淺談數學在經濟領域中的運用

文| 伍怡穎

（作者單位：廣東財經大學 統計與數學學院）

數學發展史是一門交叉性的學科，涵蓋的內容除了數學本身外，還涉及到了物理學、哲學、文學、宗教等內容。20世紀80年代的一批美國學者將數學定義為：數學這個領域已被稱為模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。數學的發展經歷了四個階段，第一階段是萌芽階段，第二階段是形成階段，第三階段是近代數學階段，第四階段是現代數學階段。縱觀數學的發展史，數學從產生到曲折成長再到今日在各個行業與領域大放異彩，數學在科學界中始終占有一席重要之地，在一定程度上推動著社會的發展。從19世紀30年代，數學的思想開始滲透到經濟領域中，經濟學家在經濟研究中開始大量使用數學方法，其中的代表人物是法國的古諾，19世紀70年代，出現了經濟學數學化的趨勢。當今世界許多國家都認可數學對經濟增長有關鍵作用，作為國家經濟競爭力在學術范圍的有力支持，當代經濟學的數學化已是一個普遍趨勢。經濟學的數學化的現象也符合馬克思的一句名言：“一門學科只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步”。

數學在經濟研究中發揮著基礎性工具的作用，我們可以將經濟學中的某些問題用數學語言去描述,使得推理邏輯嚴密起來。早期數學、近代數學、現代數學對經濟的發展與推動都有著重要作用。早期數學作為論證經濟學理論的重要工具，在一定程度上保證了經濟理論不出現邏輯性錯誤。近代數學與經濟發展有了更進一步的結合，如在構建農業經濟理論框架、設計大型企業、開發能源與保護環境、創新科技技術等方面，數學都有不可磨滅的功勞。在大數據時代，經濟發展更是與數學息息相關，越來越多數學技術興起，如數據挖掘，數據分析，量化投資等，經濟學研究不再定性地局限于對經濟現象的描述上，而是定量分析經濟現象質的研究，并深刻闡述社會經濟現象的內在規律和運行狀態。

數學作為經濟研究中的重要工具并在經濟領域取得了巨大的成功，這顯然是數學的極大生命力并顯示了數學在經濟研究中的可行之處。用數學方法解決經濟領域中的問題，要利用數學邏輯的嚴謹性與數學符號的簡明性為解決經濟問題解釋經濟現象做好鋪墊。以下討論數學在經濟領域的一些應用。

經濟分析中導數的作用。經濟學中很多問題都與數學中的導數有著息息相關的聯系，邊際觀念建立之后，導數成功進入了金融經濟方面的學說之中，推動經濟學的發展歷程。邊際成本函數，邊際收益函數，邊際需求函數等都是與導數有關的經濟方面的函數。此外，根據函數極值解決經濟中最優化選擇也是經濟分析中常見的問題。例如，某企業生產某商品的成本C與產量x（kg）的函數關系式為：C（x）=500+2x，商品單價p與產量x的函數關系式為：p（x）=242-（1/5）x^2，求使利潤最大時的產量x。收入總價P=px=[242-（1/5）x^2]x=242x-(1/5)x^3,利潤L=P-C=-(1/5)x^3+244x+500,對利潤求導得L’=-(3/5)x^2+244,令L’=0，計算得x=20.17，即當該商品產量為20.17kg時，企業可獲得的利潤最大。

常微分方程在經濟研究中的運用。常微分方程在經濟領域有著廣泛的應用，涉及的經濟問題有價格均衡模型，新產品的推廣模型，價格與庫存模型，成本問題等。以下簡要分析常微分方程在成本問題中的應用。已知某產品的生產總成本C由可變成本與固定成本構成，假設可變成本y是關于產量x的函數，且y關于x的變化率等于產量與可變成本之間的平方和（x^2+y^2）除以產量與可變成本之積的2倍（2xy），固定成本為1，當x＝1時，y＝3，求總成本函數。總成本函數C（x）＝1+y（x），由題意有dy/dx＝（x^2+y^2）/2xy，令u＝y/x，有dy/dx=u+xdu/dx，用變量分離法解得[2u/（1－u^2）]du=1/xdx，兩邊同時積分得，lnc=lnx+ln（1－u^2），整理得，x（1－u^2）=c，得通解，y=（x^2－cx）^1/2（y≥0），由x=1時y=3，得c=-8，即y=(x^2+8x)^1/2，故總成本函數C(x)=1+(x^2+8x)^1/2。

運用數學方法解決經濟問題這一思想在經濟領域中是非常基礎和廣泛的，我們要掌握好高等數學的知識并能熟悉運用，把數學和現實生活結合起來應用到經濟問題的研究中，使經濟學從定性化走向定量化和精準化。