摘要：數學教學的最終目標是幫助學生發展與當代正活躍的數學家相一致的理解方式和思維方式。數學教學要注重引導學生經歷知識發現和問題解決的探究過程，學會數學的探究方法。以對一道平面幾何題的探究為例，說明一個數學探究的基本模型：從問題出發，尋求多種不同的解法或證明，拓展得到新的問題或結論，應用已有的結論解決新的問題。

關鍵詞：數學探究 基本模型 證明 拓展 應用

數學教學的最終目標是幫助學生發展與當代正活躍的數學家相一致的理解方式和思維方式。學生應該及早地像數學大師那樣追求和進行大量的創造性思考活動，而不應被學校里那種無休止的練習弄得頭腦僵化和貧乏。在數學的領域里重要的不是知道什么，而是怎樣知道。數學教學教學生怎樣思考比教學生思考什么更加重要。數學教學要注重引導學生經歷知識發現和問題解決的探究過程，學會數學的探究方法。

筆者曾撰文論述了數學探究的教育價值，并從學科底蘊方面說明了數學探究教學的必要性；還提出了數學教學中應加強問題的變式、引申與推廣，以培養學生的探索能力；并進一步指出，為了更好地培養學生發現和提出問題的能力，教師要主動地讓不同層次的學生都能以探索者的姿態出現，在探究中發現新穎而獨特的解決方案，通過問題解決帶來成功體驗，激勵學生“再發現”和“再創造”。

然而在教學實踐中，許多教師常常不知如何引導學生進行數學探究，迫切希望有一種模式或方法來有效指導如何組織數學探究活動。夏小剛曾撰文給出了三種提出數學問題的基本方法：（1）直接詢問初始條件法；（2）拓展初始條件法；（3）否定初始條件法。筆者也撰文給出過一個提出數學問題的模型（見圖1）。這些方法或模型無疑對一線數學教師指導學生提出數學問題或從事數學探究具有重要的參考價值。

這里筆者進一步給出一個數學探究的基本模型（見圖2），供教師參考。下面以對一道平面幾何題的探究為例進行說明。

一、問題

問題求證：等腰三角形底邊上任意一點與兩腰的距離之和等于一腰上的高。

數學語言表述

如圖3，在△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上一點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE=CF。

二、證明

數學家們在解決問題時總是喜歡努力去尋求問題的不同證法，尤其是新穎簡潔的證法。正如高斯所說：“絕對不能以為獲得一個證明后研究便告結束，或把另外的證明當作多余的奢侈品。有時候，一開始你沒有得到最簡和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明過程中才能深入到真理的奇妙聯想中去，這正是吸引我去繼續研究的主動力，并且最能使我們有所發現。”因此，尋求問題的不同解法尤其是新穎簡潔的解法，是數學研究的一種基本策略，也是數學探究的一種基本形式。以下給出上述問題的不同證法：

證法1如圖4，延長DP至M，使PM=PE，連接CM。

因為AB=AC，所以∠B=∠ACB。

又因為∠BPD+∠B=90°，∠CPE+∠ACB=90°，所以∠BPD=∠CPE。

又因為∠CPM=∠BPD，所以∠CPM=∠CPE。

又因為PM=PE，CP=CP，所以△CPM≌△CPE（SAS），所以∠M=∠PEC=90°。

所以四邊形CFDM為矩形，所以CF=DM=DP+PM=DP+PE。

證法2如圖5，過點F作BC的平行線，交PD于點G。

因為AB=AC，所以∠B=∠ACB。

又因為∠BPD+∠B=90°，∠CPE+∠ACB=90°，所以∠BPD=∠CPE。

五、總結

以上針對一道平面幾何題，尋求多種不同的證法，并進一步通過逆命題、變式問題和特殊化問題得到不同的拓展命題，再給出原命題的多種應用。這是數學探究的一種基本策略和路徑。許多數學家即使從事最前沿的數學研究，仍然會使用這種方法。學生學會了這樣探究數學問題，就學會了數學探究的方法，培養了數學創造的意識和能力，領悟到數學研究的精髓，體會到生動活潑的數學創造，從而形成較強的學習遷移和適應能力，做到“以不變應萬變”。

正如李大潛院士所指出的：“掌握了數學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。”這就要求教師平時有意識地對數學問題的由來、所用方法及創新之處進行歸納總結和深層次思考，注意發現不同問題之間隱含的聯系，以便學生學會發掘潛在的問題或方法，生長新思想和新知識。

也正如波利亞先生所指出的：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，使得學生通過一道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”這就要求教師平時盡可能多地發掘具有較強探究性的“好的”數學問題，展現探究性思維的完整過程，歸納總結數學探究的一般策略或路徑，激發和調動學生的探究意識和能力。

只有這樣去組織數學探究，才能把潛在于數學中的研究精神、發現精神提煉出來，并使之表面化，才有助于培養學生的創見性。