基于稀疏重構的TOA定位估計算法

胡進峰, 謝　浩, 李朝海, 李會勇, 謝菊蘭

(電子科技大學電子工程學院, 四川 成都 611731)

0　引　言

用來波到達時間(time-of-arrival, TOA)對目標進行定位本質上是一個非線性估計問題。目前,常見的TOA定位估計算法有兩類。第一類是泰勒級數法[1-4],該算法用一階泰勒級數展開對非線性方程進行線性化處理,其收斂性十分依賴初始值的選取,當目標函數高度非線性并且在初始值選取不理想的情況下,收斂性難以保證;第二類為基于最小二乘法(least squares, LS)的TOA定位估計算法,包括標準LS[5]、加權LS(weighted LS, WLS)[6]、兩級加權LS[7]等。其中,文獻[8]提出了一種具有約束條件的加權LS估計(constrained weighted LS, CWLS),其估計結果較標準LS有了較大的提升,然而由于該算法只是利用了單次TOA樣本進行估計,因此其估計結果易受噪聲影響,估計的精度與穩定性依然有待提高。綜上所述,已有的大部分TOA估計算法的定位精度都有待進一步提高;并且大都只是利用單次TOA進行估計,因此其定位結果受噪聲影響較大。

針對上述問題,注意到TOA定位中,目標在空間中是稀疏的,本文提出將TOA定位問題轉換成一個稀疏重構問題,并給出了基于貝葉斯準則的求解算法。所提方法可以對多樣本進行聯合估計,從而提高了定位精度與穩定性。

1　TOA定位估計原理

TOA定位估計原理是:通過測量移動端(mobile station, MS)到各基站(base stations, BSs)之間的單向傳播時間來得到一組經過MS且以BSs為圓心的圓方程組,TOA定位估計問題就轉換為了求解一組非線性圓方程的問題。但是由于方程組的高度非線性性,以及噪聲對TOA的影響,導致對其進行精確定位難度極高。

假設(x,y)為目標坐標,已知第i個基站坐標為(xi,yi)(i=1,2,…,M),其中，M為接收信號的總基站個數。因此,不考慮測量誤差,目標與各基站之間的距離定義為

(1)

發射信號由目標單向傳播至各基站的時間為

(2)

式中,c為光速。因此,考慮測量誤差，基于傳播時間ti的相對距離ri定義為

ri=di+ei,i=1,2,…,M

(3)

式中,ei為第i個基站的測量誤差。設每個基站的測量誤差ei為零均值,方差為σ2的高斯白噪聲。將式(3) 兩邊同時平方得到

(4)

Aθ=b

(5)

2　基于多樣本的稀疏重構算法

在第1節所描述的TOA定位估計原理中,注意到目標在空間中是稀疏的,因此本文提出將TOA定位求解問題轉換為一個稀疏重構問題,并進一步給出了一種基于貝葉斯準則的求解算法。該算法可以對多樣本進行聯合估計,從而提高定位的精度和對噪聲的穩健性。

2.1　方程的線性化

TOA定位原理中,定位模型是一個非線性方程組,無法用稀疏凸優化方法求解。因此,首先要將其線性化,線性化方法如下:

F(h)=F(hn)+F′(hn)(h-hn)T+J

(6)

由式(6)可知,目標真實坐標h為

h=hn+βn

(7)

TOA定位問題就轉化成了估計hn和βn的問題。下面進一步給出基于稀疏算法的hn和βn的求解方法。令G=[F(h1),F(h2),…,F(hN)],Q=[F′(h1),F′(h2),…,F′(hN)],β=[h-h1,h-h2,…,h-hN]T,則式(6)可表示為

F(h)=(G+Qdiag(β))s(h)+J

(8)

根據式(8),可以估計出s(h),便可得到距離目標最近的網格點位置;估計出β,便可以得到目標偏離網格點的距離。最后,結合距離目標最近的網格點坐標與網格偏移距離便可得到目標最終位置的精確估計。

2.2　目標坐標的稀疏貝葉斯求解

2.2.1離目標最近的網格點hn的求解

定義CN(u|μ,∑)為一個復高斯分布的概率密度函數,其均值為μ=E{u},方差為∑=E{(u-μ)(u-μ)H}。

(9)

式中,E=[e(1),e(2),…,e(T)]?？梢缘玫紹=[b(1),b(2),…,b(T)]也為復高斯分布,即

式中,S=[s(t),…,s(T)];Φ=G+Qdiag(β)。

對于稀疏矩陣S,其復高斯先驗概率分布為

(10)

式中,Λ=diag(α),α=[α1,α2,…,αN]T∈RN。定義α的概率密度為Gamma超先驗分布為

(11)

式中,ρ∈R,Γ(u|a,b)=[Γ(a)]-1baua-1exp(-bu)。

網格偏移距離β服從均勻分布,即

(12)

p(α0|c,d)=Γ(α0|c,d)

