降水量空間插值方法在小樣本區(qū)域的比較研究

解恒燕, 張深遠, 侯善策, 鄭 鑫

(黑龍江八一農(nóng)墾大學 工程學院, 黑龍江 大慶 163319)

目前，氣候及環(huán)境的變化嚴重影響了區(qū)域降水分布規(guī)律，導致了區(qū)域性旱災(zāi)澇災(zāi)頻繁發(fā)生[1-2]，因此，掌握多年的區(qū)域降水分布規(guī)律具有重要意義。如潘旸等將最優(yōu)插值方法對地面觀測與衛(wèi)星反演降水二者進行融合，開發(fā)出一套高時空分辨率和高精度的降水分析產(chǎn)品，預測降水分布規(guī)律[3]。通常研究降水分布規(guī)律需要多年且可靠的降水量數(shù)據(jù)為依據(jù)，同時降水量數(shù)據(jù)是水資源管理與分析、水文模型應(yīng)用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)[4-5]。降水量數(shù)據(jù)通過氣象觀測點獲得，但對無氣象觀測點、無降水量數(shù)據(jù)或有氣象觀測點缺失降水量數(shù)據(jù)的情況，需要對降水量數(shù)據(jù)進行估值。關(guān)于降水量數(shù)據(jù)估值研究比較多，如熊敏詮應(yīng)用Delaunay三角剖分法對降水量進行估值，對比分析了三角分片線性插值和反距離權(quán)重法的估值準確率[6]。插值方法是解決降水量數(shù)據(jù)缺失問題常用方式之一。

空間插值方法是采用區(qū)域內(nèi)已知觀測數(shù)據(jù)來獲取未知數(shù)據(jù)。李莎等利用時空克里金插值方法對黑龍江省月均氣溫進行估計，證明時空克里金法效果最好[7]。金君使用多種插值方法，采用187個氣象站49 a氣溫及降水量的年平均值進行空間插值，插值結(jié)果表明，梯度距離平方反比法對年平均氣溫值的插值精度最高[8]。林金煌等基于ArcGIS 10.1平臺，采用了3種常用插值方法對福建省降水量進行空間插值[9]。李麗雙等應(yīng)用多種空間插值方法對東北地區(qū)年降水量和月平均氣溫等氣象要素進行了插值[10]。眾多學者在使用降水量空間插值方法進行研究時，通常選擇觀測點數(shù)量較多的研究區(qū)域，而對于氣象觀測點少的小樣本區(qū)域，相關(guān)研究成果較少，降水量空間插值方法的適用性未見系統(tǒng)報道。

對于某個已知的特定區(qū)域，樣本數(shù)量的多少，決定這個區(qū)域?qū)儆凇按髽颖尽眳^(qū)域還是“小樣本”區(qū)域。本文研究在不考慮其他影響因素的前提下，當樣本數(shù)量逐漸減少時，某一特定區(qū)域從“大樣本”區(qū)域變?yōu)椤靶颖尽眳^(qū)域過程中，不同降水量空間插值方法的適用性。假設(shè)某個觀測點實測數(shù)據(jù)未知，利用其他觀測點實測數(shù)據(jù)計算出該點插值結(jié)果，然后將該觀測點插值結(jié)果與實測數(shù)據(jù)進行比較，分析插值方法的精度。本文選取美國伊利諾伊州Upper Sangamon流域9個氣象站點2002—2007年的72個月降水量數(shù)據(jù)，分別采用普通克里金法、反距離權(quán)重法、樣條函數(shù)法、趨勢面法進行插值及分析。為模擬小樣本區(qū)域，通過減少已知觀測點數(shù)量，分析應(yīng)用不同插值方法時，觀測點數(shù)量對插值精度的影響。

