永磁同步電機的分數階建模方法

那景童 張旭秀

摘 要：將永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）整數階模型推廣到分數階，構造結構相同的分數階電機模型。針對整數階電機模型，基于遺傳算法設計最優PID控制器，將所設計最優PID控制器作用于分數階模型。通過調節分數階模型分數階次可得到電機調速系統的一簇階躍響應曲線，選取該簇曲線中動靜態特性相對最好的曲線所對應的分數階次作為永磁同步電機的分數階模型階次，從而構造出永磁同步電機的分數階模型。通過軟件仿真和結果分析可得本文所構造的分數階永磁同步電機模型具有更好的動靜態特性和描述效果。

關鍵詞：電機模型;分數階模型;最優PID;調速系統;動靜態特性中圖分類號：TP203

文獻標志碼：A

0 引 言

永磁同步電機因其高可靠性、高效率和快速動態響應等諸多優點被廣泛應用于機器人、醫療設備、汽車電子等領域[1-3]。在工業控制領域，大多數運動控制系統屬于多慣量系統，有研究發現在多慣量系統的建模中，其模型適當的階次往往不是整數，而是在兩個臨近的整數之[4，5]。同時研究表明，實際電容和電感具有分數階特性[6]，既然像電容和電感這類儲能元件屬于分數階的，那么包含電容、電感等儲能元件的電機應該也屬于分數階的，因此采用分數階微積分建立電機的數學模型能夠更加細膩的刻畫其動態行為，更為準確的描述其屬性特征[7]。

隨著對分數階微積分的不斷深入研究以及人們對于分數階的認識和接受，開始逐漸意識到整數階系統只是分數階系統的一個特例[8]。因此，基于該從屬關系可以得到一個事實，能夠采用整數階微積分描述的系統，分數階微積分肯定能夠描述，進一步研究發現，采用分數階微積分描述的一些系統特性，用整數階微積分來描述將會變得非常復雜或根本無法得到準確的整數階系統模型[9，10]。所以，本文將永磁同步電機的整數模型推廣到分數階模型，具有理論意義和實際應用價值，是未來發展的趨勢。

1 永磁同步電機數學模型

永磁同步電機的數學模型與普通同步電機的數學模型基本相同，其數學模型包括電機的電壓方程、轉矩方程和運動方程[11]，其具體建模過程可參考文獻[11]。這里給出本文所采用的永磁同步電機等效電路如圖1所示。

從圖4和圖5可以看出，將整數階積分環節和整數階慣性環節階次推廣到分數階次可以加快系統的響應速度、使得系統的上升時間更快。那么在相同控制器作用下，分數階模型應具有更好的控制效果。

2.3 永磁同步電機的分數階階次獲取

2.3.1 分數階階次獲取步驟說明

永磁同步電機分數階模型的分數階次ζ和θ選取步驟如下：

①保持最優PID控制器參數：Kp= 30.5145，

Ki=2 3.9175，Kd= 10.59值不變，采用永磁同步電機的分數階模型即式（3）代替整數階模型式（2），得到由PID控制器十分數階模型組成的控制系統。

②在仿真平臺，采用階躍信號測試該控制系統，通過調節ζ和θ值，得到一簇PID控制器十分數階模型的閉環速度單位階躍響應曲線

③選取動靜態特性相對最好的曲線所對應的ζ和θ值作為永磁同步電機的分數階模型分數階階次。

由于永磁同步電機的整數階模型階次為2，1，分數階模型階次應該在整數階模型附近[16]，才能不改變原電機模型的特性，那么本文將ζ和θ值得取值范圍定為[0.65，1.45]和[0.7，1.5]，相應地分數階模型的ζ+θ階次取值范圍為[1.35，2.95]，這樣就將分數階模型在原模型附近的階次都囊括在內，表2給出了本文分數階模型階次的具體取值情況。

2.3.2 分數階模型確定具體細節說明

如表2所示，這里列出25種ζ和θ值的組合情況，也就是說本文給出的永磁同步電機的分數階模型有25個，確定分數階模型的具體細節如下：

①將這25個分數階模型按行分成5組，每組固定ζ值不變，通過五列θ對應的不同取值，即每組可產生5個分數階模型。

②通過仿真繪制出每組最優器PID參數十分數階模型的閉環階躍響應曲線圖，那么可以得到5幅PID控制器十分數階模型的閉環階躍響應曲線圖，每幅圖中包含5條曲線，選擇每幅圖中最優的一條曲線所對應的階次作為永磁同步電機的分數階模型，便可得到五個最優分數階模型。

③最后將這五個分數階模型進行對比，選擇其中最優的一條作為最終永磁同步電機的分數階模型。這里最優曲線的評判標準為：每條曲線的上升時間、超調、調節時間和ITAE（Integral Time Av-erage Error）值其數學表達式為：

式（7）中，e（t）為輸入輸出誤差的絕對值;T為

控制系統輸出信號跟蹤上輸入信號時間，ITAE作為評判標準之一涉及快速性、準確性、穩定性能夠很好的評價控制系統的性能。

2.3.3 建立分數階模型仿真實例

舉例說明，下面圖6給出了表2第三行，即第三組ζ=1.05時，通過每列對應0的不同取值，所得五條PID控制器十分數階模型的閉環階躍響應曲線：

由圖6可得，曲線2對應的θ=0.9的ITAE值最小，同時考慮到上升時間、超調和調節時間相對較小符合系統控制要求，因此選取θ=0.9所對應的ζ和θ值作為永磁同步電機的分數階模型階次，即：

ζ = 1.05，θ=0.9。

按照同樣方法選取其余4組最優ζ和θ值，具體選取過程在這里不再贅述，下面給出其余四組中最優ζ和θ值，分別為：

（0.65，1.3），（0.85，1.3），（1.25，0.9），（1.45，0.7）

將這5條曲線對應的ζ和θ值代入式（3）中得到如下5個永磁同步電機的分數階模型，即：

圖7繪制出了PID控制器十分數階模型（式（8）一（12））的閉環階躍響應曲線，其中G_f1- G_f5是五條最優分數階模型。

為了進一步比較，表3列出了5條曲線的閉環速度單位階躍響應性能比較。

通過表3可得，最優五組曲線中，曲線2所對應的ITAE值最小，此時曲線2對應的ζ=0.85、θ= 1.3，因此得到最終本文所選取的永磁同步電機的分數階模型為：

2.4 最優的分數階模型與整數階模型比較

為了進一步驗證本文所選永磁同步電機的分數階模型存在意義，這里針對PID+電機分數階模型（9）和PID+整數階模型（2）進行閉環系統階躍信號測試，如圖8所示

從圖8可看出，在同種控制器作用下，分數階電機模型較傳統整數階模型，可提高整個控制系統的控制品質。

下面對本文所構造的分數階永磁同步電機模型和原整數階模型進行頻域特性對比和分析，圖9給出了式（3）和式（9）在控制器（5）作用下的開環頻率特性曲線。

圖9對比可看出，在同樣控制器作用下分數階電機模型與整數階模型幅值特性無明顯差異，而分數階模型具有更大的穩定裕量。因此可得，本文所提的分數階電機模型具有更好的頻域特性。

3 結束語

給出了一種永磁同步電機的分數階建模方法，將傳統整數階電機模型推廣到分數階次，基于整數階電機模型設計控制器，在同種控制器作用下分別對整數階電機模型和分數階電機模型進行仿真研究。仿真結果表明，分數階電機模型具有更好的控制性能，以及頻域特性，從而證明所給方法的有效性。

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