考慮CSI效應的AMD控制系統構建及其時變時滯補償

陳朝駿　李祚華　滕軍　幸厚冰

摘要：由于AMD控制系統與結構之間存在著相互作用CSI（control-structureinteraction），造成了以慣性質量為支撐點向被控結構施加的控制力不等于理論的最優控制力，即施加的控制力將有所滯后。為此，針對AMD控制系統建立了不計CSI效應、計低階CSI效應和同時計低、高階CSI效應的三種數學模型，經分析表明了計低、高階CSI效應對AMD控制系統的影響最大，進而確定了由CSI效應造成的時變時滯的范圍。針對某4層鋼框架實驗系統，基于保性能算法設計了相應的時變時滯補償控制器，以系統控制效果、AMD控制力及行程為指標，對比了有無時滯的兩種控制系統的性能，結果表明在較大的時變時滯的影響下，此控制算法依舊具有良好的控制效果以及穩定的控制參數。關鍵詞：振動控制；高柔結構；AMD控制系統；時變時滯；保性能控制

中圖分類號：TU352.2；TU973.2 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0020-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.003

引言

高柔結構的主動質量阻尼器AMD（activemassdamper）具有控制效果好、控制頻帶寬等優點，多用于控制該結構水平方向的動力響應。由于AMD控制系統存在著時滯效應，導致了系統性能的降低甚至失穩，限制了AMD控制系統的發展以及運用。

時滯主要來源于數據采集時滯、控制力計算時滯以及執行機構響應時滯等。其中，數據采集時滯較小，可不考慮其影響；對于控制力計算時滯，目前已有學者提出了考慮高階振型信息的低維控制器設計方法，該方法壓縮了計算量，降低了控制力計算時滯對系統的影響。實際AMD控制系統的執行機構響應時滯主要受控制器與結構間的相互作用CSI（control-structure interaction）的影響。在實際工程中，Stewart等對比分析了應用于風輪機的主動控制系統中考慮與不考慮CSI效應的影響，結果表明考慮CSI效應的控制系統控制效果更好。執行機構的靈敏度在很大程度上取決于驅動形式，本文所采用的電磁驅動AMD系統是最為常見的一種控制方式。除此之外，目前有關控制系統CSI效應影響側重于CSI效應對系統控制效果的影響。但在實際工程中，反饋信號的輸入頻率將對CSI效應造成影響，可通過分析尋求合適的控制電壓輸入頻率以減弱CSI效應的影響。同時，由于該輸入頻率時刻在變化，該部分時滯是時變性也是不可忽略的。

由于時變時滯的影響，LQR控制器往往不能保證閉環系統的穩定性及期望性能。因此需要對系統的時滯進行相應的補償。實際中，Xu等針對不確定時滯系統提出了非脆弱魯棒H_∞控制器設計方法。H_∞控制主要考慮了系統的魯棒穩定性，犧牲了系統的性能，而保性能控制算法GCC（guaranteed cost control）是一種將系統性能和魯棒性相結合的LQR控制器設計方法。為了成功地將GCC算法運用到高柔結構中，在對時滯系統進行保性能狀態反饋控制器的設計之前，需要求解Riccati矩陣方程的正定解，早期主要基于Riccati方程的方法，但這種方法需人為事先確定某些待定參數，然而當前依舊缺乏尋找這些參數的最優值的方法，這類人為確定參數的方法給控制系統帶來了很大的保守性，并且求解Riccati方程的方法多為迭代方法，其收斂性不能得到保證，而線性矩陣不等式LMI（Linear matrix inequality）方法可以克服求解Riccati方程困難的問題。因此，針對CSI效應產生的時變時滯，研究基于LMI的保性能狀態反饋時變時滯補償控制器設計方法更有實際意義。

綜上分析，本文先以4層鋼框架結構為分析對象，建立了該結構AMD系統的不計CSI效應、計低階CSI效應和同時計低、高階CSI效應時的數學模型，分析了控制電壓輸入頻率對CSI效應的影響。再針對時變時滯系統，提出了保性能時滯補償控制增益的設計方法，將該系統的增益求解問題表示為非線性矩陣不等式組，并通過變量替換法轉化為易求解的線性矩陣不等式組，再由LMI工具箱求解出最優解。最后通過與無時滯系統進行對比，驗證了保性能時滯補償增益的有效性。

1考慮CSI的AMD控制系統

AMD控制系統的流程可由圖1簡單描述。圖中，v為控制電壓（或電流）信號，u為控制力，w為外激勵荷載，H_uv為伺服電機控制電壓（或電流）到控制力的傳遞函數，H_yu為控制力到被控結構響應的傳遞函數，H_vy為反饋狀態到控制電壓（或電流）的傳遞函數?？刂破髋c結構間的相互作用是指AMD控制系統中控制器與結構間的相互動力影響即CSI效應，如圖1中虛線框表示。

