基于顯式模型預測控制的大規(guī)模路網(wǎng)交通信號控制方法

陸　可，杜萍萍，鄒啟鳴，何天嘉

(安徽工業(yè)大學管理科學與工程學院，安徽 馬鞍山　243000)

近年來，隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，日益惡化的城市交通狀況及其引發(fā)的一系列問題引起了人們越來越廣泛的關(guān)注。同時，由于城市交通路網(wǎng)規(guī)模越來越大，交叉路口之間的時空關(guān)聯(lián)性越來越強，對單個交叉路口的控制已經(jīng)不能從根本上緩解交通擁堵問題[1]。雖然加強基礎設施建設可以直接有效地解決城市交通擁堵問題，但是會受到資金、時間和空間上的嚴重制約[2]。為此，基于現(xiàn)有交通基礎設施，以路網(wǎng)中的某個區(qū)域(或者整個路網(wǎng))為控制對象，以區(qū)域的整體交通效益為優(yōu)化目標，對區(qū)域內(nèi)所有交叉路口進行協(xié)調(diào)控制，已經(jīng)成為提高交通信號控制系統(tǒng)運行效率的主要方法[3-4]。

大量的研究表明，實時信號控制比固定時間控制能更有效地緩解交通擁堵[5]。自20世紀80年代初以來，研究者們已經(jīng)開發(fā)了大量交通響應型城市控制系統(tǒng)來解決交通擁堵問題，如SCOOT[6]和SCATS[7]系統(tǒng)，這兩個系統(tǒng)基于實時交通狀態(tài)的自適應響應控制方法在線優(yōu)化信號配時；還有一部分研究是基于短時交通流預測策略的自適應交通信號控制模型，如OPAC[8]和RHODES系統(tǒng)[9]，其可以通過交通系統(tǒng)的控制模型來預測未來交通狀況。

以上提到的交通信號控制系統(tǒng)已成功地應用于世界各地。然而大規(guī)模網(wǎng)絡的復雜性，使協(xié)調(diào)控制整個路網(wǎng)變得十分困難，模型預測控制(model predictive control，MPC)方法有效地提升了大規(guī)模交通路網(wǎng)中的信號控制效率，引起了人們的高度重視[10]。該方法基于模型預測未來的交通狀態(tài)，并在線滾動優(yōu)化交通系統(tǒng)的路網(wǎng)狀態(tài)，得出最優(yōu)信號控制方案。

MPC方法在交通系統(tǒng)領域的應用得到了廣泛的關(guān)注。ABOUDOLAS等[11]將交通優(yōu)化問題重新設計成一個二次規(guī)劃問題，并將其嵌入到滾動優(yōu)化控制方案中，可以顯著降低在線計算復雜度。此外，根據(jù)宏觀交通模型，基于準確的城市交通模型的MPC控制器可以處理各種復雜的交通場景[12-13]?？紤]到大型城市交通網(wǎng)絡的復雜性，分布式控制旨在提升MPC控制器的效率[14]。如，LIN等[15-16]設計了一種用于交通流控制的多智能體MPC框架，將集中式模型預測控制問題分解為一組由分布式智能體解決的耦合子問題。此外，考慮到不同智能體之間的控制優(yōu)先級，ZHOU等[17]提出了使用基于擁塞程度的串行方案的多智能體控制方法，可以基于每個分區(qū)的擁塞程度來先后控制不同的智能體。

交通信號控制系統(tǒng)是一個典型的多變量、多約束、非線性的復雜大系統(tǒng)，MPC方法在處理該類系統(tǒng)的控制問題時具有諸多優(yōu)勢[18]。然而，當預測模型規(guī)模較大時，滾動優(yōu)化需要消耗大量的時間，影響了MPC方法在一些狀態(tài)快速變換的場景中的應用。針對交通信號控制系統(tǒng)對實時性的要求，本文擬在討論多參數(shù)規(guī)劃方法的基礎上，將顯式模型預測控制(explicit model predictive control，EMPC)方法引入?yún)^(qū)域交通管理問題中[19]。與傳統(tǒng)MPC法相比，EMPC法首先通過離線計算對交通系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)域進行凸劃分，并得到每個狀態(tài)分區(qū)上相應的最優(yōu)反饋控制律。在線優(yōu)化時，只需確定當前時刻系統(tǒng)狀態(tài)所處的分區(qū)并按照該分區(qū)上的最優(yōu)控制律進行簡單的線性計算，就可以得到當前時刻的最優(yōu)信號控制策略，大幅度減少在線優(yōu)化的時間[20-21]。

