基于Monte-Carlo模擬的可轉債定價模型

朱妮潔

（南京理工大學理學院，南京210094）

引言

可轉換債券是由公司發行，在一定時期內可按事先約定的條件轉換成一定數量該公司發行的普通股股票的一種特殊公司債券。除了具有普通債券所具有的債券要素和自身的特定要素外，可轉債還由一系列附屬條款構成，是一種兼具期權性和債務性的中長期混合金融衍生產品。發行人通過組合不同的條款來適應自身的融資需求，也為投資者提供了具有差別化的產品。因此，對于這種靈活性的金融工具如何合理定價是目前研究的重點。

我國的可轉債市場發展較為緩慢，雖然1992年發行了第一只“寶安轉債”，但由于相關法律的缺失以及條款設計問題，造成首次嘗試并不成功。此后經過多年的停滯，可轉債市場在1997年才走上規范化發展的道路。

對于可轉債定價的研究，最初只是利用現金流貼現法進行粗略估計，直到1977年，Ingersoll將公司價值作為基礎資產通過考察其動態過程來確定可轉債的合理價格水平，才出現了第一個真正合理的基于公司價值的單因子無套利定價模型。不久，該模型被擴展為基于公司價值和利率的雙因素定價模型。雖然基于公司價值的模型在理論上非常具有吸引力，能夠很好地結合信用風險結構化模型，但是由于并非所有公司資產都是可交易的，公司價值及其波動率等參數難以估計，因此實用性較差。Brennan和Schwartz（1986）將股價作為基礎資產，開創性地提出了基于股價的單因子模型，很快也被擴展為基于股價和利率的雙因子模型。由于股價可以直接獲取，因此基于股價的研究更具有實用性，發展也較為迅速。目前將股價應用于可轉債定價研究的方法主要分為兩類：解析方法和數值方法，其中最為著名的解析方法就是Black-Scholes公式法，而數值方法則更為多樣化，常用的有樹方法、有限差分法以及Monte Carlo模擬法。我們知道，普通的蒙特卡洛模擬的方法能夠有效考慮可轉債條款中暗含的路徑依賴特征，但無法處理美式期權的定價。隨著Longstaff和Schwartz（2001）提出最小二乘蒙特卡洛模擬法，利用一組以狀態變量為自變量的基函數來估計每個時點期權的存續價值，有效解決了美式期權的定價問題，而具有美式期權特性的可轉債，提前轉股的性質也同樣適用于這種方法。本文在此基礎上全面考慮可轉債的各個條款及波動率和利率對可轉債定價效果的影響，最終選用GARCH（1，1）模型估計波動率，并在實證中對3只可轉債進行上市首日進行定價檢驗。

一、LSM可轉債定價模型

（一）可轉債最優行權策略分析

如今，我國市場上發行的可轉債一般都附有大多相類似的回售、贖回以及轉股價修正條款，這種條款的一致性有助于我們給出一個統一的定價模型，并檢驗其預測效果。有了基于LSM法美式期權定價的基礎，可以將可轉債的定價看作是美式期權加上其特有的回售、贖回以及轉股價修正條款。

根據鄭振龍、林海（2004）的研究，我們知道發行人的決策目的是為了使得投資者以盡可能高的轉股價盡早實現轉股，除非發生了觸發回售權，面臨回售壓力的情況，否則發行人是不會主動調整轉股價的，并且其調整轉股價的幅度通常以不滿足回售條款最低為限。而贖回條款則是發行人逼迫投資者實現轉股設立的，在公司決定執行全部贖回時，發行人會發出贖回公告，提示投資者即將行使贖回權，通常會給定投資者一段時間，在這段時間內，投資者仍然有行使轉股的權利直到贖回登記日，在贖回登記日次一交易日起所有在登記在冊的可轉債將全部被凍結。當這種情形發生時，如果投資者不進行轉股，就只能獲得條款中事先規定的贖回價，一般是票面價值上浮6%～8%加上本期應計利息，此時理性投資者必定會選擇轉股以獲得遠高于贖回價的收益。