若考慮外激勵作用，控制系統的力平衡方程為

將控制力與外激勵分開考慮，式（1）可寫成狀態方程為

目前以電磁驅動的AMD系統應用最為常見，驅動形式在很大程度上決定了執行機構的靈敏度。若控制系統的執行機構反應足夠靈敏，則可在該周期內完成最優控制力的施加，即系統的執行機構響應時滯較小。然而在實際工程中，執行機構響應滯后致使最優控制力施加滯后，可見CSI效應其實是表現為控制系統的控制時滯。

以常用于土木結構控制領域中的永磁直流（DC）旋轉電動機為例，如圖2所示。該類型電機的具體參數參考了文獻，對應的輸入輸出關系可由下式表示

系統驅動力為

從式（6）可看出，控制力受到了結構頂層相對速度的影響，說明由于CSI的影響，使得結構與AMD控制系統的性能是結合在一起的。而且，式（6）還包含了控制力的高階項。因此根據不同精度解的要求，以某一單自由度AMD控制系統為例，其參數如表1所示，針對上述伺服電機參數建立了該系統不計CSI效應、計低階CSI效應和同時計低、高階CSI效應三類不同情況的數學模型，如圖3所示。當不考慮CSI效應，系統的控制力與電壓間成線性關系，即僅考慮圖3中的（a）項，此時系統為理想系統；當AMD控制系統的驅動力變化率為零，即不考慮圖3中的（c）項時，此時系統僅考慮了低階CSI效應；當系統驅動力變化率不為零，即同時考慮圖3中的（a），（b）和（c）項，此時系統考慮了低、高階CSI效應。

1.1不計CSI效應

不計CSI效應時，系統的控制力與控制電壓間的關系為

系統的狀態方程為

系統的輸出方程為

在Matlab軟件Simulink仿真工具箱的環境下，根據式（11）和（12），建立了不計CSI效應的數學模型。從式（12）可得，系統的輸出包括了位移、速度、加速度及控制力。此時，再利用命令“Bode”函數繪制出控制電壓到控制力的傳遞函數，其中輸入為控制電壓、輸出為控制力，其幅值及相角如圖4所示。司以看出：（1）傳遞函數的幅值為一常數，即輸出（控制力）與輸入（控制電壓）成線性關系；（2）傳遞函數的相角差恒為零，即控制力與控制電壓保持同相位，說明此時控制電壓到控制力的轉化過程無時間滯后。

1.2計低階CSI效應

僅考慮低階CSI效應時，伺服電機的輸入輸出關系為

同理，根據式（14）和（15），建立了僅計低階CSI效應的數學模型。此時，其控制電壓到控制力的傳遞函數的幅值及相角如圖5所示?？梢钥闯觯海?）隨著控制電壓輸入頻率的增大，傳遞函數的幅值逐漸增大，而相角差逐漸增大（相角差為負值表明控制力滯后于控制電壓），最后均趨近于零，說明輸入電壓到輸出控制力的轉換時滯隨控制電壓輸入頻率的增大而逐漸減小，而幅值逐漸增大；（2）計及低階CSI效應時，控制力與控制電壓間的關系受控制電壓輸入頻率的影響，而不再保持線性關系。

1.3同時計低、高階CSI效應

同時計低、高階CSI效應的控制系統，伺服電機的輸入輸出關系為

系統的狀態方程為

最后，根據式（17）和（18）建立了同時計低、高階CSI效應的數學模型。此時，其控制電壓到控制力的傳遞函數的幅值及相角如圖6所示?？梢钥闯觯海?）隨著控制電壓輸入頻率的增大，傳遞函數的幅值和相角差均先增大后減小；（2）當控制電壓輸入頻率過大或過小時，其到控制力傳遞函數幅值及相角差較小，說明此時單位控制電壓對應的控制力較小，且時間滯后較大。

綜合圖4～6可知：（1）理想情況下AMD控制系統的輸入到輸出傳遞函數的幅值最大，即單位控制電壓產生的控制力最大，而相角差相比最小，即控制力滯后于控制電壓的時間最短。因此，不計CSI效應的伺服電機性能相比最好，計及低階CSI效應時次之，而計及高階CSI效應時最差；（2）外激勵（包括控制力）的頻率過大或過小時，傳遞函數幅值及相角（負值）較小，則單位電壓產生的控制力較小，且控制力滯后于控制電壓的時間較長，即控制系統的時滯較大；若適當減?。ɑ蛟龃螅┛刂屏敵鲱l率使得其位于幅頻曲線和相頻曲線的峰值附近，則單位控制電壓可轉換成較大的控制力且控制系統附加時滯會較??；（3）外界激勵對AMD控制系統影響，也可歸結為對控制電壓到控制力傳遞函數的幅值（影響控制力大小，與控制增益對應）或相角（影響控制力相位，與控制時滯對應）的影響。因為AMD控制系統持續對被控結構施加控制力，系統受外界的影響可主要是對傳遞函數相角的影響。

