VTI巖石界面產生的非均勻折射P波極化狀態分析

法　林　張曉琳　席冰潔　周　鑫　牟錦鵬　楊　宏

(①西安郵電大學電子工程學院，陜西西安 710121； ②西安郵電大學通信與信息工程學院，陜西西安 710121)

1　引言

彈性各向異性在地球內部是一種常見的現象，許多地球物理學家已觀察到各向異性介質中的極化現象[1-4]并對反射/折射系數、極化等方面進行了廣泛的研究[5-11]，其研究成果已應用到勘探地震數據的反演解釋中[12-15]。人們通常把沉積巖(例如頁巖)視為橫向各向同性(TI)介質，理論上VTI介質力學性質可用六角晶體的彈性張量進行描述[3，4]。

在地球物理勘探中，巖石的各向異性對聲波的極化、傳播和反射/折射有很大影響，正確地評估巖石各向異性的這些影響對地球物理勘探的正演建模和地震勘探數據反演至關重要。在許多已發表的文獻中，可見各向異性巖層中傳播的均勻平面波的極化特性方面的研究[1，4，16-19]，以及在各向異性巖層界面上產生的非均勻折射P波的極化特性方面的研究，例如，對于存在和不存在異常入射角的兩種情況，法林等[10，20]推導了非均勻折射P波極化系數的嚴格數學表達式。

對于存在異常入射角的VTI介質界面的情況，在異常入射角對非均勻折射P波橢圓極化狀態的影響下能夠正確地計算出反射/折射系數的幅度及其相位與入射角之間的變化關系。如果忽略異常入射角引起的非均勻折射P波對極化狀態的影響，則不能正確地在過異常入射角區域計算出VTI巖石界面的PP波的反射系數以及反射P波相對入射P波在界面上產生的渡越時間。因而對于大角度入射而獲得的地震勘探數據就不能進行精確的AVO反演分析，對上述地震勘探數據進行時—深轉換時也會引起較大的誤差。

本文對各向異性巖石界面上產生的非均勻折射P波的極化狀態進行了數值計算，用類似“Poincaré球”的可視化方式描述了巖石各向異性和異常入射角對其橢圓極化狀態的影響。在VTI介質界面的反射系數和極化系數及前異常入射角區域非均勻模式轉換波的極化系數表達式的基礎上，推導了過異常入射角區域對應的非均勻模式轉換波的極化系數的表達式，并首次建立了相應的橢圓極化方程，同時計算了入射角與橢圓極化軌跡之間的關系，并論證了這個異常入射角[10]不僅可以使橢圓極化軌跡的形狀發生突變，而且還會使橢圓極化旋轉方向發生改變。

2　理論背景

對于VTI介質，可以用六角晶系固體的彈性剛度張量

(1)

描述其主要力學性質[4，21]。式中Cij與各向異性巖石參數之間的關系[22]為

(2)

式中：ε、δ和γ是巖石各向異性參數；α和β分別是P波和SV波的垂直相速度；ρ是介質密度。

對于角頻率為ω的簡諧P波，其在x-z平面上傳播并入射到VTI介質界面上(圖1)，入射P波、反射P波、折射P波、反射SV波和折射SV波的質點位移矢量的表達式為

(3)

式中：θ為入射角、反射角或折射角；R0定義為1，R表示反射或折射系數；ux和uz為極化系數；k為波數。

圖1　　　　各向異性巖石界面模型的入射P波和模

對于不存在外力的情況，入射P波和在界面上產生的模式轉換波的極化系數ux和uz可以通過求解簡化的Christoffel方程

(4)

獲得。式中

(5)

其中：A1=A11-A44；A2=A44-A33；A3=A13+A44；vm是五種波的相速度解[20]。在不存在異常入射角的情況下，對于入射、反射和折射P波式(5)中Qm取“+”，對于反射、折射SV波Qm取“-”；在存在異常入射角的情況下，在過異常入射角區域，對于折射P波Qm取“-”。

3　模型建立

根據測量出的巖石各向異性參數[22-24]，經大量計算后發現對于大多數各向異性巖石構成的界面不存在異常入射角，而對某些特殊各向異性巖石界面存在著異常入射角的現象[10]。選擇各向異性頁巖(A頁巖)、泰勒砂巖(T砂巖)以及油頁巖(O頁巖)構成兩種各向異性巖石界面模型：以A頁巖作為入射介質、T砂巖作為折射介質，構成第一種各向異性巖石界面模型；以A頁巖作為入射介質、O頁巖為折射介質，構成第二種各向異性巖石界面模型。三種巖石的彈性參數如表1所示[22]。

表1　三種VTI介質巖石的彈性參數

3.1　模型1：不存在異常入射角情況

考慮不存在異常入射角的各向異性巖石界面系統，重點是對應折射P波的過臨界角入射。由于巖石介質橫向各向同性，有Wx,2=Wy,2，則模型可簡化為二維。由斯奈爾定理，當sinθ2變為大于1的實數時，式(3)可以轉換為質點位移分量表達式形式，即折射波質點位移的兩個獨立分量可表示為

