基于廣義最小二乘法的趨勢季節調整模型的構建

董彥彥，邱祎

（1.鄭州大學體育學院，鄭州450044；2.河南財政金融學院學生處，鄭州451464）

0　引言

含趨勢季節調整模型本身是對周期性波動的數據和變量進行觀察，并且對未來的變化進行判斷的常見方法，但是由于這種方法本身將導致自回歸問題的出現，因此其預測結果往往存在方差較大，估計結果和真實結果之間存在著嚴重偏離的問題。該問題的產生根源在于觀測值之間存在的自相關問題，立足于自相關問題的檢驗和解決方法，將可以對趨勢預測值進行調整，并在繼續利用季節調整指數的前提下，對數據的趨勢性預測起到幫助作用。

1　含趨勢季節調整模型及其缺陷

包含趨勢的季節調整模型在經濟管理活動當中具有廣泛的應用價值。這一方法當中包含著一元線性回歸的基本思想，也包含著季節調整指數的基本范疇。以時間作為解釋變量，以觀察值和預測值作為被解釋變量，做出線性回歸，并且計算觀測值和回歸值之間的變差并且通過這種變差的平均水平作為預測的依據是這一模型本身的核心內容。但是僅以時間為變量進行線性回歸的思路本身就包含著觀測值出現自回歸以及自回歸所帶來的方差變大問題的可能，從而導致整個預測結果的無效性。

1．1　含趨勢季節調整模型簡介

含趨勢季節調整模型的應用前提是模型本身呈現出一種周期性變化的特征，但是該模型的應用對象必須是具有趨勢性的上升或者下降特點的數據。該模型首先要求以時間作為解釋變量，對作為被解釋變量的觀測值進行一元線性回歸分析：

使用最小二乘法，可以輕易的推導出這一模型當中的參數估計值：

根據參數估計值，可以較為輕易的得到觀測值所對應的估計值：

由此可得觀測值和趨勢估計值之間的偏差：

在此基礎之上，可以求得處于各個不同周期的同一階段的變差的平均值：

但是該模型當中的時間變量往往并直接代入具體的年份和月份，而將時間點按照先后順序進行排序，直接將序號代入到模型的估計當中。

1．2　含趨勢季節調整模型的缺陷

含趨勢季節調整模型存在著多方面的問題，在傳統計量經濟學研究當中，對參數估計值要求其具有線性性、無偏性和最小方差性等內在特征。這些內在特征當中，線性性根據模型的函數形式觀察即可發現可以得到滿足，因此對其無偏性和最小方差性應當進行一定的考察。

無偏性的含義是參數估計值的平均值應當同真實值保持相等，其前提假設在于觀測值本身符合狹義最小二乘法要求的期望值為零的預定條件。對此，可以進行如下論證：

由此可得，根據含趨勢季節調整模型計算而得參數估計結果，具有無偏性。

關于最小方差性的判斷可以通過如下推導加以驗證：

在不同時間節點上的數據之間存在著相互影響的自相關關系的情況下，Cov(u,ui)將不會為零，在此時，整個參數估計值的方差會具有和自變量之間的函數關系，自變量數量的增加，將直接導致整個參數估計值的方差存在一種數量上的增減關系，由此，參數估計值的方差大小不會穩定的作為一個定制存在，伴隨著樣本數量的增多，參數估計值的方差將會逐步增大，進而給整個估計帶來誤差逐步增大的問題。這一問題的最終結果就是參數估計值的無效性。