本文基于store-and-forward方法建立交通信號控制模型[2]，并將EMPC方法應用到路網(wǎng)交通信號協(xié)調(diào)控制問題的求解中。據(jù)悉，目前的研究還缺乏將EMPC方法應用于交通優(yōu)化的控制系統(tǒng)的深入探討。在EMPC框架中，通過引入多參數(shù)規(guī)劃方法，將交通系統(tǒng)的優(yōu)化控制問題歸結(jié)為求解相應的數(shù)學規(guī)劃問題[22-23]，用離線計算的方式來凸劃分系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)域并得到各個狀態(tài)分區(qū)所對應的分段仿射最優(yōu)顯式控制律[24-25]，通過在線查找狀態(tài)分區(qū)表確定當前狀態(tài)值所在的分區(qū)，進而獲得相應的最優(yōu)控制律并通過線性計算實時獲取信號控制方案。

1　研究基礎與相關(guān)技術(shù)

本文基于EMPC方法，在考慮未來交通狀態(tài)變化的基礎上，完善交通信號控制，最終實現(xiàn)對整個路網(wǎng)的優(yōu)化。為了預測交通流狀態(tài)，進一步優(yōu)化交叉路口的信號配時方案，首先介紹了一種廣泛用于大型城市網(wǎng)絡中的交通控制模型——存儲轉(zhuǎn)發(fā)模型(store-and-forward model)，該模型以簡化的方式描述路網(wǎng)交通流量的變化過程。

如圖1所示的兩個信號交叉口之間的路段z的動態(tài)交通流可以描述為：

xz(k+1)=xz(k)+T[qin,z(k)-qout,z(k)+ez(k)]

(1)

式中：xz(k)是在離散時刻k處路段z中的車輛的數(shù)量；在時間間隔[kT,(k+1)T]期間，qin,z(k)為路段z車輛流入的車流率，qout,z(k)為路段z車輛流出的車流率，ez為路段z上的擾動；k為離散時間步長指數(shù)；T為離散時間步長。

圖1　路段z的交通流

根據(jù)定義，有以下約束：

∑i∈Figj,i+Lj≤C

(2)

式中：gj,i為交叉路口j在第i個相位處的綠燈時間；C為路網(wǎng)中每個交叉路口信號設置的周期時間，在本文中假設T=C。此外，交叉路口j的信號配時(包括丟失時間Lj)方案中固定數(shù)量的相位是屬于相位集合Fi。不等式(2)可以用于在高度擁塞的情況下允許交叉路口信號燈處于全紅狀態(tài)。因此式(1)中的qin,z(k)和qout,z(k)表示為：

qin,z(k)=∑w∈Ijτw,zqout,w(k)

(3)

(4)

式中：Gz(k)為路段z的流出方向的綠燈時間，計算公式為Gz(k)=∑i∈vzgj,i(k)，vz為路段z上具有通行權(quán)的一組相位集合；sz為路段z在綠燈時間內(nèi)的飽和流出量；qout,w(k)為路段z的進口道處不同方向上車輛的流入率。在該交通模型中，令Ij為通過交叉路口j流入某路段的車流集合，則τw,z為在Ij中從路段w(w∈Ij)流入路段z的車流轉(zhuǎn)向率。將式(3)和(4)代入式(1)，替換路段的流入率和流出率，式(1)變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(5)

式中：sw為路段z在綠燈時間內(nèi)的飽和流入量；uw(k)為路段z的進口道處不同方向上的綠燈時間。本文的研究目標是計算最優(yōu)信號控制率uz，即綠燈時間，以最大限度地減少區(qū)域路網(wǎng)的車流量。對于交通網(wǎng)絡中的所有路段，推廣路段z上的車流動態(tài)方程(5)，整合后獲得描述區(qū)域交通路網(wǎng)在離散時間上的交通流變化的狀態(tài)空間矩陣方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+e(k)

