一種基于SARIMA的經驗對流層延遲模型

劉中流，任　超，甘祥前，梁春麗

(1. 桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西 桂林 541004； 2. 廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004)

GNSS精密定位技術已廣泛應用于測量改正的各個領域。然而GNSS信號穿過大氣層時會引起大氣延遲誤差，這往往對定位精度會產生很大的影響。大氣延遲誤差主要分為電離層延遲誤差和對流層延遲誤差。由于電離層對GNSS信號表現出色散介質特性，故產生的電離層延遲與GNSS信號頻率相關，因而目前在GNSS常規測量中常采用雙頻觀測方法來消除電離層延遲的影響，且在一定范圍內，其對電離層延遲的改正可達90%以上[1]。然而對流層對GNSS信號表現出了非色散介質特性，因此雙頻觀測方法不適用于對流層延遲改正。對對流層延遲改正的常用方法有外部修正法、參數估計法和模型改正法[2-3]，它們可以通過采集或運算的方法估計出ZTD值，再代入GNSS觀測方程中便可進行延遲誤差改正[4]。

改進對流層模型一直是減弱對流層延遲影響的有效方法[5-6]，而近年來，部分學者在預測估計ZTD的領域進行了研究，并獲得了一定的成效：王勇等使用BP神經網絡的方法，在試驗中取得了76%的預測值與真實值偏差(bias)在3 cm以內的成果[7]；李劍鋒等在試驗中使用組合模型的方法，使得試驗中的平均預測值精度(均方根誤差，下同)達到了14.88 mm[8]；呂慧珠等使用譜分析和AR補償結合的方法，使得試驗中的平均預測值精度達到了19.36 mm[9]。此類方法也可以較好地計算出對流層延遲，并代入觀測方程中進行誤差改正。許多學者將自回歸移動平均模型(ARIMA)應用到電離層電子含量的預測中，并取得了較好的成果[10-12]，而在對流層預測中對其的應用卻很少有。ARIMA模型對非平穩序列具有較好的預測效果，且適用范圍廣，但卻容易在捕捉序列線性與非線性復合性特征時出現精度下降[13]。針對上述情況，本文將ARIMA模型應用于ZTD預測，并引入一種基于季節性自回歸移動平均模型(SARIMA)的對流層延遲估計新方法，該方法可分別針對不同的原始ZTD序列進行參數構建，然后進行預測以得到最終結果；針對我國不同地區的ZTD值進行預測，并統計分析它們的預測精度。

1　模型介紹

1.1　自回歸移動平均模型(ARIMA)理論

ARIMA是一個可以衡量內生變量與其滯后性與改變量關系的系統模型，是對移動平均模型(ARMA)的擴展[14]。

ARIMA(p,d,q)的實質是ARMA(p,q)的d階單整(d次差分)，其效果是將一個非平穩的時間序列轉化為平穩時間序列[15]。設Xt為等時間間隔的ZTD序列，則可將ARMA(p,q)模型表達為

φp(B)Xt=θq(B)εt

(1)

式中，B為滯后算子；εt為白噪聲序列；φp(B)為p階自回歸系數多項式，定義其相應特征方程為φp(x)；θq(B)為q階滑動平均系數多項式，定義其相應特征方程為θq(x)。

當原ZTD序列{Xt}不平穩時，可考慮通過式(10)進行差分

(2)

式中，u為差分算子；d為差分階數。{Xt}在經過d次差分后變為平穩序列，即可建立ARIMA(p,d,q)模型的一般形式

(3)

1.2　季節性自回歸移動平均模型(SARIMA)理論

SARIMA模型又是對ARIMA模型的拓展。雖然ARIMA(p,d,q)模型已經可以解決許多時間序列的擬合預測問題，但在實際操作中，又另有許多時間序列的變化具有明顯的周期性特征，我們稱之為季節性時間序列。由于時間序列的周期性變化，它們在不同周期內的同時期數據將處于一個相當的水平，此時可以恰當引入乘積季節性SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)模型[16]。當序列間的長期趨勢、季節效應和隨機波動間不是簡單的相加關系時，可以使用ARIMA模型提取短期相關性，用周期步長為S的SARIMA模型提取季節周期性，再采用二者的乘積組合模型對ZTD序列進行預測，從而得到乘積季節模型的完整結構為

(4)

圖1　SARIMA模型進行ZTD預測的基本流程

2　試驗分析

2.1　數據準備

本文分別選取IGS中心發布的長春站(chan)和上海佘山站(shao)的2016年年積日1—30 d和92—121 d的ZTD數據作為本次分析的原始ZTD數據，數據時間分辨率變為1 h。采用ARIMA和SARIMA模型分別對它們進行預測分析，并評定其精度。預測分析原則為，選取這兩個時段前29 d逐小時觀測的ZTD數據作為訓練數據，并對未來24個ZTD值逐小時地進行預測。