綜上分析，當股價過低而觸發回售條款時，為避免投資者行使回售權發行公司必定會選擇調整轉股價，所以回售理論上將不會發生。此外，假設投資者都是理性的，在觸發贖回條款時也都會選擇有更高收益的轉股，因此贖回權也是不會發生的。

（二）可轉債的存續價值

在排除回售權和贖回權之后，發行公司和投資者的最優執行策略取決于存續價值，而基于LSM的可轉債定價關鍵在于找到這個存續價值，這也是這個模擬算法的核心內容。存續價值的意義為現在時刻不執行任何選擇權，繼續保持債券的狀態所能獲得的回報。在任意時刻tk，根據無套利定價理論，可轉債的存續價值F（ω；tk）可以在風險中性測度下用未來現金流貼現得到：

這里r（ω，t）是t時刻狀態ω下的瞬時無風險利率，CFf（ω，tj；tk，T）表是在tk時刻之后執行選擇權，所能獲得的全部現金流。在給定一系列模擬的可轉債價值路徑后，我們可以直接求得其貼現現金流，關鍵任務是要得到在可獲信息集基礎上的條件期望價值。為此，這里主要依據Longstaff和Schwartz（2001）的最小二乘回歸技術，通過逆推估計每條路徑在各時點的條件期望存續價值，并與行權價值相比較，從而確定每條路徑最優執行策略。

假設tk時刻可轉債的存續價值可以被表示為將tk時刻可獲信息與貼現的未來現金流相關的狀態變量的一組基函數的線性組合。

其中，X表示tk時刻路徑ω的狀態變量，αi是常數系數，fi（X）是基函數。為了簡化計算過程，效果最好且最常用的基函數為：

這里，Yt為t時刻相應的貼現現金流，St為t時刻標的股票價格。

（三）參數選取

1.股價波動率?；A股價波動率σt即為基礎股價的變動的標準差，它反映的是股價未來變動的不確定性。高的股價波動率表示股價出現高價的機會越多，可轉債中內嵌期權價值也將越大，可轉債的價值就越高。

一般對于金融衍生品定價，股價波動率的估計方式主要有歷史波動率和隱含波動率兩種形式，考慮到我國金融市場尚不完善，所以無法使用隱含波動率法來估值。歷史波動率則是由實際的歷史數據計算得到的過去一段時間內的股價波動率，如此使用的常數波動率并不能很好地符合實際，由于我國可轉債期限大多在3—6年，期限較長，且考慮到金融資產的收益率多數表現出波動聚類現象，所以本文選用GARCH（1，1）模型估計股價波動率。此外，GARCH模型的離散時間過程也能夠很好地結合蒙特卡洛模擬。股價波動率的形式如下：

2.無風險利率。前人的研究表明，利率隨機化對可轉債定價效果影響并不明顯，幾乎可以忽略不計。因此，本文在對無風險利率進行估計時，并不再考慮利率的隨機化，直接選用可轉債上市前一日同期國債到期收益率作為無風險利率。

（四）LSM算法實現過程

設可轉債期限為T，當前時刻為0，將期限以天為單位分為n段，具體實現步驟如下：

步驟1，利用GARCH（1，1）模型估計出股價波動率的隨機過程。

步驟2，假設標的股票價格S遵循帶有幾何布朗運動干擾項的隨機微分方程：

從確定的S0出發，使用蒙特卡洛法，對股市的未來走向進行模擬。

步驟3，在模擬的N路徑中首先找出滿足回售條件的，分析認為發行公司不會允許回售情況發生，所以若有路徑出現觸發回售情形，發行人會立即調整轉股價格，使得回售不發生。

步驟4，在這些調整了轉股價的M條路徑中，找出觸發贖回條款的路徑n1條。分析認為觸發贖回權時，理性投資者會選擇轉股，計算此時轉股價值，再將其貼現到0時刻，取平均記為q1。

步驟5，尋找剩余未做轉股價調整的路徑中觸發贖回的路徑n2條，同步驟4，計算轉股價值，再將其貼現到0時刻，取平均記為q2。

步驟6，在排除了條款的影響之后，剩下的路徑就可以按照LSM美式期權定價的方法，尋找最優停時確定可轉債價值。首先計算到期日可轉債價值，當轉股價值大于持有價值（T時刻為贖回價）就轉股，因此到期日可轉債價格可以表示為