含趨勢季節調整模型本身非常容易導致自相關問題的產生。因為含趨勢季節調整模型主要依賴以時間為解釋變量，以觀測值為被解釋變量的一元線性回歸模型，這一模型限定了整個模型的數學形式的多樣性，錯誤的設置數學形式將直接導致自回歸問題的發生。與此同時，含趨勢季節調整模型能夠很好的將不同時間點上的數據之間的函數關系囊括到自己解釋的范疇當中。在經濟管理領域，趨勢預測本身就隱含著不同時間點的數據之間在一定的慣性和相關性的制約之下，呈現出穩定的增長或者下降趨勢的問題。這將會直接導致含趨勢季節調整模型的各個觀測值之間存在變量內部的相互關系。在一些經濟管理領域，一種趨勢的產生可能較短時間內難以受到其他因素的影響，因此具有強大的慣性。以固定資產投資為例，一旦一種固定資產投資決策做出，企業就必然面臨著固定資產的回收期較長，在一定的時間內，這種追加投資不會伴隨著企業的經營環境的短時間的改變而改變，從而造成觀測到的數據非常依賴前一期的數據而不是模型的外生變量，從而給模型帶來了嚴重的自相關問題。

與此同時，含趨勢季節調整模型本身包含著比較嚴重的解釋變量偏少的問題。這本身也造成自相關問題的潛在發生的可能性的存在。趨勢性預測的應用本身說明研究者本身難以對影響觀測變量的所有解釋變量進行系統性的把握，因此只能通過趨勢形態的變動進行估計和預測，那么模型本身的隨機干擾項就會產生異常的波動狀況，從而產生自相關和參數估計值不平穩的問題。

2　廣義最小二乘法應用于含趨勢季節調整模型的前提條件

經過前文的分析，含趨勢季節調整模型本身容易產生自相關的問題，并且最終導致參數估計值由于方差伴隨解釋變量的增加而放大的問題而偏離于真實值，從而造成模型本身的失效。因此，本文將通過解決自回歸問題，使用廣義最小二乘法的方法對模型進行調整和重新構建。但是這種構建工作的前提在于含趨勢季節調整模型確實存在自相關問題。因此本文首先提出對自相關問題的檢驗方法，以此作為基于廣義最小二乘法的含趨勢季節調整模型的構建基礎。

首先，使用假設檢驗的基本方法，應當對存在自相關問題的情況提出假設如下：

做出這一假設的出發點在于，一旦出自相關狀況，則不同階段的隨機干擾項ui之間將存在如下的函數關系形式：

只有符合原假設時，整個自回歸問題才會并不存在。

在此基礎之上，可以給出檢驗統計量：

值得強調的是，此處的R2并不是原回歸模型=a+t的判斷系數，因為原方程的判斷系數值的大小僅僅能說明擬合結果相對于真實值之間的解釋程度。此處的R2是如下方程的判斷系數：

該假設檢驗過程的檢驗標準是χ2(n)，由于該統計量客觀上符合χ2分布，因此其置信水平一定的情況下，應當以需要檢驗的自回歸的階數作為選擇判斷的臨界值的標準。該檢驗是一個統計學意義上的右單側檢驗，因此僅選擇一個臨界值。

該檢驗的判斷標準為當檢驗統計量TR2小于臨界值χ2(n)的情況下，則接受原假設，如果統計量TR2的計算結果超過臨界值χ2(n)則接受原假設。一旦接受原假設，則可以判斷含趨勢季節調整模型本身并不存在自回歸問題，則并不需要構建起廣義最小二乘模型，從而對原有的模型進行調整，如果拒絕原假設，則需要采用一定的方法解決自回歸問題所產生的影響，從而避免自回歸帶來的參數估計失真的問題。

3　基于廣義最小二乘法的含趨勢季節調整模型改進

經過上文的分析，含趨勢季節調整模型的問題和檢驗方法已經得到了探討，對含趨勢季節調整模型的自回歸問題的檢驗是基于廣義最小二乘法的含趨勢季節調整模型的構建前提。在此背景之下，本文將構建相應的方法，在發揮季節指數法的長出的同時，避免含趨勢季節調整模型的自回歸問題所產生的估計失真的問題。

首先，在經過檢驗，模型當中確實存在自相關問題之后，應當首先確定自回歸的階數和不同隨機干擾項之間的線性關系的參數的大小。對此，可以使用DW統計量，計算自回歸系數的大?。?/p>

