胸中有圖、胸中有例、胸中有數(shù)

林紹鎵

摘 要：高中立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在教學(xué)監(jiān)控中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何，出現(xiàn)概念理解錯(cuò)誤、方法提取欠缺的情形比比皆是。教師如何組織教學(xué)，整合知識(shí)，解決問(wèn)題，是立體幾何教學(xué)的難題。借助圖式理論解釋學(xué)生知識(shí)點(diǎn)形成過(guò)程，探究如何完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，為眾多教師提供切實(shí)可行的教學(xué)措施。

關(guān)鍵詞：圖式理論；立體幾何；方法研討

一、基于圖式理論教學(xué)的思考

圖式理論是關(guān)于認(rèn)知方式的理論，主要闡述人作為高認(rèn)知?jiǎng)游锱c外界交流所獲得的知識(shí)與技能以具體的形式存儲(chǔ)在腦海中，它總是與其他交叉的知識(shí)建立聯(lián)系，只有有效激發(fā)各個(gè)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)才能有效提取、利用所要的知識(shí)點(diǎn)或者是目的傾向。這樣就給我們一線教師提供指導(dǎo)，運(yùn)用該理論教學(xué)，能夠讓學(xué)生在概念理解、方法提取、自我鞏固方面有促進(jìn)作用。

二、運(yùn)用圖式教學(xué)，促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)

（一）喚醒心中的圖式——胸中有圖

1.教學(xué)關(guān)注“實(shí)物—想象—直觀圖”

立體幾何研究對(duì)象是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間——三維空間，新教材的立體幾何教學(xué)定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生把握?qǐng)D形、空間想象與幾何直覺(jué)、邏輯推理能力等。針對(duì)立體幾何的特點(diǎn)，恰好符合圖式理論的觀點(diǎn)，圖式理論認(rèn)為：只有把學(xué)生已有的知識(shí)圖式充分激活，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能更完善。故此，教學(xué)當(dāng)中應(yīng)關(guān)注生活實(shí)物，在教學(xué)中我們有太多的生活實(shí)例，我們可以通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，反復(fù)操作。通過(guò)對(duì)實(shí)物的切身感受，挖掘它們本質(zhì)上的規(guī)律和特征，改變已有的認(rèn)識(shí)。這樣令學(xué)生更能接受新知識(shí)，同時(shí)也增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，何樂(lè)而不為。

2.教學(xué)關(guān)注激活學(xué)生“已有圖式”

在知識(shí)回顧上教師應(yīng)該關(guān)注新舊知識(shí)間的聯(lián)系，這樣既利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，更利于學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的鞏固。圍繞問(wèn)題激活學(xué)生頭腦中原有的知識(shí)圖式，教師應(yīng)該毫無(wú)保留地做到這一點(diǎn)。譬如證明空間垂直，教師都會(huì)總結(jié)：若證面面垂直，先證線面垂直；若證線面垂直，先證線線垂直。學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)不完整，即頭腦中存儲(chǔ)的相應(yīng)圖式太少，故此筆者認(rèn)為有必要檢查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)存儲(chǔ)情況。導(dǎo)正概念定義，激活大腦中對(duì)幾何體實(shí)體的記憶，大腦中會(huì)相應(yīng)出現(xiàn)“模型”，這樣大腦就會(huì)聯(lián)結(jié)原有圖式，喚醒操作技能，為解題提供策略性知識(shí)。

（二）以不變應(yīng)萬(wàn)變——胸中有例

圖式的樣例可以是一種能夠例說(shuō)或表征較為抽象的概念原理的相對(duì)具體的實(shí)體，能夠展示同一類事物性質(zhì)的樣本或者是具體的“實(shí)體”對(duì)象。讓學(xué)生做到“胸中有例”，那就是數(shù)學(xué)具體化。這不僅可以減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，也能從邏輯上提高學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的能力。從歷年考試都可以知道，立體幾何的考查難點(diǎn)是證明空間平行、垂直關(guān)系及空間角的問(wèn)題，而筆者發(fā)現(xiàn)，證明空間關(guān)系都可以在書(shū)本中找到原型，抓住例子，抓住矛盾，逐一攻破。比如教師可以用例子引導(dǎo)學(xué)生理解，促進(jìn)記憶：