其中，X表示轉股價，P表示到期贖回價。同理，找出T－1時刻的轉股價值大于持有價值的L條路徑，并記它們的股價為Z，再將路徑對應C（T）的貼現到T－1時刻，記為Y。此時，利用最小二乘回歸，選取依賴變量Z、Z2回歸Y，回歸方程如下：

然后將Z代回上式，便求出T－1時刻的期望收益，即為我們估計的持有價值。將其與此時的轉股價值相比較，決定是否轉股或繼續持有。若某條路徑選擇繼續持有則它的轉股價值設為0。重復這個步驟直到期初時刻，最后將非零的轉股價格貼現到1時刻，取平均值為q3。

步驟7，求q1、q2和q3的負權均值，即為可轉債的理論價值，數學表達式為

三、實證研究

（一）樣本選取

截至2017年6月底，我國共有21只上市可轉債，綜合考慮發行時間長短及流動性等因素，選取了基本能代表我國可轉債市場的3只可轉債進行定價實證研究，其主要條款（如表1所示）。

（二）可轉債定價分析

利用本文建立的基于最小二乘蒙特卡洛模擬的可轉債定價方法，使用matlab編程實現模型計算過程，估計出所選取的3只可轉債上市首日價格（見表2）。

表2 樣本可轉債的上市首日定價

用誤差率來分析模型的定價精度，根據上表，求得這些可轉債定價的誤差率在10%以內，平均誤差率為4.67%，按照95%的定價精度來考慮，本文的定價方法達到了95.33%，超過95%的水平，可以認為本文模型的定價結論是可信的。此外發現，定價的3只可轉債價值都存在被市場低估的現象，探討其原因，總結為三點：第一，可轉債本身作為新型金融產品，在我國發展時間較短，投資者對其認知不足，使得其內在價值未被充分挖掘；第二，低迷的整體市場環境導致市場不看好發行公司股價的未來走勢，低估了內嵌轉換期權的價值；第三，使用不同的股價樣本區間和不同的估計方法會得到不同的參數，從而造成定價誤差，對計算結果產生影響。

結語

實證結果表明，本文的定價模型能夠達到較高精度，具有一定的實踐指導意義。通過定價模型對市場數據的檢驗發現，我國可轉債存在價格被低估的現象。對于模型價格與市場價格存在的差距，原因可能是我們只在理論層面上分析了可轉債的定價，主要是以標的股票的走向為重要指標，而沒有從公司經營的層面上去分析可轉債的價格變化。此外，對于交易費用、股票分紅、信用風險、股權稀釋等其他影響可轉債價格的因素并沒有考慮在本文中。因此，綜合考慮各種因素以提高定價精度，是本文后續研究的方向。

參考文獻：

[1] BrennanM.J.，Schwartz E.S.Convertible bonds：valuation and optimal strategiesforcallandconversion[J].The Journal of Finance，1977，(5)：1699-1715.

[2] Ingersoll Jr J.E.A contingent-claims valuation of convertible securities[J].Journal of Financial Economics，1977，(3)：289-321.

[3] Merton R.C.On the pricing of corporate debt：The risk structure of interest rates[J].The Journal of Finance，1974，(2)：449-470.

[4] Bielecki T.R.，Crpey S，Jeanblanc M.，et al.Convertible bonds in a defaultable diffusion model[J].Preprint，2007.

[5] Mateti R.S.，Hegde S.P.，Puri T.Pricing securities with multiple risks：A case of exchangeable debt[J].Journal of Banking&Finance，2013，(3)：1018-1028.

[6] 鄭振龍，林海.中國可轉換債券定價研究[J].廈門大學學報：哲學社會科學版，2004，(2)：93-99.

[7] 賴其男，姚長輝，王志誠.關于我國可轉換債券定價的實證研究[J].金融研究，2005，(9)：105-121.

[8]Kind A，Wilde C.Simulation-based pricing of convertible bonds[J].Journal of Empirical Finance，2008，(2)：310-331.