(13)

式中,c,d∈R。

通過以上推導,可以得到聯合分布函數為

p(S,B,α0,α,β)=

p(B|S,α0,β)p(S|α)p(α)p(α0)p(β)

(14)

式(14)右邊的概率密度函數由式(10)～式(13)定義。利用式(14)便可以得到S的后驗概率分布為

(15)

最后把Σ與u代入式(16)計算,其峰值所在的網格點,就是距目標最近的網格點hn。

(16)

2.2.2偏移量的迭代計算

(17)

(18)

其中

求取E{lgp(S|B,α0,α,β)p(β)}的最大值的更新估計計算式為

βTPβ-2VTβ+Const

(19)

式中

(20)

R{diag(QHG∑)}

(21)

可以得到

(22)

2.3　總的算法流程

本文算法首先通過空間網格點的劃分與一階泰勒級數展開,將非線性方程組線性化,構建可以用稀疏重構求解的線性化的TOA定位估計模型。然后用基于貝葉斯準則的迭代求解估計目位置。在每一次迭代中,首先通過α0、α、β得到均值Σ與方差u的進一步估計,從而得到S的后驗概率分布,然后,由式(17)、式(18)、式(22)分別得到α0、α、β的進一步的迭代更新估計值,并將其作為下一次Σ與u估計的輸入參數。在迭代終止后,通過尋找式(19)的峰值所在的網格點確定距離目標最近的網格點坐標,并結合偏移距離矩陣β得到目標坐標。本文算法的流程如圖1所示。

圖1　本文算法流程圖

3　仿真分析

將本文所提方法與標準LS算法和文獻[8]中的CWLS算法進行對比仿真分析,仿真結果表明:①在利用單次樣本到達時間的情況下,與LS算法相比,本文算法精度更高;②在多樣本(多個來波到達時間)的情況下,本文算法通過聯合估計抑制噪聲影響,所提算法的精度和穩健性都高于LS算法與CWLS算法。

3.1　基于單次來波到達時間的仿真分析

仿真場景:5個基站,其坐標分別為:[0,0]m,[500,-500]m,[0,500]m,[-500,500]m,[-500 -500]m,[0,-500]m,[500,0]m。目標位于(225,335) m,平均噪聲功率均為25 dBm2。所有結果均為獨立的1 000次估計結果。本文以圓概率誤差(circular error probable, CEP)作為評價定位準確性的參數。仿真表明,單樣本TOA的情況下,與LS算法相比,本文算法精度更高。目標位置估計圖如圖2所示。

圖2(a)為LS的估計仿真結果,圖2(b)為文獻[8]中CWLS估計的仿真結果。從圖2(a)和圖2(b)可以看出:LS估計的圓概率誤差為21.543 9m,CWLS估計的圓概率誤差為13.168 5m。

圖2(c)和圖2(d)是本文算法的仿真結果。首先將估計范圍設置為500 m×500 m,網格間距設置為20 m,其CEP為28.456 1m,如圖2(c)所示。在此基礎上,進一步縮小估計范圍與網格間距,在初次估計的結果上,將估計范圍縮小為50 m×50 m,網格間距縮小為2 m。其CEP減小為17.8947m,如圖2(d) 所示。其CEP比LS算法小,因此估計精度比LS算法高。

圖2　目標位置估計

3.2　基于多次TOA的仿真分析

對本文算法在多樣本的情況下進行仿真分析。結果表明,與標準LS算法及文獻[8]中的CWLS算法相比,本文算法可以在多樣本情況下進行聯合估計,并且所提算法精度高于CWLS算法。

仿真場景同第3.1節。圖3為來波到達時間樣本數為10、估計范圍為500 m×500 m、網格間距為20 m時本文算法的仿真結果。圖3中,本文所提算法的CEP=8.740 3 m,該精度高于LS估計的21.543 9 m以及文獻[8]中CWLS估計的13.168 5 m。圖4為不同信噪比情況下,本文算法同LS、CWLS仿真結果的對比曲線。

圖3　樣本數為10的聯合估計結果

圖4　本文算法與LS、CWLS對比曲線

由以上仿真結果可以得出結論:在單次TOA的情況下,本文算法相比于LS算法其定位精度更為精確,略低于CWLS算法;而在有多次TOA樣本的情況下,通過本文算法對多樣本進行聯合估計,其定位精度高于LS算法與CWLS算法。

4　結　論

提出了一種稀疏重構TOA定位模型,并針對該模型給出了一種基于貝葉斯準則的求解算法。仿真結果表明,本文所提出的算法雖然在單樣本TOA的情況下其估計精度并非最優,但是在具有多樣本TOA的情況下,相比于其他已有的TOA算法估計精度和穩定性均有了十分明顯的提高。

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