其次，在得出自回歸系數的數值之后，對原模型進行廣義差分變換：

由此可得：

此時，整個模型當中的被解釋變量、解釋變量乃至于參數的含義都將發生改變。被解釋變量當中，-i-1將會獨立的作為被解釋變量，其含義為在觀測值在一定自回歸關系制約之下的增量，可以將其簡稱為自回歸增量。而解釋變量(t-ti-1)則可以作為在一定自回歸關系制約之下的時間跨度而存在。對于這一模型的估計，可以在直接進行變量替換的前提之下，使用最小二乘法。其參數估計的表達式如下：

由于Cov(v,vi)=0，該模型將直接具有無偏性和最小方差性，從而獲得統計意義上的有效性。在此基礎之上，對原模型可以進行如下修正：

由此可得觀測值和趨勢估計值之間的偏差：

在此基礎之上，可以求得處于各個不同周期的同一階段的變差的平均值：

并且根據這一平均值可以求得估計值：

由于這一模型需要對原函數進行還原，并且在廣義差分變化的背景下，估計值將相對于真實值存在一定的數量上的增減，因此該模型的主要適用范圍是具有更大的數據樣本空間的觀測值得預測。此時，參數估計值本身的含義也將發生變化，這一數值將不僅反應時間的變化和被觀測值之間的一元線性函數關系，也反映出來被觀測值的增量和時間的增量之間的對應關系。因此，此時擬合產生的參數估計值可以用于對彈性的計算。這在經濟管理領域具有重要意義。

與此同時，使用本文構建的基于廣義最小二乘法的含趨勢季節調整模型，將可以不必對時間變量進行全新的排序和標記，由于模型本身計算的時間的增量，將原有的年份、月份和季度等變量直接帶入到模型當中，也并不妨礙模型的估計。這將最終降低使用者的應用難度和在數據處理方面所花費的時間和精力。

4　結論

以時間作為解釋變量，以觀察值和預測值作為被解釋變量，做出線性回歸，并且計算觀測值和回歸值之間的變差并且通過這種變差的平均水平作為預測的依據是這一模型本身的核心內容。這一模型限定了整個模型的數學形式的多樣性，錯誤的設置數學形式將直接導致自回歸問題的發生。趨勢預測本身就隱含著不同時間點的數據之間在一定的慣性和相關性的制約之下，呈現出穩定的增長或者下降趨勢的問題。含趨勢季節調整模型本身包含著比較嚴重的解釋變量偏少的問題。因此，含趨勢季節調整模型本身非常容易導致自相關問題的產生。

本文首先提出對自相關問題的檢驗方法LM檢驗法，以此作為基于廣義最小二乘法的含趨勢季節調整模型的構建基礎。在構建基于廣義最小二乘法的含趨勢季節調整模型時，本文使用DW統計量，計算自回歸系數的大小，在得出自回歸系數的數值之后，對原模型進行廣義差分變換。在此基礎之上，可以求得處于各個不同周期同一階段的變差平均值，并且根據這一平均值可以求得估計值，估計值將相對于真實值存在一定的數值增減，因此該模型主要適用于在更大的數據樣本空間基礎上進行的預測。

參考文獻：

[1]桂文林.季節調整與環比增長率測算最新進展及比較[J].統計研究,2013,30(7).

[2]劉建平,王雨琴.季節調整方法的歷史演變及發展新趨勢[J].統計研究,2015,32(8).

[3]桂文林.子年度經濟時間序列季節調整模型與應用研究[D].廣州:暨南大學博士論文,2011.

[4]張巖.結構時間序列模型在季節調整中的理論分析與應用研究[D].天津:南開大學博士論文,2013.

[5]賀鳳羊,劉建平.如何對中國CPI進行季節調整——基于X-12-ARIMA方法的改進[J].數量經濟技術經濟研究,2011,(5).