基于低圍壓土體的三軸試驗數據擬合及其軟件實現

董俊言，薛大文，毛明鋒，蔡足銘

(浙江海洋大學港航與交通運輸工程學院，浙江舟山 316022)

巖土工程中，巖土的三軸試驗是是研究巖土體材料破壞規律的基礎實驗，其主要是通過擬合求解三軸試驗應力摩爾圓包絡線以獲取土樣的粘聚力c和內摩擦角φ。低圍壓情況下(σ3＜10 MPa)，巖土體破壞的摩爾庫倫線性模型是在實際應用中最為常用的模型[1]。作為低圍壓土體的典型代表，軟土在我國分布廣泛，沿海、內陸湖盆、洼地及河流兩岸地域隨處可見，如長江、珠江三角洲地帶，黃淮沖擊平原，洞庭湖、洪澤湖等內陸湖盆等均富含軟土分布。隨著我國社會經濟發展，人們與海洋軟土資源的接觸日益頻繁。因此，對包含海洋軟土在內的低圍壓土體的三軸試驗數據處理具有及其重要的現實意義。

在常用的巖土三軸試驗數據處理中，通常做法是，對同一種巖土樣的多個試件分別在不同的周圍壓力σ3下進行試驗[2]。土樣在周圍壓力σ3的作用下，通過增大軸向壓力σ1，直至破壞。通過該方式可以做出一個摩爾圓。在此基礎上，改變圍壓σ3，重復上一步驟，得到多個應力摩爾圓。此后通過求解這些應力圓的公切線，根據包絡線的截距和斜率，以此獲得該土樣粘聚力c和內摩擦角φ的數值。

目前來說，已有眾多學者研究了對三軸試驗摩爾圓的不同的處理方法。鄒宗興等[3]采用先對相鄰的應力摩爾圓求得c、φ值，然后再通過求均值來獲得土樣的抗剪強度參數。該方法計算較為簡單，但其結果較為粗糙，精度較低，誤差較大。《水利水電巖石試驗規程》[4]中的做法是，對同組的試驗中的σ1、σ3作最小二乘線性擬合，在直線上等間距取5～6組σ＇1、σ＇3，再做摩爾圓，最后再做這些圓的公切線得到c、φ值。該方法精度較文獻[3]的方法高，但操作復雜，計算繁瑣。王星輝[5]采用三軸強度指標回歸的方法，求出每兩圓公切線的切點，然后擬合所有的切點作求得參數c、φ值。此外，還有楊同等[6]、王艷芳等[7]、吳力平等[8]、李馳等[9]均提出了各自不同的方案對三軸試驗數據處理。總體來說，此類方法都操作可行，但對試驗數據的可靠性論證稍顯不足。馬惠彪等[10]、田兆陽等[11]、孫紅等[12]、陳超斌等[13]均對海洋軟土進行過三軸試驗研究，但他們并未提出對三軸試驗數據編程擬合及其軟件實現。

綜上所述，本文基于最小二乘法對低圍壓土體的三軸試驗數據進行線性擬合，并對擬合程序進行軟件實現。文章重點對低圍壓土體摩爾圓包絡線的線性擬合進行詳細的公式推導，采用牛頓迭代求解擬合過程中出現的非線性方程組以此獲得抗剪強度參數粘聚力和內摩擦角。在此基礎上，通過MFC類庫搭建用戶界面，將以上計算方法實現軟件化，以此替代手工圖解或計算機交互圖解，促進并指導相應專業和領域中的應用。

1 線性擬合方法詳解

1.1 圖表法

如圖1所示，圖中摩爾圓代表了受力物體內某一點的應力情況，其中，橫坐標的數值為正應力值，而縱坐標的數值為剪應力值。經過截面上的正應力值和剪應力值可以由摩爾圓圓周上所對應的坐標來表示。由于摩爾圓的圓周有無數點，其代表了無數個土樣不同斜度的截面上的應力值，那么整個圓就代表了一個應力狀態。半徑長度代表了最大剪應力，而圓心到坐標原點的距離則代表了平均應力，差應力（σ3-σ1）的值為圓的直徑。通過手工繪制在圖上，觀察摩爾圓的大小和距坐標原點的遠近，則可以大致了解其應力狀態。由圖像分析得出，粘聚力與軸向破壞應力大致成正比關系。該方法清晰易懂，但操作繁瑣，耗時較長，對三軸試驗數值的求解精確度低，因而逐步形成以計算機求解為主的擬合方法（圖中摩爾圓第2個角標表示為摩爾圓的序數）。

圖1 摩爾應力圓線性擬合圖表法Fig.1 Graphical method for linear fitting of Mohr stress cycles

1.2 算法推導

本文通過最小二乘法對摩爾圓包絡線線性擬合，采用牛頓迭代求解擬合過程中出現的非線性方程組從而獲得較為精確數值。具體計算思路和算法推導如下：

定義σ1和σ3為巖土正應力，假設擬合直線為（k為斜率，c為截距）：

為了求出上式極小值，分別對c和k求偏導得到：

為計算簡便，令

式子中的σoi為對k求偏導的表示式子，由于上述對偏導的求解過程中出現非線性項，采用牛頓迭代的方法對該方程組迭代求解，以求得近似的土樣粘聚力c和內摩擦角φ的數值。牛頓迭代法[14]具體如下：