(6)

式中：x(k)為網(wǎng)絡中所有路段上車輛數(shù)目的狀態(tài)向量；u(k)為控制輸入向量(由所有綠色時間gj,i組成)；e(k)為非受控車流量的干擾向量；狀態(tài)矩陣A是一個單位矩陣；B為控制輸入矩陣，由兩個元素組成，即轉(zhuǎn)向率τ和飽和流量s。

2　基于顯式模型預測控制的交通信號控制

傳統(tǒng)的模型預測控制方法已經(jīng)在包括交通信號控制等領域得到了深入的討論和實踐，然而由于其自身需要反復地在線優(yōu)化，使得模型預測控制技術(shù)只能適用于系統(tǒng)動態(tài)變化較慢的場合。同時，為了保證閉環(huán)預測控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可行性等要求，通常需要在預測控制系統(tǒng)的設計階段就考慮系統(tǒng)的性能要求，并引入與這些性能要求對應的額外約束條件。這些人為添加的約束條件，往往會減小閉環(huán)預測控制系統(tǒng)的可行區(qū)域，導致控制性能的下降和計算復雜性的增加。這些問題，限制了模型預測控制在交通系統(tǒng)特別是大規(guī)模路網(wǎng)的信號控制問題中的應用。

本文將EMPC引入大規(guī)模交通路網(wǎng)的交通信號控制問題中，以彌補目前模型預測控制的不足。EMPC將多參數(shù)規(guī)劃理論引入到線性時不變對象的約束二次優(yōu)化控制問題的求解中，對系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)域(即參數(shù)區(qū)域)進行凸劃分，離線計算得到對應每個狀態(tài)分區(qū)上的狀態(tài)反饋最優(yōu)顯式控制律，并建立顯式模型預測控制系統(tǒng)。在線計算過程只需要查找當前狀態(tài)所對應的分區(qū)，就可以獲得相應的最優(yōu)控制律，進而確定當前所需要的控制量。由于EMPC不需要反復在線優(yōu)化，計算速度顯著提升，從而可以滿足控制的實時性要求。

2.1　交通優(yōu)化模型

在交通系統(tǒng)中，信號配時控制應根據(jù)相關(guān)的交通流量的需求進行設計。線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)理論的主要優(yōu)點是實現(xiàn)了交通信號控制實時計算的簡單性。為此，本文選用如下線性二次模型作為交通信號控制模型。

s.t.xt+k+1|t=Axt+k|t+But+kk≥0

(7)

0≤xt+k≤xmax

umin≤ut+k≤umax

xt|t=x(t)

式中：xt+k|t為在時間(t+k)處的預測狀態(tài)向量；ut+k為在時間(t+k)處的信號控制序列，從狀態(tài)x(t)開始，通過將輸入序列ut,…,ut+k-1應用在式(6)中得出預測狀態(tài)向量；UN為在控制周期內(nèi)的最優(yōu)信號控制序列；xmax為各個路段的最大車輛容納量；umin,umax分別為相應路口最小綠燈時間和最大綠燈時間；Q和R是對角非負正定矩陣，Q為道路中最大車輛數(shù)的狀態(tài)矩陣，對角線元素等于1/(xmax)2，矩陣R通常定義為R=rI，其中r可通過實驗得出。

2.2　EMPC的離線計算

多參數(shù)規(guī)劃技術(shù)通常應用在由目標函數(shù)、一組參數(shù)向量和一組約束組成的優(yōu)化問題中。優(yōu)化變量的最優(yōu)值通過優(yōu)化變量和相應狀態(tài)參數(shù)區(qū)域之間的顯式表達式計算。作為通用數(shù)學技術(shù)，可以使用多參數(shù)規(guī)劃方法來獲得優(yōu)化變量U關(guān)于狀態(tài)參數(shù)x(t)的函數(shù)。EMPC通過多參數(shù)規(guī)劃方法劃分交通流的狀態(tài)空間并獲得相應分區(qū)的最優(yōu)控制規(guī)律，則傳統(tǒng)的MPC系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換為分段仿射(PWA)系統(tǒng)。因此，可以離線獲得最優(yōu)信號配時控制律的顯式表達，從而不需要重復地在線優(yōu)化。