(6)

(7)

瞬時質點位移的表達式為

(8)

由上式可得非均勻折射P波的橢圓極化方程為

(9)

式中

(10)

其中上標“*”表示復共軛。將橢圓極化軌跡末端與x軸之間的夾角稱為非均勻折射P波的橢圓極化旋轉角，可表示為

tan(ωt-k0xsinθ0+φ2)]

(11)

上式表明橢圓極化旋轉角隨著時間的增大而增大，因此非均勻折射P波是右旋橢圓極化波。

對于給定的各向異性巖石界面，可以得到非均勻折射P波的橢圓極化軌跡與入射角之間的關系。對于A頁巖和T砂巖組成的界面模型，不存在對應折射P波的異常入射角，僅存在一個對應折射P波的入射臨界角(θ0C=48.34°)。在超過臨界角區域，非均勻折射P波是右旋橢圓極化波，計算的非均勻折射P波的橢圓極化狀態如圖2a所示，可以看出，橢圓極化軌跡的大小相對于入射角的增大而減?。粓D2b為不同入射角的橢圓極化軌跡在Wx,2-Wz,2平面的投影；圖2c是橢圓極化初始旋轉角與入射角的關系，其絕對值隨著入射角的增大而單調遞增，當入射角接近90°時初始旋轉角趨近于-90°。

3.2　模型2：存在異常入射角情況

對于A頁巖作為入射介質、O頁巖作為折射介質構成界面模型2，存在一個入射臨界角(θ0C=32.99°)和一個異常入射角(θ0A=62.16°)。在前入射角區域，即θ0∈(θ0C，θ0A)，非均勻折射P波的橢圓極化狀態的理論分析同模型1，非均勻折射P波的極化狀態數學表達式相同，是一個右旋橢圓極化波。

在過異常入射角區域θ0∈(θ0A，90°)，由斯奈爾定理可知，當cosθ2變為大于1的實數時，式(3)可以轉換為質點位移分量表達式形式，即非均勻折射P波質點位移的兩個獨立分量可以表示為

(12)

即

(13)

式中因子χ2=iωcosθ2/v2是正數[12，13]。由上式可得折射P波的橢圓極化方程

(14)

其中

(15)

圖2　界面模型1的非均勻折射P波的極化狀態

(a)折射P波的橢圓極化軌跡與入射角的關系； (b)橢圓極化軌跡投影到Wx,2-Wz,2平面上； (c)在坐標原點處的橢圓極化的初始旋轉角

同理，非均勻折射P波的橢圓極化旋轉角可表示為

×

cot(ωt-k0xsinθ0+φ2)}

(16)

由上式可知，橢圓極化旋轉角隨著時間增加而減小，橢圓極化軌跡隨著時間沿順時針方向旋轉，因此當θ0∈(θ0A，90°)，非均勻折射P波是左旋橢圓極化波。

圖3為界面模型2的非均勻折射P波的橢圓極化狀態。從圖3a可以看出，橢圓極化軌跡的大小隨入射角增加而減小，在異常入射角處，非均勻折射P波的橢圓極化軌跡突然增大，在過異常入射角區域θ0∈(θ0A，90°)，極化軌跡也是隨著入射角的增大而

圖3　界面模型2的非均勻折射P波的極化狀態

(a)橢圓極化軌跡的左旋偏振和右旋偏振； (b)橢圓極化軌跡投影到Wx,2-Wz,2平面上； (c)在坐標原點處的橢圓極化旋轉的初始狀態減小。圖3b為不同入射角得到的橢圓極化軌跡在Wx,2-Wz,2平面上的投影，可以看出，在小于異常入射角區域非均勻折射P波為左旋橢圓極化波，在大于異常入射角區域非均勻折射P波為右旋橢圓極化波。從圖3c可以看出，非均勻折射P波的橢圓極化旋轉初始角(絕對值)隨入射角的增大而增大，當入射角向異常入射角的方向增大時，橢圓極化旋轉初始角接近-90°； 在異常入射角處，橢圓極化旋轉初始角(絕對值)突然減小，其旋轉方向發生改變；在過異常入射角區域θ0∈(θ0A，90°)，橢圓極化旋轉初始角相對較小，且變化較為緩慢(圖3c中線段CD)。

4　結束語

基于兩種真實的VTI介質界面模型，即A頁巖與T砂巖之間界面以及A頁巖與O頁巖之間界面，本文推導了兩種界面模型的非均勻折射P波的橢圓極化方程，分析了在上述兩種界面上產生的非均勻折射P波的極化狀態。在此基礎上，給出了上述兩種界面產生的非均勻折射P波的三維橢圓極化狀態圖(Poincaré球)。對于上述兩種界面模型，其橢圓極化軌跡隨著入射角的增大而減小。

對于存在異常入射角的VTI介質界面(界面模型2)，在異常入射角處，非均勻折射P波橢圓極化不但經歷了形狀突變、軌跡銳增和橢圓極化旋轉初相角銳減的變化過程，而且由右旋橢圓極化波突變為左旋橢圓極化波。

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