基于高頻數(shù)據(jù)的大維金融協(xié)方差陣的估計(jì)與應(yīng)用

劉麗萍

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽550025）

0　引言

金融領(lǐng)域中，資產(chǎn)組合的構(gòu)建依賴于不同資產(chǎn)間的協(xié)方差陣，協(xié)方差陣的估計(jì)效果直接影響到資產(chǎn)的權(quán)重，一般而言，協(xié)方差陣的估計(jì)效果越好，構(gòu)建的投資組合越合理。但是，當(dāng)今社會是信息爆炸的時代，隨著數(shù)據(jù)可獲得性的提高，很多金融機(jī)構(gòu)便面臨的是大規(guī)模高維度的金融資產(chǎn)，鑒于維數(shù)詛咒以及市場噪聲的影響，如何估計(jì)大維資產(chǎn)的協(xié)方差陣是統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中一大難題。近年來，就大維協(xié)方差陣的估計(jì)問題已經(jīng)引起了一些學(xué)者的關(guān)注，取得了許多研究成果，有關(guān)大維協(xié)方差陣估計(jì)方法是基于低頻數(shù)據(jù)的，但是基于低頻數(shù)據(jù)估計(jì)的協(xié)方差陣并不理想，這是因?yàn)榈皖l數(shù)據(jù)損失了很多有用的信息。伴隨著數(shù)據(jù)可獲得性的提高，對于高頻數(shù)據(jù)的研究引起了越來越多的學(xué)者的關(guān)注[1-4]，為了提高大維協(xié)方差陣的估計(jì)效率，F(xiàn)an和Furger等（2015）[5]將因子分析和門限方法應(yīng)用到大維金融高頻協(xié)方差陣的估計(jì)中，解決了維數(shù)詛咒問題。本文在前人研究的基礎(chǔ)之上，采用高頻數(shù)據(jù)來估計(jì)大維金融資產(chǎn)的協(xié)方差陣，本文將主成分分析法和門限方法相結(jié)合應(yīng)用到協(xié)方差陣的估計(jì)中，提出了新的協(xié)方差陣。的估計(jì)并不復(fù)雜，首先對基于高頻數(shù)據(jù)的樣本協(xié)方差陣進(jìn)行譜分解，提取少數(shù)幾個最優(yōu)主成分來刻畫協(xié)方差陣的主要信息；然后將門限函數(shù)應(yīng)用到殘差矩陣中，得到了對角分塊殘差矩陣，這不同于傳統(tǒng)的基于軟門限函數(shù)或硬門限函數(shù)得到的對角矩陣，它考慮到同一行業(yè)的資產(chǎn)之間的相關(guān)性較強(qiáng)，而將同一行業(yè)不同資產(chǎn)間的協(xié)方差元素替換為0并不合理，客觀而言，對角分塊殘差協(xié)方差陣更為合理。

1　協(xié)方差陣的估計(jì)

1．1　新的協(xié)方差陣估計(jì)方法的提出

令X為觀測到的p維資產(chǎn)的收益率向量，Δn為抽樣頻率，n為樣本量，t為所取樣本的時間跨度，則n=t/[Δn]，對于任意的1≤i≤n：

其對應(yīng)的樣本協(xié)方差陣的估計(jì)量為：

式（4）中，τij（τij＞0）代表的是門限函數(shù)，sij(?)代表的是廣義收縮函數(shù)[6]。需要注意的是由式（4）得到的殘差協(xié)方差矩陣是對角分塊矩陣，這不同于傳統(tǒng)的基于軟門限函數(shù)或硬門限函數(shù)得到的對角矩陣，它考慮到同一行業(yè)的資產(chǎn)之間的相關(guān)性較強(qiáng)，而將同一行業(yè)不同資產(chǎn)間的協(xié)方差元素替換為0并不合理，客觀而言，對角分塊矩陣更為合理。