1　資料與方法

1.1　Upper Sangamon流域概況

Upper Sangamon流域位于美國中西部地區(qū)，地理位置位于北緯39.8°—40.5°，西經(jīng)88.1°—89.5°，屬于平原地區(qū)，地勢平緩，降水量受地形因素影響較弱，緯度接近我國黃河以北地區(qū)，該流域降水量分析及結(jié)論對我國部分流域具有一定參考價值。Upper Sangamon流域氣象觀測點分布見圖1。由圖1可見，該流域氣象觀測點分布較合理，因此可以對該流域氣象站點降水量觀測數(shù)據(jù)進行定量分析。本文數(shù)據(jù)來源于美國國家氣候數(shù)據(jù)中心(National Climatic Data Center，NCDC)官網(wǎng)，其觀測數(shù)據(jù)為NCDC官網(wǎng)提供的2002—2007年Upper Sangamon流域9個氣象站點的日實測降水量,累計求和，計算得到月降水量。經(jīng)統(tǒng)計分析，利用顯著性水平α=0.05的χ2擬合優(yōu)度檢驗了降水量分布情況，該流域月降水量符合極值Ⅰ型分布[ 11-13]。

圖1UpperSangamon流域高程及氣象站點分布

1.2　空間插值方法

1.2.1普通克里金法普通克里金法以區(qū)域變化量理論為基礎(chǔ)，利用半變異函數(shù)得到最佳權(quán)重系數(shù)，進而求得最優(yōu)估計值[14]。該方法的優(yōu)點是考慮了樣本點在空間結(jié)構(gòu)中隨機分布的特點。估計值的精度取決于權(quán)重系數(shù)的選擇，最佳權(quán)重系數(shù)取決于變異函數(shù)模型的選擇，本文利用該方法時選擇了球形函數(shù)模型。普通克里金法計算公式為：

(1)

式中：Z(x0)為待估點x0的待估值；n為樣本點的數(shù)量；λi為權(quán)重系數(shù)，判斷已知點數(shù)據(jù)Z(xi)對待估點數(shù)據(jù)的貢獻；x為數(shù)據(jù)已知點的位置；x0為待估點的位置。

1.2.2反距離權(quán)重法反距離權(quán)重法是將數(shù)據(jù)已知點與待估點的距離進行加權(quán)平均，得到待估點的估計值[15]。該方法根據(jù)相近相似的原理，當空間中兩個點位置距離越遠，它們的空間差異性就越大；反之，距離越近則空間差異性越小[16-17]。反距離權(quán)重法計算公式與式(1)相同，該方法與普通克里金法主要區(qū)別是權(quán)重系數(shù)求解過程不同，采用點間距離倒數(shù)反比法求得，其權(quán)重系數(shù)計算公式為：

(2)

式中：p為指數(shù)值，一般為2；di為待估點到第i點距離。

1.2.3樣條函數(shù)法樣條函數(shù)法是通過多項式擬合樣本點數(shù)據(jù)來產(chǎn)生平滑插值曲線的插值方法。該方法的優(yōu)點是保留了局部地形的細部特征，獲得連續(xù)光滑的擬合曲面，具有較好的保凸性、逼真性和平滑性[18]。本文采用基于ArcGIS的規(guī)則樣條函數(shù)法進行插值，該方法計算公式為：

(3)

式中：Z為待估點的估計值；n為樣本點數(shù)量；λi為線性方程組求解確定的系數(shù)；di為待估點到第i點距離；x、y分別為平面直角坐標系中橫、縱坐標數(shù)值；R(di)是以di為自變量的方程式；T(x,y)是以x、y為自變量線性方程組；R(di)與T(x,y)的公式見參考文獻[19]。

1.2.4趨勢面法趨勢面法是采用多項式回歸方法得到適合地理要素空間分布規(guī)律的曲面平滑程度，再根據(jù)該曲面方程計算待估點的屬性值[20-22]。趨勢面法的計算公式為：

(4)

式中：Z(x,y)為待估點的估計值；n0為多項式階數(shù)；ε為趨勢面和真實面存在一個隨機誤差；ak,j為觀測點的觀測值確定系數(shù)；x、y分別為平面直角坐標系中橫、縱坐標數(shù)值。

