基于LPPL模型的股市暴跌風險預警

陳衛華，蔡文靖

（上海財經大學統計與管理學院，上海200433）

0　引言

股市暴跌在使投資者蒙受巨大損失，引起整個金融體系動蕩的同時，也將風險傳導到上市公司，危及實體經濟發展。若能提前預警股市暴跌的風險，警醒部分投資者，引起監管層足夠重視，各自準備應對措施，則有助于緩解暴跌，實現籌碼的充分換手，平穩過渡市場風險。

關于泡沫破滅時點能否被預測一直存在爭議[1-3]，目前國內針對股市泡沫破滅風險的研究主要集中在定性分析以及事后解讀，定量模型研究缺乏，相關研究遠不能適應實際需求。因此，本文基于目前較為成熟的LPPL（Log-Period Power Law）模型，在改進模型算法提高求解精度的條件下，利用2015年6月上證指數和創業板指數暴跌前的數據，擬合對數指數，對指數暴跌時點進行預測。得到模型擬合的結果后，引入Lomb譜分析和O-U隨機過程對結果進行檢驗，論證是否存在對數周期震蕩性質。在此基礎上，對我國股市暴跌風險進行預警，讓監管層、市場參與者等對股市泡沫有防范意識，采取合理適當的操作，積極主動應對并盡力化解風險。

1　模型建立

本文主要基于Sornette和Johansen（1999）[4]建立的LPPL（Log-Periodic Power Law）模型，通過擬合對數價格檢測泡沫并預測泡沫破滅時點。另外，本文改進了模型算法，在原模型的基礎上提高計算效率并且優化結果。在擬合模型的基礎上，本文利用Bootstrap技術得到預測值的區間估計，進一步引入Lomb譜分析以及O-U過程檢驗對模型的參數進行檢驗，增強模型的解釋性以及適用性。

1．1　LPPL模型

典型的LPPL模型以hazard rate為起點，h(t)=q(t)/[1-Q(t)]，q(t)表示t時刻泡沫破滅的概率，Q(t)表示t時刻前的累積函數。利用物理學中的分級概念刻畫h(t)及正反饋效應得到LPPL模型：

式（1）中ln[p(t)]表示t時刻對數價格，x=tc-t測度了拐點時刻tc與t之間的間隔，t介于開始日期tstart和結束日期tend之間。為了使模型具有經濟學意義，限定B＜0且0＜α＜1，冪律項Bxα刻畫了受正反饋機制影響的價格超指數增長，Cxαcos(ωlnx+φ)則表示對這種超指數增長的修正，具有離散尺度不變性特性[5]。通過變化tstart和tend，可以檢驗模型擬合參數的穩定性。式中有四個非線性參數(α，ω，tc，φ)和三個線性參數（A，B，C），在Sornette的模型中，重寫式可以得到lnp(t)=A+Bf(t)+Cg(t),線性參數A、B、C可以通過最小二乘法求解非線性參數得到，具體求解如下：

式（2）中存在四個非線性參數，算法容易陷入局部最優解，導致求解不穩定，計算速度慢。本文在此基礎上對算法進行改進，通過相關處理使模型的四個非線性參數減少為三個非線性參數，這樣在減少運算的基礎上提高了求解精度，更接近于全局最優解。具體處理方法為改寫式（1）得到式（3）：

令C1=Ccosφ,C2=Csinφ,則式（3）可以寫作：

通過上述處理，非線性參數φ分解得到線性參數C1和C2，然后利用最小二乘法，可以得到四個線性參數的求解方程：

模型具體求解分為兩步，第一步，劃分網格利用遺傳算法尋找符合限制條件的多組最優解；第二步，將第一步得到的各組最優解作為Levenberg-Marquardt非線性最小二乘算法的初始值，以均方誤差作為目標函數，取MSE最小的一組解作為最優解。

1．2　參數敏感性檢驗

為了檢驗模型參數的敏感性，擬合模型的樣本將不斷變更。具體方法為固定擬合樣本的一端，調整另一端。比如固定擬合結束時點，將開始時點每隔5個交易日依次朝結束時點推進；同理固定開始時點，則從某一時間每隔5個交易日朝最后結束時點推進，通過變化樣本區間長度得到模型參數并檢驗模型參數的穩健性。利用Bootstrap技術重抽樣多個區間，得到泡沫破滅時點的區間估計。