1．2　最優(yōu)主成分?jǐn)?shù)目的選擇

其中，rmax是最優(yōu)主成分?jǐn)?shù)目的上限，g(n,d)是懲罰函數(shù)，其表達(dá)式如下：

式（7）中u和k都是常數(shù)，md表示的是中非零元素的數(shù)目，根據(jù)A-Sahalia和Xiu等的研究知：最優(yōu)主成分的數(shù)目=3，當(dāng)?shù)娜≈荡笥?時，協(xié)方差陣的估計(jì)結(jié)果并未有所改良。劉麗萍，馬丹等（2015）[8]的研究指出：將主成分分析法應(yīng)用在高維資產(chǎn)的協(xié)方差陣估計(jì)中時，隨著資產(chǎn)維度的增加，最優(yōu)主成分的數(shù)目趨于穩(wěn)定，當(dāng)主成分的數(shù)目為3時，其對應(yīng)的損失函數(shù)較小，協(xié)方差陣的估計(jì)效果較好，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了A?t-Sahalia和Xiu等的研究。所以在后文的研究中，選擇的最優(yōu)主成分的數(shù)目為3。

1．3　門限函數(shù)的選擇

式（8）中C＞0，為常數(shù)，這里取C=0.5[10]。符號w表示的是收斂速率，對于p×p門限函數(shù)應(yīng)用到，剔除噪聲的影響后得到：

其中，I為示性函數(shù)，當(dāng)|uij|≥τij時，I(?)=1，否則I(?)=0，|sij(uij)-uij|≤τij。本文選取的收縮函數(shù)的表達(dá)式為：

即當(dāng)|uij|≥τij時，u=Sgn(uij)(|uij-τij|)，否則u=0。其中Sgn是符號函數(shù)，uij＞0時，Sgn(uij)=1；uij=0時，Sgn(uij)=0；uij＜0時，Sgn(uij)=-1。

2　模擬研究

2．1　數(shù)據(jù)的產(chǎn)生

本文根據(jù)A?t-Sahalia和Xiu等的研究來產(chǎn)生高頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的產(chǎn)生步驟如下：

（1）建立d維資產(chǎn)的連續(xù)時間因子模型，模型的形式為：

式（11）中，Wj(j=1,2,…r)是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，(i=1,2,…,d)是d維的布朗運(yùn)動，它們是相互獨(dú)立的，Xj是第j個不可觀測的因子，Z的協(xié)方差陣是對角分塊矩陣，將對角分塊矩陣定義為Γ，則Γ=γl。由式（12）知σj,t是時變的，其中j是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，Ε(dWj,tj,t)=ρjdt。

（2）假定d維資產(chǎn)受到市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲εi,t(i=1,2,…,d)的影響，εi,t服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，即εi,t～N(0,0.0012)，將εi,t加入到資產(chǎn)的對數(shù)價格Yi,t中，從而得到了受到市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響的對數(shù)價格。

（3）設(shè)定模型的參數(shù)，k=(3,4,5),θ=(0.09,0.04,0.06)，η=（0.3,0.4,0.3），ρ=(-0.6,-0.4,-0.25),b=(0.05,0.03,0.02),β1～N[0.25,2.25]β2、β3～N(0,0.52)。對角分塊矩陣Γ的主對角線元素（方差）均勻的產(chǎn)生于[0.05,0.20]，Γ中每塊矩陣的協(xié)方差元素是從均勻分布U[0.1,0.5]中抽樣獲取的。

（4）在本文的研究中，選擇資產(chǎn)維度分別為d=300、400、500，因子的個數(shù)分別為r=3。無論資產(chǎn)的維度是多少，對角分塊矩陣Γ都被等額的分成了10塊。

（5）重復(fù)上述步驟N次（N=100）。得到模擬數(shù)據(jù)后，在采用新提出的估計(jì)量估計(jì)協(xié)方差陣時，最優(yōu)主成分的數(shù)目是與模擬研究中因子r的數(shù)目是一致的。大量研究認(rèn)為采用稀疏抽樣法有助于剔除市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，為此本文采用了抽樣頻率分別為30秒、1分鐘、5分鐘、15分鐘、30分鐘的數(shù)據(jù)來估計(jì)其協(xié)方差陣。

2．2　協(xié)方差陣估計(jì)量的比較

由A?t-Sahalia和Xiu等的研究知：本文產(chǎn)生的模擬數(shù)據(jù)的積分協(xié)方差陣為：

其中，β是d×r的矩陣，E是d×d的單位矩陣，Γ是對角分塊矩陣。分別采用和（樣本協(xié)方差陣）估計(jì)模擬數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣。然后，采用MSE損失函數(shù)來比較估計(jì)的協(xié)方差陣和積分協(xié)方差陣：