1.3　插值精度評價方法

插值精度主要評價指標是平均相對誤差(Mean Relative Error，MRE)[23-24]。平均相對誤差反映誤差絕對值相對于觀測數(shù)據(jù)的大小，其計算公式如式(5)所示，該指標數(shù)值越小插值精度越高。

(5)

式中：Yi為插值結(jié)果；Xi為觀測數(shù)據(jù)；n為估計點個數(shù)。

2　插值結(jié)果與分析

對Upper Sangamon流域的內(nèi)插點及外推點兩類站點進行插值。當待估點位于已知觀測點的區(qū)域內(nèi)時，該估算過程稱為內(nèi)插，待估點為內(nèi)插點；當待估點位于已知觀測點的區(qū)域外時，該估算過程稱為外推，待估點為外推點。根據(jù)這一定義，Upper Sangamon流域內(nèi)區(qū)域中間的CISCO(CIS)、DECATUR AIRPORT(DEC-A)、MONTICELLO RIVER(MON-R)、MAHOMET(MAH)、FISHER(FIS)站點為內(nèi)插點，區(qū)域邊緣的GIBSON CITY(GIB-C)、RANTAOUL(RAN)、DECATUR WTP(DEC-W)、BUFFALO(BUF)站點為外推點。

2.1　不同插值方法降水量插值精度比較分析

分別應(yīng)用反距離權(quán)重法、普通克里金法、樣條函數(shù)法及趨勢面法4種空間插值方法，對Upper Sangamon流域中9個站點的降水量數(shù)據(jù)分別進行了插值，平均相對誤差見圖2。橫坐標中前5個站點為內(nèi)插點，后4個站點為外推點。

圖2　降水量估計值平均相對誤差

由圖2可知，5個內(nèi)插點中，CISCO，DECATUR AIRPORT站點反距離權(quán)重法得到平均相對誤差小于其他3種插值方法，MAHOMET，F(xiàn)ISHER站點趨勢面法得到平均相對誤差小于其他3種插值方法，MONTICELLO RIVER站點反距離權(quán)重法與普通克里金法得到平均相對誤差基本一致，并優(yōu)于其他兩種插值方法。4個外推點中，RANTAOUL，DECATUR WTP，BUFFALO站點反距離權(quán)重法得到平均相對誤差小于其他3種插值方法，GIBSON CITY站點趨勢面法得到平均相對誤差小于其他3種插值方法，但與反距離權(quán)重法得到平均相對誤差非常接近。因此，對于小樣本區(qū)域，4種降水量空間插值方法中，反距離權(quán)重法插值精度明顯優(yōu)于其他3種空間插值方法。

2.2　不同觀測點數(shù)目的降水量插值精度比較分析

為研究觀測點數(shù)目對降水量空間插值精度的影響，以距待估點距離為依據(jù)，按照由遠及近的順序減少已知觀測點的數(shù)量，將已知觀測點個數(shù)分別定為8個、5個及3個。本文計算的最少觀測點個數(shù)是3，當區(qū)域樣本數(shù)量低于3時，插值方法意義不大。分別計算9個站點在3種不同觀測點數(shù)目情況下，應(yīng)用反距離權(quán)重法進行降水量插值計算，平均相對誤差見圖3。

圖3　降水量估計值平均相對誤差(反距離權(quán)重法)

由圖3可知，5個內(nèi)插點中，CISCO，DECATUR AIRPORT，MONTICELLO RIVER，F(xiàn)ISHER站點在3種情況下得到平均相對誤差很接近，在MAHOMET站點8個觀測點情況下得到平均相對誤差小于其他兩種情況，但三者相差不大。4個外推點中，GIBSON CITY，RANTAOUL站點在3個觀測點情況下得到平均相對誤差均小于5個、8個觀測點情況，DECATUR WTP站點在5個觀測點情況下得到平均相對誤差小于3個、8個觀測點情況，但三者得到平均相對誤差很接近，BUFFALO站點在8個觀測點情況下得到平均相對誤差小于3個、5個觀測點情況，但三者得到平均相對誤差均小于0.5。因此，利用3個觀測點對外推點進行插值能夠滿足實際需要的。觀測點數(shù)量對反距離權(quán)重法插值結(jié)果影響不大。