2.2　精度指標

實現對各個ZTD分量序列的SARIMA模型構建后，選取前29 d的數據進行擬合分析，并對后24 h的數據進行預測。本文引入精度指標：均方根誤差(root mean square error，RMSE)、平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)、平均相對誤差(mean relative error，MRE)，它們的數學表達式分別為

(5)

(6)

(7)

2.3　建模分析

在進行擬合預測前，應對SARIMA模型(或ARIMA模型)進行定階。此處以上海佘山站1—29 d 原始ZTD數據為例進行模型構建分析，此時段數據如圖2所示。

圖2　上海佘山站年積日1—29 d ZTD數據

通過觀察易于發現，該序列波幅在趨勢上下波動且無明顯增大或減小傾向，應屬于趨勢平穩(trend stationary),此時再引入ADF單位根檢驗法，判斷序列是否嚴平穩。ADF檢驗結果見表1。

表1　ZTD序列ADF檢驗結果

結果顯示，原序列即使在10%的置信水平上也不能拒絕單位根假設。此時需要對原序列進行一階差分，并再次進行ADF檢驗，結果見表2。

表2　一階差分ZTD序列ADF檢驗結果

此時結果顯示，即使在1%的置信水平下，也可以拒絕單位根假設，代表序列平穩，故d值取1。下一步應進行相關性分析，作出該一階差分序列滯后36階的ACF、PACF函數如圖3所示。

由圖3可知，其ACF、PACF函數均表現出拖尾性，滿足AR(p)、MA(q)過程。此處PACF值三步截尾，一階滯后處PACF值較為顯著，且24階滯后處再次上升至一個相對峰值，隨后更高階滯后的自相關系數明顯減小，此類型表明AR(3)×SAR(24)基本符合該序列(此處SAR(24)僅為計算機的取向概念，告知計算機季節組中的每24 h為一個周期，而該模型應正確描述為p=3,P=1),同理可得q=8,P=1。故可基本選定SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)模型。但此時定階的模型僅代表它能很大程度上迫近原序列，并不代表就是最優模型，此時可選取該模型已確認參數的一定鄰域內的正整數替換原參數，并一起進行AIC準則運算，選擇使得AIC最小的參數組合確認為最優模型參數。本文通過AIC驗證最終確認模型為SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)，并以此進行回歸，再進行殘差白噪聲檢驗，殘差ACF、PACF函數圖如圖4所示。

圖3　一階差分ZTD序列ACF、PACF圖

顯而易見，殘差為白噪聲序列，故可認為該模型可靠，可進一步用于ZTD數據預測。同理，其他序列也以此過程進行模型定階，并作預測分析。

2.4　預測分析

對所準備的原始序列進行預測分析，最終得到兩模型預測精度對比分別見表3、表4、表5。

圖4　殘差序列ACF、PACF圖

表4　兩模型預測成果MAE對比　mm

表5　兩模型預測成果MRE　(%)

本文對上述各表的預測結果進行分析，并總結得到以下結論：

(1) 加入季節性分析后，對ZTD序列的預測精度有較好的提高，對年積日1—30 d的數據預測結果顯示，平均RMSE降低了27.7%，對年積日92—121 d的數據預測結果總體精度較前者雖有所下降，但同期平均RMSE也降低了25.7%。

(2) SARIMA模型預測結果顯示，平均偏差不大，且占原值比很小，年積日92—121 d的數據預測結果的平均MRE僅1%左右，年積日1—30 d的數據預測結果平均MRE僅0.15%。

(3) SARIMA模型對ZTD數據的總體估計精度較領域內當前的其他模型(前文提及)的估計精度要高，總體平均RMSE降低了19.9%。

(4) 在部分時期、地區出現了預測精度降低的情況，由于對流層延遲受濕度影響較大，故本文猜測與同期氣象變化存在關系，但不于此處進行研究。

3　結　論

本文綜合分析了中國長春、上海地區的ZTD變化，并分別以ARIMA和SARIMA模型，對兩個地區不同時期的ZTD序列進行了短期(24 h)預測。綜合不同地區、時段的預測成果，結論如下：

(1) ARIMA和SARIMA模型對ZTD序列均有較好的預測效果，而由于ZTD序列存在一定的季節性特征，故總體而言加入季節性分析后預測精度均有較大提高。

(2) 本文在定階試驗時發現，存在個別ZTD序列不具有較強的季節性特征的情況，此時不能盲目加入季節性影響，否則將降低模型精度。

(3) SARIMA模型對ZTD序列的預測精度較高，可滿足許多ZTD數值估計的需求，具有一定的實用意義。

(4) 關于SARIMA模型在不同地區、時期對ZTD序列的預測的應用效果需要進一步研究。

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