從表1不難發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)：首先，無論樣本量是多少，相較于傳統(tǒng)的樣本協(xié)方差陣估計(jì)量，本文提出的估計(jì)量所對應(yīng)的MSE的均值最小，說明估計(jì)量的估計(jì)效果更好，比較接近于真實(shí)的積分協(xié)方差陣Σ。其次，抽樣頻率會明顯的影響到協(xié)方差陣的估計(jì)效果，當(dāng)抽樣頻率為15分鐘時，較好的減弱了市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，協(xié)方差陣的估計(jì)效果較好。

表1　和估計(jì)量對應(yīng)的MSE均值的比較

表1　和估計(jì)量對應(yīng)的MSE均值的比較

3　實(shí)證分析

3．1　殘差協(xié)方差陣的稀疏性分析

本文選擇上證180指數(shù)成分股進(jìn)行實(shí)證研究，抽取數(shù)據(jù)的時間跨度為2011年1月4日至2014年9月30日，將數(shù)據(jù)進(jìn)行初步篩選，交易缺失數(shù)據(jù)被剔除后，所獲得的樣本數(shù)據(jù)量為906天。根據(jù)馬丹、劉麗萍(2012)[11]的研究，180支股票可以被劃分到8個板塊中，這8個板塊分別為：采掘業(yè)、交通運(yùn)輸和倉庫業(yè)、制造業(yè)、信息技術(shù)業(yè)電力業(yè)、金融和保險業(yè)、煤氣及水的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)、房地產(chǎn)業(yè)、綜合業(yè)。

在采用高頻數(shù)據(jù)來估計(jì)180支股票的協(xié)方差陣時，時間窗寬是1個月，那么本文所選的樣本共45個月。采樣頻率為15分鐘，鑒于我國股票的交易時間從上午09：30至11：30，下午13：00至15：00，所以每天會有16個觀測值，那么每個月的樣本量為22*16=352。分別采用本文提出的和樣本協(xié)方差陣來估計(jì)每月的協(xié)方差陣，并對45個月的以及殘差協(xié)方差陣分別進(jìn)行加總分析。

圖1 和殘差協(xié)方差陣的稀疏性分析

圖1中所有的點(diǎn)都大于0.15，小于0.15的則替換為0，圖中虛線圍起的8個方塊為上證180股票所分屬的8個板塊所構(gòu)成的對角分塊矩陣。根據(jù)圖1得出兩條結(jié)論：首先，沒有提取任何主成分，而直接采用前文式（2）的樣本協(xié)方差陣估計(jì)的的元素幾乎全部大于0.15，圖中的點(diǎn)非常密集，這說明不同資產(chǎn)間的相關(guān)性較為明顯，反駁了Tao和Wang等（2013）[12]研究，認(rèn)為直接采用門限函數(shù)等方法對資產(chǎn)的協(xié)方差陣進(jìn)行稀疏處理并不合理；其次，對于提取了3個主成分并將門限函數(shù)應(yīng)用到協(xié)方差陣的估計(jì)中后，得到的殘差協(xié)方差陣，大于0.15的數(shù)據(jù)點(diǎn)主要集中在8個板塊內(nèi)，說明同一行業(yè)的資產(chǎn)之間的相關(guān)性較強(qiáng)，本文提出的協(xié)方差陣的殘差協(xié)方差陣是對角分塊矩陣，它不同于傳統(tǒng)的對角殘差協(xié)方差陣，其充分考慮了行業(yè)之間的相關(guān)性，使得協(xié)方差陣的估計(jì)更加有效。

3．2　協(xié)方差陣在投資組合中的應(yīng)用研究

在本文的研究中，主要構(gòu)造了兩種類型的投資組合：等比例風(fēng)險投資組合[13]以及最小方差投資組合。在這兩種類型的投資組合中，較為常見的是最小方差投資組合，不再贅述。與最小方差投資組合的原理類似，等比例風(fēng)險投資組合根據(jù)資產(chǎn)所占的風(fēng)險比例來不斷的調(diào)整權(quán)數(shù)，使每個資產(chǎn)所占的風(fēng)險比例相同。在不允許資本市場賣空的條件下，其組合權(quán)數(shù)根據(jù)下式得到：

