從草稿紙中發現的數學問題

張學兵　崔文碩

[摘 要] 本文作者從平時常用的草稿紙中發現了值得研究、思考的問題，所以我們平時要學會用數學之眼看生活，要用學到的知識解決生活中的問題，從我們周圍熟悉的事物中學習數學和理解數學，體會數學就在我們身邊.

[關鍵詞] 草稿紙；數學問題；反思

在平時的學習中，我們要學會用數學之眼看生活，要用學到的知識解決生活中的問題，要從我們周圍熟悉的事物中學習數學和理解數學，體會數學就在我們身邊.

問題

如果將一沓草稿紙（如圖1）釘起來，當把用完的紙翻折到最后時，會出現一個因重疊而無法寫字的三角形區域. 那么為了節省資源，如何使三角形的面積最小？

猜想

當釘子是折痕中點時三角形的面積最小.

提煉

如圖2，∠A=90°，N在線段AC上，M在線段AB上，P在線段AM上（P不與點M重合），Q在線段NC上（Q不與N重合），O是MN與PQ的交點，且O是MN的中點.

求證：S

證明：作△PMO的高PH，△QNO的高QG.

因為∠A=90°，∠AMN>0°，∠QNO=∠A+∠AMN，

所以∠QNO>90°.

所以△QNO的高QG在△QNO外部.

所以點G在邊ON的延長線上.

所以OG>ON.

因為∠A=90°，∠AQP>0°，∠MPO=∠A+∠AQP，

所以∠MPO>90°.

所以△PMO的高PH在△PMO內部.

所以H在邊OM上.

所以OH

因為O是MN的中點，

所以OM=ON，

所以OH

因為PH是△PMO的高，QG是△QNO的高，

所以∠PHO=90°，∠QGO=90°.

所以∠PHO=∠QGO.

在△PHO和△QGO中，

因為∠PHO=∠QGO，

∠POH=∠QOG，

所以△PHO∽△QGO.

所以=.

所以PH

所以S

所以S+S

所以S

反思

作為上述問題的進一步思考，上述問題還有基于初中知識方法另外的優化解決方案嗎？當上文中無法寫字的三角形區域中的直角變為銳角或鈍角時，是否還有相同的結論？考慮到初高中銜接，你能用初中知識解決下列高中數學訓練中的兩個常見問題嗎？問題2有多種解法，其中哪種方法突出顯示了三角形面積取得最小值時的幾何意義？

問題1 如圖3，某矩形花壇ABCD長AB=3 m，寬AD=2 m，現將此花壇在原有基礎上拓展成三角形區域，AB，AD分別延長至E，F，并使E，C，F三點共線. 當AF的長度是多少時，△AEF的面積最?。?/p>

問題2 如圖4，過點P（3，2）的直線l交x軸正半軸和y軸正半軸于A，B兩點，求使△AOB面積最小時l的方程.