2實驗系統的時滯范圍確定

由圖4～6可知，當控制力的頻率一定，則控制輸入到輸出的相角差一定，即控制輸出滯后于輸入的延時一定；而當控制力（包括外激勵）的頻率時刻變化時，系統的時滯將時刻變化。以El Centro波（SN向）為例，其調幅后的時程曲線及其經FFT變換之后的付氏譜特性曲線如圖7所示，此時地震波作用下不計CSI效應、計低階CSI效應和同時計低、高階CSI效應的系統控制電壓與控制力歸一化后的對比情況如圖8所示。可知，在El Centro波作用下，不計CSI效應及計低階CSI效應時控制力與控制電壓基本同步，而同時計低、高階CSI效應時系統控制力滯后于控制電壓較多，此種情況與實際工程最為接近，故實際中控制力滯后于控制電壓一個時變時滯。

上述伺服電機控制系統控制力滯后于控制電壓的時滯隨時間變化曲線及其變化率曲線如圖9所示?？梢钥闯觯海?）El Centro波作用下，上述伺服控制系統控制力滯后于控制電壓的時間變化較大，其最大時滯為0.11s；（2）地震作用結束后，控制力滯后于控制電壓的時間保持常數（0.11s）且達到最大。這是由于此時外激勵頻率（或反饋信號頻率，即控制電壓輸入頻率）為0，相角差最大，則控制系統的時滯最大。

3保性能時滯補償控制器設計

3.1保性能時滯補償增益設計原理

由于頻率不一的外激勵作用下，同時計低、高階CSI效應時伺服電機的輸入（控制電壓）到輸出（控制力）存在著較大的時變時滯。因此，進行保性能時滯補償控制增益的設計尤為必要。

受時滯影響的系統控制力為（19）式中G為控制系統的保性能時滯補償增益，d（t）為控制系統的時滯。

將式（19）代入式（2），若不考慮外激勵作用，則系統狀態方程為

在外激勵及控制力作用下，考慮時滯影響的閉環系統可表示為

（27）則系統（25）是漸近穩定的。由式（27）可得

對式（29）兩邊進行積分，可求得時滯閉環系統的性能指標滿足

3.2實驗結果分析

針對文獻[8]所述的實驗系統，基于3.1節為理論基礎設計該實驗系統的最優狀態反饋保性能時滯補償控制器，并通過延遲輸出控制力引人大小為0～0.5s的隨機時滯。本文重點關注AMD裝置所在結構樓層（第4層）的控制效果以及AMD行程的大小。為了能夠選取到合適的權系數，本文先設計了該實驗系統的LQR經典最優控制器，再通過對該結構各樓層的控制效果以及AMD控制參數進行數值分析，最終確定了權矩陣中第4層位移項、AMD慣性質量塊位移項以及經濟指標所對應的加權系數Q₄，Q₅和R的取值，分別為6×10⁵，3×10²和1×10^-3，其余各層的加權系數均設為零。在加載頻率為1Hz，峰值為45.89N的正弦激勵荷載作用下，無控、無時滯系統和有時滯且Gcc補償系統的結構第4層位移、加速度響應對比情況如圖10，11所示，對應的結構響應、控制效果以及AMD性能指標如表2所示。表2中的每一工況的實驗取時為300s，圖10，11中都僅給出時間為30s的數據。

從圖10，11及表2可以看出：（1）當不考慮時滯效應時，本文設計的最優狀態反饋保性能控制器能有效地控制結構響應；（2）當考慮時滯效應時，該控制器還可對時變時滯進行補償，保性能控制器依然有效，結構位移、加速度控制效果較無時滯系統而言，分別僅變化了4.15%，-5.58%；因此，運用保性能控制方法對AMD控制系統中含有較大時變時滯的工況時，依然能夠將結構響應控制在較理想的范圍內。

4結論

本文基于伺服電機輸入輸出關系建立了4層鋼框架AMD控制系統3種不同類型的CSI效應的數學模型，明確了CSI效應對控制系統的影響主要表現為造成了系統時滯的時變性，進而分析了該時變時滯的范圍，最后設計了相應的保性能時變時滯補償控制器。得出主要結論如下：

（1）當AMD控制系統不考慮CSI效應時，控制電壓到控制力傳遞函數的幅值為定值，而其相角為零，控制系統的附加時滯為零。

（2）當AMD控制系統考慮CSI效應時，可通過適當調節控制電壓輸入頻率（控制力輸出頻率），使得其位于幅頻曲線和相頻曲線的峰值附近，此時傳遞函數的幅值最大而相角最小，即單位控制電壓可轉換成較大的控制力且控制系統的附加時滯會較小。

（3）AMD控制系統的CSI效應其實質為控制力滯后于控制電壓的時間。在頻率不一的外激勵如地震荷載的作用下，該時滯為某一時刻變化的量，因此實際AMD控制系統為時變時滯控制系統。

（4）當系統考慮時變時滯時，最優狀態反饋保性能控制器能明顯減輕結構的風振響應，且與無時滯系統相比，兩者的控制效果、AMD控制力及其行程輸出基本相當。因此，本文設計的最優狀態反饋保性能時滯補償控制器能有效減小CSI效應的影響。