簡解一類“恒成立”高考題

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

定理(1)若函數f(x)在x=a處可導，且x∈[a,b)時f(x)≤(≥)f(a)恒成立，則f′(a)≤(≥)0.

(2)若函數f(x)在x=b處可導，且x∈(a,b]時f(x)≤(≥)f(b)恒成立，則f′(b)≥(≤)0．

初步感知若f(x)≤f(a)(a≤x≤b)，所以函數f(x)在x=a處右側附近的圖象是減函數．又函數f(x)在x=a處可導，所以f′(a)≤0．

同理，可得其他結論也成立．

嚴格證明若f(x)≤f(a)(a≤x≤b)，由函數f(x)在x=a處可導及導數的定義，得

同理，可證得其他結論也成立．

例1 (1)(2006年高考全國卷Ⅱ)設函數f(x)=(x+1)ln(x+1)．若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

(2)(2014年高考陜西卷)設函數f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數.若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

解(1)設g(x)=f(x)-ax(x≥0)，得g(x)≥g(0)(x≥0)．

由定理(1)得g′(0)≥0，即a≤1．

由導數易證f(x)≥x≥ax(x≥0)，所以所求實數a的取值范圍是(-∞,1]．

(2)可得題設即“(x+1)ln(x+1)≥ax(x≥0)恒成立”．由(1)知，所求答案也為(-∞,1]．

例2 (2007年高考全國卷Ⅰ)設函數f(x)=ex-e-x，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax，求實數a的取值范圍．

解同上可求得答案為(-∞,2]．

當x≥π且sinx≤0時，欲證成立．

例4 (2010年高考新課標全國)設函數f(x)=x(ex-1)-ax2，若當x≥0時，都有f(x)≥0，求a的取值范圍．

解題設即f(x)≥0(x>0)，也即ex-1-ax>0(x>0)，還即ex-1-ax>0(x≥0)．

用以上方法可求得答案為(-∞,1]．

解設g(x)=f(x)-f(0)(x≥0)，得題設即g(x)≥g(0)(x≥0).由定理(1)得g′(0)≥0，即a≥2．

當a=2且x≥0時，還可證g(x)≥g(0)(x≥0)，即證(1+z)ln(2x+1)-2x≥0(x≥0).

設h(x)=(1+x)ln(2x+1)-2x(x≥0)，得(2x+1)h′(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2x(x≥0)．

設t(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2x(x≥0)，得t′(x)=2ln(2x+1)≥0(x≥0)，所以t(x)是增函數，得t(x)≥t(0)(x≥0)，h′(x)≥0(x≥0),即h(x)是增函數，所以h(x)≥h(0)=0(x≥0)，得欲證成立．所以當a≥2時，g(x)≥g(0)(x≥0)．得所求a的取值范圍是[2,+∞)．

當a≤-3且0≤x≤1時，還可得：

得所求實數a的取值范圍是(-∞,-2]．

例7 (2017年高考全國)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

解(1)略.(2)設g(x)=ex(x2-1)+ax+1(x≥0)，可得g′(x)=ex(x2+2x-1)+a(x≥0).

可得題設即g(x)≥g(0)(x≥0)恒成立，由定理1可得g′(0)=a-1≥0,a≥1.

設h(x)=ex(x-1)+1(x≥0)，可得h′(x)=xex≥0(x≥0),h(x)是增函數，得h(x)≥h(0)=0(x≥0).

所以當a≥1時，g(x)≥ex(x-1)(x+1)+1(x+1)≥0(x≥0).

綜上所述，可得所求a的取值范圍是[1，+∞)．

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中課程標準試驗教科書·數學選修2 -3(必修A版)[M].北京:人民教育出版社,2007.