表2　不同投資組合的平均收益、組合波動和sharpe比率

4　結(jié)論

由于高頻數(shù)據(jù)包含了豐富的市場信息，就高頻協(xié)方差陣的估計(jì)問題已經(jīng)引起了一些學(xué)者的關(guān)注，但大都是針對低維度的，基于高頻數(shù)據(jù)的大維協(xié)方差陣估計(jì)仍然存在著諸多困難。針對目前研究的不足，本文將主成分分析法和門限方法應(yīng)用到高頻數(shù)據(jù)協(xié)方差陣的估計(jì)中，提出了新的協(xié)方差陣估計(jì)方法。該方法通過提取少數(shù)幾個最優(yōu)的主成分來刻畫協(xié)方差陣的主要信息，解決維數(shù)詛咒問題；通過將門限方法應(yīng)用到殘差協(xié)方差陣中，來剔除噪聲的影響。需要注意的是：本文引入的門限函數(shù)不同于傳統(tǒng)的軟門限函數(shù)或硬門限函數(shù)，而是考慮了同一行業(yè)的資產(chǎn)之間的相關(guān)性，得到殘差協(xié)方差陣是對角分塊矩陣?？陀^而言，同一行業(yè)不同資產(chǎn)間的協(xié)方差元素替換為0并不合理，因而對角分塊殘差協(xié)方差陣更為合理。通過模擬和實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)：較傳統(tǒng)的樣本協(xié)方差陣估計(jì)方法，有效的提高了大維協(xié)方差陣的估計(jì)效率，其在投資組合中的應(yīng)用效果更好。

參考文獻(xiàn)：

[1]Andersen T G,Bollerslev T,Diebold F X,et al.Modeling and Forecasting Realized Volatility[J].Journal of Econometrica,2003,71(2).

[2]Zhang L.Estimating Covariation:Epps Effect,Microstructure Noise[J].Journal of Econometrics,2011,160(1).

[3]Barndor-Nielsen O E,Hansen P R,Lunde A,et al.Multivariate Realised Kernels:Consistent Positive Semi-definite Estimators of the Covariation of Equity Prices With Noise and Non-synchronous Trading[J].Journal of Econometrics,2011,162(2).

[4]Christensen K,Kinnebrock S,Podolskij M.Pre-averaging Estimators of the Ex-post Covariance Matrix Noisy Diffusion Models With Non-synchronous Data[J].Journal of Econometrics,2010,159(1).

[5]Fan J,Furger A,Xiu D.Incorporating Global Industrial Classification Standard Into Portfolio Allocation:A Simple Factor-Based Large Covariance Matrix Estimator With High Frequency Data[J].Journal of Business&Economic Statistics,2015.

[6]Antoniadis A,Fan J.Regularization of Wavelet Approximations[J].Journal of American Statistical Association,2001,(96).

[7]A?t-Sahalia Y,Xiu D.Principal Component Estimation of a Large Covariance Matrix With High-Frequency Data[EB/OL].http://www.tse-fr.eu/sites/default/files/TSE/documents/sem2015/eee/xiu.pdf.

[8]劉麗萍,馬丹,白萬平.大維數(shù)據(jù)的動態(tài)條件協(xié)方差陣的估計(jì)及其應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)研究,2016,32(6).

[9]Cai T,Liu W.Adaptive Thresholding for Sparse Covariance Matrix Estimation[J].Journal of the American Statistical Association,2011,(106).

[10]Fan J,Liao Y,Mincheva M.Large Covariance Estimation by Thresholding Principal Orthogonal Complements[J].Journal of the Royal Statistical Society,2013,(75).

[11]馬丹,劉麗萍.大規(guī)模高緯度金融資產(chǎn)的系統(tǒng)風(fēng)險測量——基于動態(tài)條件異方差潛在因子模型的視角[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2012,(11).

[12]Tao M,Wang Y,Chen X.Fast Convergence Rates in Estimating Large Volatility Matrices Using High-Frequency Financial Data[J].Journal of Econometric Theory,2013,29(4).

[13]Maillard S,Roncalli T,Teiletche J.On the Properties of Equally Weighted Risk Contributions Portfolios[J].Journal of Portfolio Management,2010,(36).