狀態(tài)更新方程替換為如下形式：

(8)

則優(yōu)化模型可以轉(zhuǎn)化為如下形式：

s.t.GU≤W+Sx(t)

(9)

U*(x(t))=Fix(t)+Gix(t)∈CRi

(10)

式中CRi=[x∈Rn|Lix≤Ki]，其代表臨界區(qū)，是參數(shù)空間φ={x∈Rn|Lx≤K}的凸分區(qū)。通過多參數(shù)規(guī)劃方法可以求得參數(shù)L，Li，K，Ki，F(xiàn)i，Gi。EMPC系統(tǒng)可以分為兩部分，即離線計算和在線計算，對于離線計算，通過應用多參數(shù)規(guī)劃技術(shù)凸劃分交通流狀態(tài)空間，并且可以獲得相應分區(qū)的最優(yōu)信號控制律。對于每個CRi，最優(yōu)信號控制律是其對應狀態(tài)的線性函數(shù)。

2.3　EMPC的在線查找

EMPC的在線計算過程是通過搜索狀態(tài)分區(qū)表CRi={x∈Rn|Lix≤Ki}來確定當前交通狀態(tài)所屬的狀態(tài)區(qū)域CRi，即x(t)∈CRi。然后，直接獲取相應的交通狀態(tài)區(qū)域CRi的信號控制規(guī)律，即u(t)=fix(t)+gi。因此，執(zhí)行線性搜索以定位當前交通狀態(tài)x(t)的狀態(tài)空間，然后查找相應的反饋增益(Fi,Gi),是在線階段的主要工作。當找到當前交通狀態(tài)的對應區(qū)域時，信號控制量可以根據(jù)式(10)計算。

線性順序查找方法用于搜索整個狀態(tài)區(qū)域以確定當前狀態(tài)點是否位于某一個區(qū)域，直到找到位于x(t)的狀態(tài)區(qū)域。如果沒有找到狀態(tài)區(qū)域，則使用最近可行區(qū)域的信號控制規(guī)律代替。

3　仿真實驗結(jié)果分析與討論

考慮到成本和交通安全，實際交通系統(tǒng)不可能隨時更改新的信號配時方案。因此，本文的仿真實驗是在一種廣泛使用的交通模擬軟件Paramics上進行的，通過控制如圖2所示區(qū)域交通路網(wǎng)來驗證使用EMPC進行信號控制的效果。字母A～F表示6個交叉路口，1～13表示13個單向鏈路組成。此外，根據(jù)Paramics的要求，特別設定了7個特殊的矩形框，表示流入和流出，例如Sin,1和Sout,1。路網(wǎng)中路段的容量均設置為100輛。左轉(zhuǎn)彎率、直行率和右轉(zhuǎn)彎率分別被設置為30%、40%和30%。每個信號周期的時長設置為55s，每個交叉路口在控制周期內(nèi)至少包含兩個相位，綠燈時間的最大值和最小值分別為50s和5s。路口的飽和流率均設置為1 900輛/h。仿真過程中的控制步長為0.5s，整個仿真為32個周期共1 760s，車輛以1 200輛/h的流率進入路網(wǎng)。

圖2　仿真實驗交通路網(wǎng)圖

本文所有的仿真實驗都在配置為32G內(nèi)存、3.5GHz CPU、Windows7操作系統(tǒng)的Dell工作站上進行。實驗選用MATLAB和C++為編程語言，采用Paramics交通仿真軟件進行仿真，使用MATLAB生成EMPC控制器，使用C++語言生成Paramics仿真所需的顯式控制率。仿真結(jié)果的比較分別從可行性和效率兩方面進行。