題1：在三棱錐V-ABC中，已知VA⊥平面ABC，AB⊥BC.你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？（人教版必修二P69頁(yè)）

簡(jiǎn)化為：在三棱錐V-ABC中，已知VA⊥平面ABC，AB⊥BC，求證：BC⊥VB.

師：一條直線如果垂直于三角形兩條邊，它是否垂直第三邊？

學(xué)生思考了一會(huì)，似乎“無(wú)動(dòng)于衷”，筆者告訴學(xué)生可以在紙上畫(huà)，把一支筆豎起來(lái)作為直線（學(xué)生普遍缺乏這種意識(shí)，教師應(yīng)該不斷啟發(fā)）。

生：一開(kāi)始也比較困難，覺(jué)得沒(méi)什么想法。后來(lái)（邊說(shuō)邊用手指著有關(guān)的線段）就想到我們要證明，所以就要想辦法說(shuō)明，想到這里，就知道自己可以解決了。

師：我們能不能用剛才歸納的“一句話”？其實(shí)在證明垂直關(guān)系時(shí)經(jīng)常從這“一句話”出發(fā)。生活也有一個(gè)實(shí)例：看，這墻面內(nèi)的直線只要與它們的交線垂直，就能垂直于地面。此時(shí)可以歸結(jié)一句話：一條直線若垂直于三角形的兩條邊，則必垂直第三邊。

可以看出教學(xué)中可以讓學(xué)生做到“胸中有例”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)具體化，學(xué)生通過(guò)記住幾個(gè)典型的、熟悉的例子，遇到問(wèn)題就迎刃而

解了。

（三）三思而后行——胸中有數(shù)

此“數(shù)”不僅要求學(xué)生有數(shù)的意識(shí)，也注重在學(xué)習(xí)過(guò)程中幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即學(xué)生圖式的不斷精制。圖式理論認(rèn)為：大腦接受刺激的程序是：外界刺激—激活原有圖式—自身選擇和過(guò)濾—形成自我的認(rèn)知，這時(shí)教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生自身的選擇和過(guò)濾，具體策略是教學(xué)中教師應(yīng)該注重總結(jié)，學(xué)生應(yīng)完善自我建構(gòu)。同時(shí)立體幾何的掌握需一定的訓(xùn)練，在訓(xùn)練過(guò)程中圖式會(huì)驅(qū)動(dòng)知識(shí)遷移，把零碎的知識(shí)點(diǎn)動(dòng)態(tài)般聯(lián)系在一起，遷移閃爍著智慧的火花，學(xué)生做題更得心應(yīng)手。高考題中考查的都是利用已學(xué)的知識(shí)作為背景，方向是對(duì)知識(shí)的基本應(yīng)用，稍難的是知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，所以講授立體幾何時(shí)應(yīng)注重學(xué)生圖式的不斷精制，讓學(xué)生做到胸中有數(shù)。

總而言之，圖式理論有指導(dǎo)作用，它有利于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的精制和問(wèn)題的清晰化，也能將零星的、表面不一致的知識(shí)不斷概括，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使得這種結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出更強(qiáng)的能動(dòng)性、開(kāi)拓性。高考中的立體幾何題目往往考查綜合分析和理解創(chuàng)新能力，而縝密的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是解決此類問(wèn)題的基石，運(yùn)用圖式理論教學(xué)正是突破立體幾何教學(xué)難點(diǎn)的良方。

參考文獻(xiàn)：

高育梅.圖式理論在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（11）：44-47.

編輯 高 瓊