應(yīng)用普通克里金法進行降水量插值計算，平均相對誤差見圖4。

圖4　降水量估計值平均相對誤差(普通克里金法)

通過比較圖3，圖4可知，CISCO，MONTICELLO RIVER，MAHOMET站點兩圖在8個觀測點得到平均相對誤差較低，GIBSON CITY，RANTAOUL站點在3個觀測點得到平均相對誤差較低，F(xiàn)ISHER，DECATUR WTP站點在5個觀測點得到平均相對誤差較低，DECATUR AIRPORT，BUFFALO站點得到較低平均相對誤差的觀測點數(shù)目不一致，但三者得到平均相對誤差都接近0.5或者低于0.5。圖中折線變化趨勢有著相似特征，兩種方法對9個站點降水量插值結(jié)果的變化趨勢比較接近。

應(yīng)用樣條函數(shù)法、趨勢面法進行降水量插值計算，兩種方法的平均相對誤差分別見圖5，圖6。

圖5　降水量估計值平均相對誤差(樣條函數(shù)法)

圖6　降水量估計值平均相對誤差(趨勢面法)

將圖3、圖4與圖5、圖6進行比較可知，觀測點數(shù)目變化時，圖5、圖6中三者之間的平均相對誤差之差變化范圍大約0.1～0.3，平均相對誤差變化幅度較大，而圖3中三者之間的平均相對誤差之差變化范圍小于或接近0.05，圖4中三者之間的平均相對誤差之差變化范圍小于或接近0.1，平均相對誤差變化幅度較小。因此，觀測點數(shù)量對樣條函數(shù)法與趨勢面法影響高于其他兩種方法，而普通克里金法受影響程度又大于反距離權(quán)重法。

3　討 論

本文針對觀測點數(shù)量較少的小樣本區(qū)域進行研究，僅考慮了站點間距離的因素。反距離權(quán)重法模型建立主要參數(shù)為距離，而本文研究中選擇觀測點考慮的參數(shù)與反距離權(quán)重法模型建立參數(shù)是相同的，使該方法在每一個觀測點插值結(jié)果較為理想，而觀測點數(shù)量變化對其影響也不大。如果選擇觀測點考慮的參數(shù)與其他3種空間插值方法模型建立主要參數(shù)相接近，或者選擇觀測點方式考慮到了空間插值方法模型建立核心概念，那么其他3種空間插值方法是否可以通過較少的觀測點數(shù)量得到較優(yōu)的插值結(jié)果，即受觀測點數(shù)量變化影響也會較小，這些問題需要進一步研究探討。同時，應(yīng)用空間插值方法對降水量數(shù)據(jù)插值，如何在已知觀測點數(shù)量少且排除影響降水量因素(如經(jīng)緯度、風向、高程、地形以及大氣環(huán)境)的情況下，使降水量數(shù)據(jù)插值結(jié)果更優(yōu)，仍需要不斷地探索與研究。

4　結(jié) 論

(1) 待估點位置不同影響著空間插值方法的插值精度。在外推點上，反距離權(quán)重法插值精度明顯優(yōu)于其他3種空間插值方法；在內(nèi)插點上，反距離權(quán)重法較優(yōu)于其他3種空間插值方法。

(2) 空間插值方法插值精度隨著觀測點數(shù)量變化而變化，對于按照距待估點距離由遠及近減少觀測點的選點方法，反距離權(quán)重法插值精度較高，無論是外推點還是內(nèi)插點，反距離權(quán)重法受觀測點數(shù)量影響最小，其可利用3個觀測點就能夠得到滿足實際需要的數(shù)據(jù)。普通克里金法受觀測點數(shù)量影響程度次于反距離權(quán)重法，但兩種方法對9個站點降水量插值結(jié)果的變化趨勢比較接近。樣條函數(shù)法與趨勢面法受觀測點數(shù)量影響較為嚴重。

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