3.1　基于EMPC的信號控制器的可行性

為了證明可行性，將基于EMPC的信號控制器的控制性能與固定時間控制(fixed-time control，F(xiàn)TC)策略進行比較，對于總時間消耗(total time spent, TTS)和總車輛出發(fā)(total vehicle departure, TVD)進行評估。圖3是兩種方法的TTS指標的對比圖，從圖可以很明顯看出，基于EMPC的方法相對于定時長方法具有更大的優(yōu)勢。TVD指標反映的是有多少車輛離開區(qū)域交通路網(wǎng)，該指標的價值在于評價兩種方法緩解交通擁堵的能力，實驗結(jié)果如圖4所示，其中橫軸表示與控制時間同步的模擬時間，縱軸表示每個控制周期的累積離開的車輛數(shù)，從圖可以看出，基于EMPC方法的TVD指標高于FTC方法。實驗所得到的TTS和TVD的數(shù)據(jù)是在相同設置下的10次模擬實驗的平均值，實驗結(jié)果表明基于EMPC的方法可以應用于信號控制。

圖3　基于EMPC方法與基于定時長方法的TTS對比圖

圖4　基于EMPC方法與基于定時長方法的TVD對比圖

為了避免實驗結(jié)果的隨機性，在仿真實驗中，隨機選擇了路網(wǎng)中的3條路段，測試了這3條路段中不同時間節(jié)點中車輛數(shù)量的變化情況，如圖5所示。實驗結(jié)果直觀地表明，在基于EMPC的方法中3條不同路段的車輛數(shù)量總體上明顯小于固定時長信號控制方法，說明在該方法的控制下，道路的通行能力得到提升，更加明確地表明了EMPC法相較于FTC更能及時有效地緩解交通擁堵問題。

圖5　基于EMPC方法與基于定時長方法在不同路段上車輛數(shù)的對比圖

3.2　基于EMPC的信號控制器的有效性

為了滿足實時要求，優(yōu)化控制效率對于信號控制器來說十分重要。如前所述，在線計算的高復雜度是MPC的主要缺點，而基于EMPC的方法旨在克服這個缺點。為了評估EMPC控制器的效率，進行了10次實驗，得出的最終結(jié)果是這10個結(jié)果的平均值。圖6顯示了EMPC控制器和MPC控制器所消耗的CPU時間。兩種算法的CPU用時均隨著路段數(shù)量的增加而增加，與MPC控制器相比，EMPC占用CPU時間僅為0.5～1.5s。仿真實驗結(jié)果顯示，兩種方法的整體計算時間都會隨著路網(wǎng)中路段數(shù)量的增加而增加，但EMPC的CPU使用時間和增長速率明顯地低于MPC方法。

圖6　基于EMPC方法與基于MPC方法的CPU用時對比圖

4　結(jié)束語

本文結(jié)合存儲轉(zhuǎn)發(fā)模型和線性二次最優(yōu)控制理論，構(gòu)建帶約束的交通控制信號優(yōu)化模型，同時將顯式模型預測控制引入大型交通路網(wǎng)的交通信號控制問題中。通過將傳統(tǒng)MPC的在線優(yōu)化過程轉(zhuǎn)變?yōu)樵诰€查表過程，交通控制信號的優(yōu)化可以通過快速離線計算得到每個對應狀態(tài)分區(qū)上的狀態(tài)反饋最優(yōu)顯式控制律。結(jié)合仿真實驗結(jié)果可知，基于EMPC的交通信號控制方法考慮到交通流的實時性需求，將離線計算與在線計算有效結(jié)合，通過與固定時長信號控制策略比較驗證了基于EMPC控制器的實時可行性。同時，為了克服傳統(tǒng)模型預測控制在線計算量的問題，顯式模型預測控制通過引入多參數(shù)規(guī)劃方法巧妙地提升了預測控制的控制效率，并通過實驗比較了兩種方法的CPU耗時，驗證了EMPC方法在交通信號配時優(yōu)化問題中的控制性能。

參考文獻:

[1]PAPAGEORGIOU M. Overview of road traffic control strategies[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2004, 37(19):29-40.

[2]ABOUDOLAS K, PAPAGEORGIOU M, KOSMATOPOULOS E. Store-and-forward based methods for the signal control problem in large-scale congested urban road networks[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2009, 17(2):163-174.

