面板數據復合分位數回歸模型的估計

徐潔，楊宜平

（重慶工商大學數學與統計學院，重慶400067）

0　引言

目前，在計量經濟學、社會學、生物醫學等領域經常遇到面板數據，對該類數據的研究也取得了一系列的進展。武大勇[1]介紹了個體固定效應模型中基于最小二乘法參數的估計問題。申敏等[2]基于面板數據對我國省級行政區企業技術創新產出彈性結構進行分析。楊慧敏[3]采用混合最小二乘法對公司的股權結構、治理以及績效進行回歸分析等。

上述研究在建立面板數據模型分析時，均采用最小二乘回歸法估計模型中的參數。最小二乘法局限性較大，外部條件較為嚴格，如回歸模型中模型誤差項滿足方差相同、服從正態分布等。最小二乘估計穩健性也較差，當數據中存在異常點時，最小二乘估計可能會表現得很糟糕。Koenker和Bassett[4]提出的分位數回歸方法成為了最小二乘估計的有力補充和推廣。已有一些學者將面板數據和分位數回歸結合對變量之間的關系進行分析。李群峰[5]以固定效應面板模型為例，通過迭代求解估計了不同分位數回歸方程的參數并對最小二乘法同分位數回歸法做比較分析，發現后者不僅能測度自變量對因變量在某個特定分位數下的邊際效果，還能提高參數的顯著性。

分位數回歸提供了不同分位點處的估計結果，對模型假定較少且具有穩健性等優良統計性質，但其回歸系數總隨著分位數的變化而變化。能否將多個分位數回歸模型的信息綜合起來，得到回歸系數一個更有效的估計呢？Zou和Yuan[6]提出了復合分位數回歸方法，它綜合了多個分位數處的分位數回歸得出回歸系數更有效的估計。該方法既保留了分位數回歸的穩健性，又通過復合的方式改進了估計的效果，可以成為最小二乘估計的可靠替代。然而到目前為止還沒有文獻討論面板數據的復合分位數回歸，因此促使本文考慮面板數據復合分位數回歸模型。

本文考慮個體固定效應面板數據模型，為了避免參數禍根問題，引入一個冪等矩陣消除個體效應項。然后采用Zou和Yuan[6]提出的復合分位數回歸方法估計回歸系數，并證明了其漸近性質。

1　回歸系數估計

考慮如下面板數據個體效應模型：

其中xit=(xit,1,xit,2,...,xit,p)T是p維外生解釋變量,Yit是響應變量,αi是不可測量的個體效應,uit是相互獨立的模型誤差。在固定效應模型中,要求個體效應{αi}與解釋變量{xit}是相關的，并且具有未知的相關結構。為了模型的可識別性，假定

由于面板數據觀測個體比較多，數據容量較大。觀測個體的增多會引起估計參數αi的增多，這樣則會引起參數禍根問題。為了避免參數αi的估計，本文引入一個冪等矩陣來消除個體效應項αi。

為了簡單起見，令Yi=(Yi1,Yi2,...,YiT)T是T×1向量，xi=(xi1,xi2,...,xiT)T是T×P矩陣，ui=(ui1,ui2,...,uiT)T是T×1向量，eT是所有元素為1的T×1向量，則模型（1）可表示為矩陣形式：

令Q為一個T×T冪等矩陣且滿足QeT=0，在模型（2）中兩邊乘以Q得：

顯然，QeT=0有效地消除了未知的個體固體效應αi。

滿足條件的矩陣Q并不唯一，在這里取：Q=IT-

對模型（4），采用Zou和Yuan[6]提出的復合分位數方法構造回歸系數β的估計。

2　漸近性質

（C2）xit具有有界支撐；

（C3）密度函數f(?)有大于零的下界，一階導函數連續且一致有界。

定理1：如果條件C1至C3成立β0,aτk0是參數真值，則有：

證明：記β0，aτk0是參數真值，令下式的最小化解。

其中

根據Knight[7]中等式（2-13）：

因此，Ln可以表示為：

因此：

由于Ln是凸函數，有：

同時：

那么，由中心極限定理可得定理1。

3　結束語

本文考慮面板數據回歸模型，提出了回歸系數的復合分位數估計。在構造估計量時，為了避免估計個體效應項所帶來的維數禍根問題，通過對面板數據回歸模型乘一個冪等矩陣消去固定效應部分。在一些正則條件下，證明了所提出的估計量漸近于正態分布。本文提出的復合分位數估計，不僅保留了分位數回歸的優點，而且還綜合了多個分位點的信息。

參考文獻：

[1]武大勇.計量經濟學中的面板數據模型分析[D].武漢：華中科技大學碩士論文,2006.

[2]申敏,吳和成,華海嶺.技術創新產出彈性結構分析——基于面板數據聚類分析和偏最小二乘回歸[J].技術經濟,2014（,1）.

[3]楊慧敏.股權結構、公司治理與公司績效[D].天津：天津大學碩士論文,2007.

[4]Koenker R,Bassett G W.Regression Quantiles[J].Econometrica,1978（,46）.

[5]李群峰.基于分位數回歸的面板數據模型估計方法[J].統計與決策,2011（,17）.

[6]Zou H,Yuan M.Composite Quantile Regression and the Oracle Model Selection Theory[J].The Annals of Statistics，2008.

[7]Knight K.Limiting Distributions forl1Regression Estimators Under General Conditions[J].The Annals of Statistics,1998（,26）.