同一柱面電容傳感器探頭數學模型解析解*

包本剛, 朱湘萍, 劉志壯, 侯意仁

(湖南科技學院 電子與信息工程學院，湖南 永州 425199)

0 引 言

在工程實踐和科學實驗中，常需要檢測電容傳感器[1]的電容值或者改變量來獲得所需的其他物理量[2～7]，近幾年來對電容傳感器的設計及研究應用越來越多[8～16]，但得到的電容傳感器數學模型均為近似模型，誤差較大，如文獻[8]提出了單一平面電容傳感器數學模型，用于測量木材的含水率，檢測精度高時誤差難以控制，且計算量非常大，操作不便；文獻[9]設計了壓輥傳感器模型，可對稻谷干燥水分進行動態監測，但在10 %～33 %含水率處誤差較大，且含水量較大時，檢測時間較長；文獻[10]設計了阻抗傳感器，小麥秸稈的濕基含水率在10.4 %～19.7 %以外誤差較大等。

為了更準確地測量顆粒物體的含水率，本文利用電容器定義、靜電場中的導體、電介質及電容器的邊緣效應等電磁理論，提出了同一柱面的電容傳感器探頭的數學模型，推導出同一柱面電容傳感器探頭的電容量與被測顆粒物體介電常數的規律，為顆粒物體的含水率檢測及監控設計了一種新型的電容傳感器。探頭結構簡單，操作方便，測量含水量發范圍比較廣，具有較高的實用性。

1 同一柱面電容傳感器探頭結構及工作原理

1.1 結構設計

如圖1所示，電極I，II采用長方形銅箔對稱粘貼在絕緣圓筒的外壁，內外半徑分別為R3,R4，長和寬分別為a,b；絕緣圓筒采用PVC塑料圓筒制成，內外半徑分別為R2,R3；隔離電極(地電極)，采用銅箔粘貼在絕緣圓筒的整個內壁，內外半徑為R1,R2。

圖1 同一柱面電容式傳感器結構

1.2 工作原理

同一柱面電容傳感器尺寸、形狀、位置及環境溫度一定時，電容值由被測顆粒物體介電常數唯一確定，且電容量與被測顆粒物體介電常數是一一對應的單值函數；當被測顆粒物體的含水量一定時，其介電常數唯一確定，當含水量變化時，其介電常數相應發生變化，傳感器的電容量亦隨之發生相應的變化；實現通過檢測同一柱面電容傳感器探頭的電容量的變化推算被測顆粒物體的含水量。

2 同一柱面電容器傳感器探頭數學模型

2.1 模型建立[1]

Δ2V=0,(x,y,z)∈Ω∪(R3-Ω1-Ω2-Ω)

(1)

V|Ω1=V1,V|Ω2=V2

(2)

(3)

Vi|?Ω=V0|?Ω

(4)

(5)

對于同一圓柱面電容傳感器探頭，采用柱面坐標，設兩金屬電極板所占的空間區域為

(6)

(7)

被測顆粒物體外圍空間采用球坐標，其區域為

II={(r,θ,φ)|r>R4,β<θ<π-β,0<φ<π}

(8)

2.2 傳感器探頭電容量介電常數變化規律

假設兩金屬電極板的電勢分別為V1,V2均已經確定，根據對稱結構，V1=-V2

(9)

在I區域，管內電解質是圓柱分布，可取柱坐標系，I區域內的電勢V(r)為r的函數

由式(1)得

I區域內的電勢的通解為

V(r)=A1lnr+B1

(10)

在II區域，由于被測物料相對于柱面電容器，可以視為無限大，外電場的分布可以視為球形分布，取球坐標，則II區域的電勢V(r)為r的函數

(11)

由式(3)～式(11)得VI(R2)=0，VI(R3)=V1，VII(R4)=V1，VII(∞)=0,即

(12)

式中A1,A2,B1,B2為常數。I區域內的電勢VI為

(13)

(14)

又由E=-ΔV，式(13)、式(14)得

(15)

由式(15)推出右側金屬板內側電荷q1、外側電荷q2分別為

(16)

(17)

式中ε1為柱面電容器內部PVC電介質的介電常數；ε2為被測顆粒物體的介電常數；a，b分別為長方形銅箔極板的長與寬。由式(1)、式(16)、式(17)及電容器電容的定義式得

(18)

式中ε0為真空介電常數，ε0=8.85×10-12C2/N/m2；ε1r，εr分別為PVC、顆粒物體的相對介電常數。

3 算例測試

由式(18)可以看出：同一柱面電容傳感器探頭的電容量隨被測顆粒物體介電常數呈線性變化。采用PVC塑料圓筒設計電容傳感器探頭，若外徑R3為21 mm、內徑R2為14 mm、相對介電常數εr=3，電極I、電極II為長a(20 mm)×寬b(50 mm)長方形銅箔對稱粘貼在圓筒的外壁，隔離電極長為50 mm，粘貼在圓筒的整個內壁，由于銅箔很薄，銅箔內外半徑相等，則R4≈R3，根據式(18)得電容量C(pF)

C=0.21εr+1.56

(19)

當被測物體為真空，εr=1代入式(19)，得探頭的電容量C=1.77 pF，而實驗測試電容量C′=1.70 pF，計算值與測量值的誤差大約3.95 %。

為了檢驗電容傳感器探頭的可行性，采用稻谷作為檢測對象，在同一溫度下對不同含水率的谷物，測量了同一柱面電容傳感器探頭的電容量，測量數據如圖2所示。

圖2 探頭的電容量與稻谷含水率的關系

可知式(19)模型在一定條件下正確。

4 結 論

1)設計的同一柱面電容傳感器探頭體積小、結構簡單、操作方便，不會將顆粒物體夾在電極之間，且性能可靠、準確度較高；

2)在溫度和兩極位置一定時，利用電磁理論、邊界條件及偏微分方程的問題，推導出探頭的電容量與被測顆粒物體相對介電常數的規律，接近線性關系；

3)對某具體尺寸的探頭，計算出該探頭與谷物的相對介電常數表達式，并計算了真空中探頭的電容值為1.77 pF，與測量值非常接近；

4)用該尺寸的探頭，測量不同含水率谷物時，實驗測量該探頭的電容量與谷物的含水量接近線性關系。

以上結果驗證了同一柱面電容傳感器探頭的數學模型在一定條件下正確，用該探頭測量顆粒物體的含水率，體積小，操作方便，性能可靠，具有一定的實際意義。

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