改進的小波域耦合偏微分方程圖像去噪模型

王俊 楊成龍

摘要：針對全變分及四階偏微分方程圖像去噪模型的不足，利用小波變換能夠聚焦到圖像細微變化的優勢，提出一種基于小波域的偏微分方程圖像去噪算法。并通過對小波的閾值和閾值函數做適當的改進以及利用加權函數將全變分和四階偏微分方程去噪模型相結合的方法，得到一種改進的小波域耦合偏微分方程圖像去噪模型。MATLAB仿真結果表明，該模型和小波軟閾值去噪、全變分模型以及四階偏微分方程圖像去噪模型相比，峰值信噪比有明顯的提高，而且能夠在很好地保留圖像的邊緣和細節信息的同時提高處理噪聲的效率。

關鍵詞：圖像去噪;小波變換;偏微分方程;閾值函數;MATLAB

中圖分類號：TN911.73

文獻標志碼：A

0 引言

圖像在形成、獲取和傳輸等過程中常常會受到噪聲的干擾。噪聲的存在不僅會影響圖像的視覺效果，而且會對圖像的后續處理工作帶來一定困難，如圖像壓縮、邊緣檢測以及圖像融合等等。因此，圖像去噪是圖像處理領域里的一個關鍵環節，具有非常重要的研究意義。

近十幾年來，在圖像去噪領域涌現出了兩大發展主流[1]：一是基于小波分析的圖像處理，小波分析具有良好的時頻局部化性質，能把圖像的紋理和結構信息表現在不同的分辨率層次上，在實現信噪分離的同時還能較好地保留圖像的細節信息[2];二是基于偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的圖像處理，如P-M模型、全變分（TotalVariation，TV）模型[3]、四階PDE模型[胡等等，它們在圖像去噪方面都發揮了各種的優勢，也取得了良好的去噪效果。但是小波去噪的缺點是模糊了圖像的邊緣，而且會產生一定的吉布斯和啞鈴效應;TV模型在處理圖像平坦區域時會產生“塊狀效應”，造成圖像局部細節特征丟失的現象;四階PDE模型去噪時容易使圖像的光滑區域變得不平整。

針對以上問題，本文提出一種改進的小波域耦合二階偏微分方程和四階偏微分方程的圖像去噪模型，該模型的去噪流程是：首先經小波變換對含噪圖像進行閾值去噪，然后對圖像的高頻分量進行偏微分方程去噪，最后經小波重構得到去噪后的圖像。本文模型克服了單獨運用小波變換或二階和四階偏微分方程模型進行圖像去噪的不足，能夠在保持圖像細節信息和邊緣特征的同時，達到良好的去噪效果。

1 小波閾值去噪方法

小波閾值去噪的原理就是先對圖像進行小波分解得到小波系數，把幅值較小的小波系數看作是噪聲能量所提供，幅值較大的看作是圖像本身能量所提供[5]，然后選擇一個合適的閾值門限，規定比閾值門限低的小波系數當做噪聲予以去除，達到去噪的目的。其去噪過程如圖1所示：

其中，在進行小波系數閾值門限處理時，通常使用硬閾值處理方法或軟閾值處理方法。

硬閾值是將圖像的小波系數的絕對值和閾值門限進行比較，小于閾值門限的點小波系數置為O，其余的不變，設閾值門限為T，則硬閾值公式如下：

對應圖像如圖2所示：

軟閾值與硬閾值不同之處是當圖像小波系數大于或等于閾值門限時，小波系數值變為該點值與閾值的差，其公式如下：

2 偏微分方程去噪方法

圖像總是存在突變的特征，鑒于此，1992年，Rudin，Osher和Fatime首次將全變分引入圖像去噪領域，開創了全變分圖像去噪方法，其模型表達式如下：

其中，u為觀測到的圖像，u0為原始圖像，V為梯度算子。TV模型是一種各向異性擴散模型，擴散系數為1/ Vu，且只沿圖像梯度垂直的方向進行擴散，水平方向不進行擴散，因此它能兼顧圖像去噪和保護圖像的邊緣信息。但在圖像平坦區域不一定存在邊緣方向，此時若依然沿著邊緣擴散，則會使去噪后的圖像產生虛假邊緣，產生“階梯效應”，嚴重影響圖像的視覺效果。

為了克服圖像經二階偏微分方程去噪后產生“階梯效應”的現象，2000年，Y-L.You和M.Kveah提出利用高階偏微分方程來處理圖像，并給出了如下方程：

其中，c（|△2u|）是正的非增函數。四階偏微分方程去噪模型是利用“分段斜面”來近似邊界的，且方程中的拉普拉斯算子屬于無方向性的微分算子，對噪聲反應敏感，能夠很好地消除“階梯”效應。但在濾除平滑區域噪聲時會造成“不平整”現象，且去噪效率低，往往需要大量的迭代才能獲得較滿意的去噪效果。

3 改進的小波域耦合偏微分方程圖像去噪方法

3.1 改進的小波閾值函數和小波閾值

在小波閾值去噪時，大多采用硬閾值函數或軟閾值函數其中的一種。硬閾值函數雖然能夠較好地保留圖像的邊緣細節信息，但ωj，k在T和-T處不連續，利用ωj，k。重構后所得圖像會出現視覺失真的效果[6]。軟閾值函數去噪效果相對平滑，但這種算法減少了許多絕對值大的小波系數，對圖像的高頻部分造成了一定損失，最后導致圖像變得模糊。為了克服硬、軟閾值函數的上述缺陷，本文提出一種改進的閾值函數，其表達式如下：