值得注意的是，模型所預測的泡沫破滅時點并不代表之后一定就是暴跌，也可能是逐步的下跌或者短暫下跌后繼續上行。模型預測的時間段僅僅代表暴跌在該時間段最有可能發生。之所以出現這種情況，是因為考慮經濟學中的理性預期模型。按照該模型，即使投資者感受到泡沫存在并覺得泡沫大概率要破滅。依舊有部分投資者繼續投資于市場，其目的在于獲得與高風險相適應的高回報，該行為依舊是理性的。

1．3　Lomb譜分析

為了檢驗模型中參數角頻率ω所呈現出來的對數周期性，本文利用Lomb譜分析來檢測對數周期震蕩。相較于標準的傅立葉譜分析，Lomb譜分析可以用來處理不規則抽樣數據并且得到類似的結果。對于特定的時間序列，Lomb譜分析返回一系列角頻率ω并給出相應的冪律PN(ω)，最大的冪律ωLomb作為Lomb頻率估計。按照Sornette和Zhou（2002）[6]的方法，Lomb譜分析通過下述方式進行：

計算殘差項公式如下：

式（6）中A1通過計算式（4）的A得到，p(t)表示t時刻真實價格，tc表示預測的暴跌時點，E表示均值，r(t)表示殘差項。通過對r(t)進行Lomb譜分析，得到Lomb冪率和頻率的關系圖，若呈現出比較明顯的周期性質即可驗證對數周期震蕩。

1．4　Ornstein-Uhlenbeck過程和單位根檢驗

Lin等（2013）[7]針對金融泡沫提出自組織增強模型，如果在泡沫區間對數價格可以歸于LPPL的決定性成分，則LPPL擬合結果殘差滿足Ornstein-Uhlenbeck（O-U）過程。LPPL擬合殘差可以轉換為AR（1）過程進行驗證，因此利用單位根檢驗可以進行驗證。本文使用Phillips-Perron和Dickey-Fuller單位根檢驗。拒絕零假設表示殘差是平穩的，符合O-U過程。

2　實證分析

2．1　數據說明

本文的研究區間為2014年1月2日至2015年9月30日，選擇這一區間是因為該區間涵蓋了前述定義的泡沫的五個階段，具有代表性。對于這輪泡沫來說，泡沫的產生和生長可以和社會無風險利率下沉、國企改革等結合起來。在貨幣當局多次降準降息以后，市場無風險利率下沉，資產價值對應上升，股市開始發力。本文的研究標的為上證指數和創業板指數。選取上證指數的主要原因在于上證指數是反應我國股市狀況的一個典型指數，選取創業板指數的主要原因在于創業板從2014年開始一路上揚，受到大家的關注和討論，兩個標的各具有側重性也具有典型性。

本文擬合模型的區間構建如下：①固定結束時間為2015年5月20日，起始時間從2014年1月2日每五個交易日依次推到2015年1月5日；②固定開始時間為2015年1月5日，結束時間從2015年4月1日每五個交易日依次推到2015年6月5日。

在第一個擬合程序中，共得到50個區間，第二個擬合程序共得到10個區間。本文指數數據來自Wind數據庫，對指數取對數，分析工具為Matlab。

2．2　LPPL模型結果及分析

圖1和圖2是對上證指數取對數并代入LPPL模型進行擬合后得到的結果。

圖1 變更起點，置信區間較窄，預測效果較好

圖1擬合區間為2014年1月2日至2015年5月20日，固定擬合區間段終點為2015年5月20日，起點變更從2014年1月2日每隔5個交易日到2015年1月5日。變更起點主要檢驗起點的選取對預測結果的穩健性。擬合樣本總量為50個，按照模型限制條件篩選出有效解27個。圖1中虛線條表示暴跌前的上證指數實際走勢，第1根豎線表示擬合所用數據終點，灰色區域內豎線表示暴跌實際發生時點。第一根豎線后的趨勢線表示上證指數暴跌的實際走勢和預測走勢。灰色區域表示預測的暴跌時間在80%置信水平下的置信區間。從圖1可以看到，完全利用暴跌之前的數據變更起點得到的暴跌預測區間覆蓋了實際暴跌時點，具有較好的預測效果。