設z=f(x,y)在點的(x0,y0)某一鄰域內連續且直到2階的連續偏導數，(x0+k，y0+k)為此鄰域內任一點，則有：

則方程可表示為z=0可近似表示為：

同理z=g(x，y)可得到如下方程式：

方程z=g(x，y)=0可表示為

由此得到了一組方程組

求解出如下的方程組為：

記符號為：

求得的迭代公式為：

2 軟件實現及簡介

對上述算法在計算機中通過編寫C++程序，程序主要分為兩部分(主函數和子函數)。主函數部分主要包括三軸試驗數據輸入，摩爾圓及擬合直線輸出。子函數部分包含牛頓迭代法的循環迭代過程。主函數通過調用子函數處理所輸入的三軸試驗大、小主應力數據，從而求得土樣的抗剪強度指標，即粘聚力和內摩擦角。在此基礎上，再通過MFC類庫搭建用戶界面，將以上計算方法實現軟件化。本程序軟件界面及運行的效果如圖2所示。圖中窗口左邊為主應力輸入框，目前最多可分別輸入大、小主應力各6組的數據。右邊上半部的靜態文本框用于輸出結果，分別輸出擬合直線的斜率、內摩擦角（弧度和角度）以及粘聚力（單位為kPa）。右邊下半部分的圖框用于顯示摩爾應力圓以及所擬合的直線，通過該圖框圖像顯示擬合的過程與結果。

本軟件程序除了能實現各摩爾圓的線性擬合之外，還能檢驗三軸試驗數據的可靠性。如圖2b和2c所示為 3 組主應力值和 4 組主應力值測試結果，主應力值分別為(20.5，10.45)，(50.65，30.98)，(90.15，60.63)和(20，10)，(50，30)，(86，53)，(62，38)。通過圖中的圖像擬合結果看出，各摩爾圓與擬合直線相切程度較高，表明這2組三軸試驗數據可靠性較高，真實有效。反觀圖2d中，對于該五組數值擬合結果，有部分摩爾圓與擬合直線相切程度不高，這是由于程序算法的本質正是為了使擬合直線與所有圓的相切程度最高所致。從圖中可以看出，其中第五組數據（77，43）較其余4組數據可靠性低，誤差較大，系測量粗大誤差，在試驗數據處理時應剔除。

圖2 摩爾圓線性擬合軟件運行效果圖Fig.2 Results of the linear fitting of Mohr circles with the s software

3 實例驗證

3.1 實例1

淮河入江水道軟土數據見表1。

表1 淮河入江水道的軟土數據[15]Tab.1 Data of soft soil in Huaihe River

根據軟件擬合結果(圖3)，得到該軟土的粘聚力c為6.370 6 KPa，內摩擦角φ為12.261 6°，實驗測得的總應力抗剪強度指標c為6.4 KPa，內摩擦角φ為12.3°。軟件擬合數值相對誤差分別為0.45%和0.31%。

3.2 實例2

天津港某軟黏土三軸試驗數據見表2。

圖3 淮河入江水道的軟土擬合結果Fig.3 Fitting results of soft soil in Huaihe River

表2 某軟黏土土樣最大及最小主應力[8]Tab.2 Maximum and minimum principal stress

軟件擬合結果(圖4)顯示該軟黏土的粘聚力c為10.704 KPa，內摩擦角φ為19.513°，實驗測得的總應力抗剪強度指標c為11.1 KPa，內摩擦角φ為20.1°。軟件擬合數值相對誤差分別為3.56%和2.92%。

3.3 實例3

某泥質砂巖三軸試驗數據見表3。

軟件擬合結果(圖5)顯示該軟黏土的粘聚力c為47.570 KPa，內摩擦角φ為25.956°，實驗測得的總應力抗剪強度指標c為45.33 KPa，內摩擦角φ為26.9°。軟件擬合數值相對誤差分別為4.94%和3.51%。

圖4 軟件擬合效果圖Fig.4 The fitting results of the software

圖5 軟件擬合效果圖Fig.5 The fitting results of the software

表3 泥質砂巖數據[2]Tab.3 Data of argillaceous sandstone

4 結論

低圍壓條件下的河口、海洋軟土通常均符合摩爾庫倫準則，此時土體軸向破壞應力與圍壓呈線性關系。為了對該類土體獲得較準確的抗剪強度指標，本文對三軸試驗數據進行最小二乘擬合，通過C++程序對摩爾應力圓線性擬合進行程序編寫，采用牛頓迭代法處理非線性方程組，并通過MFC類庫搭建用戶界面將程序過程軟件實現。最后對不同河域、海域軟土試驗數據進行實例驗證，以對比驗證軟件的準確度和精確性。本文總體結論如下：

(1)本文軟件程序除了能實現對摩爾應力圓的線性擬合外，還能檢驗三軸試驗數據的可靠性，可為實驗數據處理中判別測量誤差，刪選有效實驗數據提供幫助。

(2)本文采用的計算方法精度高，迭代時間短，收斂速度快。通過實例對比驗證，軟件擬合數值相對誤差在5%以下。

(3)本軟件界面清晰，操作簡單，使用方便。與傳統的人工擬合方法或計算機交互圖解方法相比，本軟件程序優勢明顯。本軟件廣泛適用于各低圍壓軟土土體，可直接促進并指導相應專業和領域中的應用。