其中，m>0，當m=0時，該表達式可以看作軟閾值函數，當m一。。時可以看做為硬閾值函數。和硬閾值函數或軟閾值函數相比，本文提出的閾值函數具有以下幾個優點：①通過調整參數m的值，可以克服軟閾值函數有偏差和硬閾值函數不連續的缺點，且具有能量自適應性。②該函數不僅和軟閾值函數一樣具有連續性，而且在ωj，k≥T處是高階可導的，便于進行其他一些數學處理。③該函數以ωj，k=ωj，k為漸近線，ωj，k越大，ωj，k越接近ωj，k很好地克服了軟閾值函數中ωj，k與ωj，k之間存在的恒定偏差。

在小波去噪中，閾值的選擇非常關鍵，它對去噪效果的好壞起到了決定性作用：如果閾值太小，則去噪后圖像任然含有較多的噪聲，達不到去噪效果[7];如果閾值太大，則圖像的許多有用部分會被去除，造成失真。目前，所使用的閾值包括全局閾值和局部閾值，且大多數去噪模型都采用了Donoho和Johnstone統一閾值，其表達式為δ=σ√2lnN。但是通常情況下，噪聲會隨著分解尺度的增加出現遞減的趨勢，若采用統一閾值將無法實現噪聲的自適應變化，影響去噪效果。因此本文提出一種自適應閾值方法來克服統一閾值不隨尺度變化的缺陷，其表達式如下：

但是這種閾值估計方法比較復雜，本文采用一種簡單有效的閾值估計方法，即在圖像進行小波分解的第一級，取小波系數中的HH部分，以它的標準方差σ的估計值σ1，再利用自適應閾值計算出閾值。

3.2 改進的偏微分方程去噪模型

為了充分發揮TV模型和四階偏微分方程模型在圖像去噪方面的優勢，本文提出用一個加權函數將二者結合起來的偏微分方程去噪模型，新模型中將圖像的能量函數取為：

權函數因滿足以下要求[8]：

①在圖像邊緣區域，突出TV模型的作用，因此θ應接近1

②在圖像平坦和漸變區域，突出四階偏微分方程的作用，因此θ應接近0

綜合以上兩點，本文將權函數θ取為：

其中，M，N分別是圖像的長和寬，I為原圖像，J為處理后的圖像，若峰值信噪比越大，說明去噪效果越好。

以大小為256×256像素的Lena圖像為例，將本文模型與小波軟閾值去噪方法、全變分模型、四階PDE模型進行比較實驗。其中，所加噪聲為方差0.01的高斯噪聲，迭代次數，n=50，空間步長h=1，時間步長△t=0.1，參數k=2。圖5為幾種模型的去噪效果對比圖：

從圖5可知，本文模型去噪效果明顯優于TV模型、四階PDE模型和小波閾值去噪方法，它不僅保留了小波去噪方法中很好保留圖像細節信息的優勢，而且還繼承了TV模型和四階PDE模型各自在圖像去噪方面的優點，同時擁有較強的邊緣保護和良好的保護圖像平滑區域的能力。

圖5各去噪模型對應的峰值信噪比如表1所示：

從表1可知，本文模型對應的峰值信噪比最大，說明去噪效果最好。

5 結論

通過分析小波變換和偏微分方程在圖像去噪方面的特點，指出了兩者的優點和不足，提出將小波閾值去噪和偏微分方程相結合的去噪思想，并對閾值和閾值函數做出相應的改進，以及利用一個權函數將TV模型和四階偏微分方程相結合，最終得到一個改進的小波域耦合偏微分方程圖像去噪模型，從MATLAB仿真實驗結果看，本文模型既保護了圖像的邊緣紋理特征，又很好地保留了圖像細節信息，同時還具有較高的峰值信噪比，所以本文模型是一個較好的圖像去噪模型。

參考文獻

[1] 王利娜，何文章，基于小波變換和ROF模型的圖像去噪算法[J].天津職業技術師范大學學報，2015，25（5）：39-42.

[2]張文靜，吳傳生，劉欣.二階TGV結合小波變換模的圖像去噪算法[J].武漢理工大學學報，2015，37（1）：21-24.

[3]

RUDINL L，OSHER S，FATEMI E.Nonlinear totalvariation based noise removal algorithms [J]. Physisca D，1992，60（1/4）：98-109.

[4] YOU Yrli，KAVEH M. Fourth-Order partial differential e—quations for noise removal [J]. IEEE Transactions on ImageProcessing 2000，9 （10）：1721-1728.

[5] 曾誠，基于小波理論的圖像去噪和增強技術研究[D].武漢：武漢理工大學，2008.

[6] 靳士利，基于小波變換的自適應圖像去噪方法的研究[D].青島：青島大學，2010.

[7] 繆毅，基于小波變換與ROF模型的圖像去噪方法研究[D].昆明：云南大學，2013.

[8] 張國偉，基于小波變換的圖像去噪方法研究[D].昆明：昆明理工大學，2014.