖6為裂縫之間無干擾時9種形態裂縫的線匯累積流量圖。由圖6可見，相同裂縫形狀下，垂直縫的累積流量明顯低于斜交縫和轉向縫，但均呈現出裂縫越長，累積線匯流量越大的趨勢。相同裂縫與井筒關系下，楔形縫累積線流量最大，頸縮縫次之，矩形縫最小。跟端導流能力大的楔形縫的累積線匯流量比矩形縫的累積線匯流量高出6.5%，跟端導流能力小的頸縮縫比矩形縫的累積線匯流量高出6.3%。

圖6 9種裂縫形態的累積流量對比Fig. 6 Comparisons of cumulative flow rates of 9 kinds of fractures

圖7 考慮縫間干擾的9種裂縫形態累積流量對比Fig. 7 Comparisons of cumulative flow rates of 9 fractures under the fracture interference

圖8 3種裂縫形狀的累積流量對比Fig. 8 Comparisons of cumulative flow rates of 3 kinds of fractures

對比①、②和③可見，矩形縫中近趾端流量與近跟端流量相差不到1%；楔形縫中近趾端流量是近跟端流量的1.58倍；頸縮縫中近趾端流量是近跟端流量的1.55倍。

3.2 人工裂縫干擾與線匯累積流量關系

圖7為裂縫之間干擾和不干擾2種情形下，9種裂縫形態整條縫的累積線匯流量及其增加程度對比。由圖7可見，與裂縫不干擾相比，裂縫之間存在干擾時，累積線匯流量更大；累積匯流量越大，累積匯流量增加程度也越大。

3.3 合理生產工作制度

圖8中顏色相同的曲線代表人工裂縫壓力敏感系數相同，SRV區天然裂縫壓力敏感系數不同。顏色不相同的曲線代表人工裂縫壓力敏感系數不同，SRV區天然裂縫壓力敏感系數相同。對于矩形縫、楔形縫、頸縮縫曲線變化趨勢一致。

在圖8中，以矩形縫為例，忽略壓力敏感時，隨著井底流壓降低，累積流量線性增加?？紤]壓力敏感時，當人工裂縫壓力敏感系數為0.05時(黑色曲線)，隨著井底流壓降低，累積流量逐漸增加；當井底流壓相同時，天然裂縫壓力敏感系數越大，累積流量越小。當人工裂縫壓力敏感變形系數為0.15時(藍色曲線)，隨著井底流壓降低，累積流量先增加后降低；當井底流壓相同時，天然裂縫壓力敏感系數α2變化對累積流量影響很小。由圖8的曲線分析可知，當人工裂縫壓力敏感系數大于0.15時，存在最優井底流壓。

4 結論

(1) 建立了壓敏致密油藏壓裂水平井非穩態模型，模型能夠描述不規則形態的人工裂縫以及垂直、斜交、轉向的人工裂縫，能夠計算SRV區天然裂縫與人工裂縫壓力敏感系數組合下的壓裂水平井產能。

(2) 本文模型能夠準確描述中Bakken的 B-1#和B-6#兩口致密油井生產變化，說明了本文模型的可靠性。

(3) 人工裂縫導流能力由大到小依次為楔形縫、頸縮縫、矩形縫。當人工裂縫壓力敏感系數大于0.15時，壓裂水平井存在最優井底流壓，SRV區天然裂縫的壓力敏感系數越大，累積流量越小。

符號說明

N—裂縫級數，整數；yfk1、yfk2—左翼和右翼的趾端縱坐標；(xk1,i,yk1,i,zk1,i)—線匯XHk1,i的坐標；ns—人工裂縫單翼微元段數，整數；wk1,i—Ok1,i和Ok1,i-1之間的裂縫fk1微元段的寬度，m；t—生產時間，天；qk1,g、qk2,g—分別為線匯XHk1,i和XHk2,g的流量，m3/d；?p—壓降，MPa；pini—油藏原始地層壓力，MPa；?ps1,i、?ps2,i—左翼上線匯XHs1,i和右翼上線匯XHs2,i對任意線匯位置(x, y, z)產生的瞬時壓降，MPa；xe、ye、h—油藏的長度、寬度和厚度，m；φ—孔隙度，小數；μ—流體黏度，mPa? s；Ct—綜合壓縮系數，MPa-1；S1、S2、S3—點(xk1,i,yk1,i,zk1,i)處的Green函數；α=φμCt；Kx、Ky、Kz—x、y、z方向的滲透率，mD；rw—井筒半徑，m；pk1,0、pk2,0—水平井筒壁Ok1,0和Ok2,0處的壓力，等于pfk；kf—人工裂縫滲透率，mD；Qk1,i—左翼上通過第i個微元橫截面的流量，α1、α2—SRV區裂縫和人工裂縫的壓力敏感系數；nx、ny—對xe、ye平均分段的數目，正整數?！獫B透率張量；kfx、kfy、kfz—x、y、z方向的SRV區裂縫滲透率，mD；kff0—SRV區裂縫初始滲透率，mD；km—基質滲透率，mD；kf0—人工裂縫初始滲透率，mD；pk1,i、pk2,i—左翼和右翼上第i個線匯位置處的壓力，MPa；frk—井段?Lk壁面摩擦因子，與管壁粗糙度fτ和流動狀態有關；ρ—流體的密度，kg/m3；Qk—井段?Lk中流體流量，m3/d；pfk—人工裂縫fk的進入壓力，MPa；pwf—井底流壓，MPa。

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