[3]XIE X F, SMITH S F, LU L, et al. Schedule-driven intersection control[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2012, 24(1):168-189.

[4]ZHU F, UKKUSURI S V. A linear programming formulation for autonomous intersection control within a dynamic traffic assignment and connected vehicle environment[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2015, 55:363-378.

[5]RAMEZANI M, HADDAD J, GEROLIMINIS N. Dynamics of heterogeneity in urban networks: aggregated traffic modeling and hierarchical control[J]. Transportation Research Part B, 2015, 74:1-19.

[6]BRETHERTON D, BODGER M, BABER N. SCOOT-the future urban traffic control[C]//IEE International Conference on Road Transport Information and Control.London, UK：IET,2004:301-306.

[7]SIMS A G. SCAT, the sydney co-ordinated adaptive traffic system[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1981, 29(2):130-137.

[8]GARTNER N H. OPAC: ademand responsive strategy for traffic signal control[J]. Transportation Research Record Journal of the Transportation Research Board, 1983, 906:75-81.

[9]SEN S, HEAD K L. Controlled optimization of phases at an intersection[J]. Transportation Science, 1997, 31(1):5-17.

[10] XI Y G, LI D W, LIN S. Model predictive control——status and challenges[J]. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(3):222-236.

[11] ABOUDOLAS K, PAPAGEORGIOU M, KOUVELAS A, et al. A rolling-horizon quadratic-programming approach to the signal control problem in large-scale congested urban road networks[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2010, 18(5):680-694.

[12] LIN S, SCHUTTER B D, XI Y G, et al. Efficient network-wide model-based predictive control for urban traffic networks[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2012, 24(9):122-140.

[13] LIN S, SCHUTTER B D, XI Y G, et al. Fast model predictive control for urban road networks via MILP[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2011, 12(3):846-856.

[14] ZHOU Z, SCHUTTER B D, LIN S, et al. Two-level hierarchical model-based predictive control for large-scale urban traffic networks[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2017, 99:1-13.

[15] NEGENBORN R R, SCHUTTER B D, HELLENDOORN J. Multi-agent model predictive control for transportation networks: Serial versus parallel schemes[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2008, 21(3):353-366.

[16] OLIVEIRA L B D, CAMPONOGARA E. Multi-agent model predictive control of signaling split in urban traffic networks[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2010, 18(1):120-139.

[17] ZHOU Z, SCHUTTER B D, LIN S, et al. Multi-agent model-based predictive control for large-scale urban traffic networks using a serial scheme[J]. IET Control Theory & Applications, 2015, 9(3):475-484.

[18] ZHANG J, WANG W. Synthesis of explicit model predictive control system with feasible region shrinking[C]//Wseas International Conference on Robotics, Control and Manufacturing Technology.Hangzhou：WSEAS, 2008:80-85.

[19] BEMPORAD A, MORARI M, DUA V, et al. The explicit linear quadratic regulator for constrained systems[J]. Automatica, 2002, 38(1):3-20.

[20] ZHANG J, CHENG X, ZHU J. Control of a laboratory 3-DOF helicopter: Explicit model predictive approach[J]. International Journal of Control Automation & Systems, 2016, 14(2):389-399.

[21] OBERDIECK R, DIANGELAKIS N A, PISTIKOPOULOS E N. Explicit model predictive control: a connected-graph approach[J]. Automatica, 2017, 76:103-112.

[22] T?NDEL P, JOHANSENT A, BEMPORAD A. An algorithm for multi-parametric quadratic programming and explicit mpcsolutions[J]. Automatica, 2002,39(3):489-497.

[23] DIANGELAKIS N A, AVRAAMIDOU S, PISTIKOPOULOS E N. Decentralized multiparametricmodel predictive control for domestic combined heat and power systems[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2016, 55(12):3313-3326.

[24] ALLEN M, ASTLE B, BURT J. Model predictive control based on linear programming-the explicit solution[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2002,47(12):1974-1985.

[25] BEMPORAD A. A multiparametricquadratic programming algorithm with polyhedral computations based on nonnegative least squares[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2015, 60(11):2892-2903.