圖2 變更終點，置信區間較長，多數結果靠近實際

圖2擬合區間為2015年1月5日至2015年6月5日，固定擬合區間段起點為2015年1月5日，終點變更從2015年4月1日每隔5個交易日到2015年6月5日。變更終點主要檢驗終點的選取對預測結果的穩健性。擬合樣本總量為10個，按照模型限制條件篩選出有效解5個。圖2中虛線條表示暴跌前的上證指數實際走勢，第1根豎線表示擬合所用數據終點，灰色區域內豎線表示暴跌實際發生時點。第1根豎線后的趨勢線表示上證指數暴跌后的實際走勢和預測走勢。灰色區域表示預測的暴跌時間在80%置信水平下的置信區間。從圖2可以看到，完全利用暴跌之前的數據變更終點得到的暴跌預測區間覆蓋了實際暴跌時點，但是置信區間較大，進一步分析，可以看到多數樣本預測的暴跌時點在真實值附近，具有較好的參考性。

按照上述方法對創業板指數進行擬合，結果如圖3和圖4所示。

圖3 變更起點，預測置信區間較窄，真實值在預測期間內

圖4 變更終點，預測區間變寬，預測值與真實值接近

圖3和圖4的樣本區間與圖1和圖2一致，每條線的含義與圖1和圖2中闡述一致，結果表明模型在創業板上預測依舊有效。

表1是模型的參數部分估計匯總，選取的是上證指數和創業板指數變更起點或者終點得到的樣本中第一個樣本和最后一個樣本的參數估計。

表1　部分樣本LPPL模型參數估計結果

2．3　Lomb譜分析結果

為了檢驗上述擬合模型是否呈現對數周期性質，本文引入Lomb譜分析，結果如圖5所示。從譜分析結果圖可以看出，對上證指數、創業板指數取對數進行LPPL擬合得到的殘差進行譜分析，各樣本段的峰值都較接近，圖形呈現明顯的周期效果。證明對數周期性質存在，同時，通過確認大部分的樣本的峰值所在位置，能更好地預測暴跌時點。

圖5針對四種預測模型的Lomb譜分析表明存在對數周期性

2．4　O-U分析結果

分別選取擬合誤差最小的四組樣本，對殘差進行單位根檢驗。從而判斷暴跌時點是否適合Ornstein-Uhlenbeck過程。檢驗結果如表2所示。

表2　殘差單位根檢驗

從表2可以看出，四個序列均滿足平穩性檢驗。說明暴跌時間服從O-U隨機過程，不局限于正態分布，呈現出對數周期性質。

3　結論和建議

本文利用改進算法的LPPL模型對我國2015年6月份上證指數、創業板指數的暴跌進行了預測，利用Bootstrap技術得到預測區間，結合Lomb譜分析和O-U隨機過程單位根檢驗對模型參數進行檢驗。研究發現兩個指數在暴跌前均呈現明顯的伴隨對數周期震蕩的超指數增長特征，兩個指數的泡沫破滅時間均落在改進的LPPL模型預測的80%置信水平下的置信區間內，且暴跌時間點與模型預測的時間點接近。

本文的回溯結果表明LPPL模型能較好地刻畫伴隨對數周期震蕩的超指數增長，Lomb譜分析以及O-U過程檢驗也支持了這種論證。模型利用股災發生之前的數據，準確及時地捕捉到暴跌的區間，說明對暴跌的預測在適用的模型及嚴謹的檢驗下是可行的。利用這些模型實時研判，可以起到預警作用。本文通過變更回溯起點和終點，進行多次擬合發現改進的LPPL模型參數穩定，敏感性較低，在實際使用中具有穩定性和可適用性。然而，值得注意的是，預測的暴跌時點只是表明股市暴跌的概率較大，并不一定代表隨后就會發生暴跌。

根據上述結論，本文建議監管層密切關注泡沫形成的超指數增長特征。利用定量分析的方法，結合其他觀測指標，及時診斷股市泡沫，并在合適時期對市場參與者預期進行引導，采取相應措施未雨綢繆。而市場參與者可以借鑒本文的研究方法，跟蹤市場，采取靈活策略合理應對，盡量規避風險并減少損失。

參考文獻：

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