基于多策略差分布谷鳥算法的粒子濾波方法

黃　辰　費繼友,　王麗穎　劉曉東

(1.大連交通大學機械工程學院， 大連 116028； 2.大連交通大學動車運用與維護工程學院， 大連 116028)

0　引言

近年來，粒子濾波技術被廣泛應用于處理實際工程問題[1-2]。例如：目標跟蹤[3-5]、故障檢測[6-7]、狀態估計[8]、定位導航[9-12]以及圖像處理[13]等領域。粒子濾波的思想[14]源于蒙特卡洛利用一組加權隨機粒子來表示概率分布，借助實際測量值來調整各個粒子權值和位置來近似獲得實際概率分布。因此，粒子濾波能有效克服擴展卡爾曼濾波在處理高度非線性問題時估計精度急劇下降的缺點。

雖然粒子濾波能解決對模型的非線性和非高斯的約束問題，但算法本身仍存在一些缺陷[15-17]。隨著算法運行，粒子的權值方差會出現遞增，將出現嚴重的粒子退化現象。為緩解退化問題，GORDON等[18]引入了舍棄小權值粒子的重采樣方法。但由于在重采樣過程中對大權值粒子的多次復制，減弱了粒子多樣性，造成粒子貧化現象。近期，采用群體智能來優化粒子濾波算法[19-20]，將生物機制引導的優化理論嵌入粒子濾波算法框架是現代粒子濾波領域中一個嶄新的發展方向。HAN等[21]提出將布谷鳥算法與粒子濾波算法相結合，并成功應用于故障檢測中，具有較好的魯棒性。

本文提出一種基于改進布谷鳥算法的粒子濾波方法(Particle filter based on improved cuckoo search, ICS-PF)。一方面，在Levy飛行過程中引入多策略差分變異來增加算法的多樣性；另一方面，在新解的選擇機制上采用排隊優選與貪心算法相結合來提高選擇效率，并將改進的布谷鳥算法用來優化粒子濾波。

1　粒子濾波算法基本原理

假設非線性系統的狀態空間模型[22]，即狀態方程和觀測方程為

(1)

式中xk——系統k時刻的狀態變量

yk——系統k時刻的測量值

f——系統的狀態轉移函數

h——系統的觀測函數

uk-1——系統的過程噪聲

vk——測量噪聲

(2)

其中

Yk={y1,y2,…,yk}

式中Yk——1～k時刻的觀測信息

δ——狄拉克(Dirac-delta)函數

粒子濾波采用樣本均值來代替積分運算，能夠獲得狀態變量最小方差估計。當樣本(粒子)數量達到足夠大時，可以逼近真實的概率密度分布。

(3)

在標準粒子濾波算法中，重要密度函數取狀態轉移概率密度，即

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

粒子濾波的狀態輸出估計可表示為

(6)

2　多策略差分布谷鳥算法的粒子濾波

2.1　標準布谷鳥算法

布谷鳥算法是新型有效的群體智能算法，根據模擬寄生育雛繁殖后代過程演化而來。布谷鳥種群將挑選合適的其他種群鳥類為其孵化產卵，所選擇的鳥巢中通常有宿主剛產下的蛋，以此來降低被發現的概率。一旦宿主發現鳥巢中存在寄生卵將會丟棄外來的蛋或再重新構建新的鳥巢。標準的布谷鳥算法需要遵循3條理想規則[23-25]：

(1)布谷鳥 1 次只產1個卵，并隨機選擇鳥巢進行孵化。

(2)當前所有鳥巢中位置最好的鳥巢將會被保留到下一代。

(3)可用的寄生鳥巢數是固定的，且宿主發現鳥巢中布谷鳥蛋的概率是pa，pa∈[0,1]。

在優化實際問題時，用一個含有D維向量的鳥巢位置來表示搜索空間中的一個候選解。 在當前解的基礎上，通過Lévy Flight隨機游動搜索下一代鳥巢位置。將每個鳥巢位置代入目標函數中將會得到相對應的一個適應度f(x)，根據f(x)來判斷當前鳥巢位置的優劣。然后，按發現概率舍棄部分解并由偏好隨機游動搜索策略重新生成與丟棄解相同數量的新解。根據貪婪準則來保留較好的解以完成一次迭代。

布谷鳥算法首先采用Lévy Flight的隨機游動搜索策略來搜索新鳥巢位置，其更新公式

(7)

其中

(8)

u、v——服從標準正態分布的2個隨機數

c1——步長調節因子，通常c1取0.01

β——常數

Γ——標準的Gamma函數

gd——當前最優鳥巢的第d維向量

在通過Lévy Flight的隨機游動搜索獲得的新鳥巢位置中，需要根據發現概率pa，按照偏好隨機游動搜索策略來產生新解。偏好隨機游動更新為

(9)

式中r——0～1范圍內的隨機數

2.2　多策略差分進化布谷鳥算法

在標準布谷鳥算法中，首先采用Lévy Flight的隨機游動搜索，然后按發現概率通過偏好隨機游動搜索來舍棄部分鳥巢。為提高搜索效率，采取預先設定的比例同時進行Lévy Flight隨機游動搜索和偏好隨機游動搜索的策略。

布谷鳥算法的偏好隨機游動搜索策略是采用式(9)中2個隨機解的差異來更新一部分Lévy Flight的隨機游動搜索新鳥巢位置的解。考慮到搜索策略的多樣性，將多策略差分變異操作引入布谷鳥算法的偏好隨機游動搜索過程中。由3種差分策略和原來的偏好隨機游動共4個搜索策略共同構成新的偏好隨機游動搜索策略。

在每次迭代中，差分算法的每個染色體都會通過變異操作來產生新的染色體，常用的變異策略[26-28]為

Rand/1

vi,g=xr1,g+F(xr2，g-xr3，g)

(10)

Best/1

vi,g=xbest,g+F(xr1，g-xr2，g)

(11)

Rand/2

vi,g=xr1,g+F(xr2，g-xr3，g)+F(xr4，g-xr5，g)

(12)

Current-to-best/1

vi,g=xi,g+F(xbest,g-xi,g)+F(xr1，g-xr2，g)

(13)

Current-to-rand/1

vi,g=xi,g+r(xr1,g-xi,g)+F(xr2，g-xr3，g)

(14)

式中F——縮放比例因子

r1～r5——[1,NP]中的隨機整數且與i不等

vi,g——經過變異后第g代第i個染色體

xr1,g～xr5,g——第g代5個不相同的染色體

xbest,g——當前群體中的最好染色體

xi,g——變異前第g代第i個染色體

由于Lévy Flight隨機游動搜索過程中已經將當前的全局最優解代入，因此，可以采用式(10)、(12)和式(14)的策略。多策略的偏好隨機游動搜索過程包括4個選擇，即式(9)、(10)、(12)、(14)。在偏好隨機游動搜索過程中，針對不同的優化問題，不同策略發揮的作用也有所不同。因此，為加快搜索效率引入選擇因子并結合輪盤賭機制來調整4個候選的偏好隨機游動搜索各個策略被選擇的可能性。

當布谷鳥算法中有新解產生時，采用貪婪算法來決定新解是否可以代替舊解。貪婪算法是以每個鳥巢的位置為基準，用新產生具有更優的適應度個體來替換上一代，與其它鳥巢之間沒有相互交流。如此舍棄的鳥巢位置的適應度可能與某些鳥巢位置的適應度相比是優秀的，從而降低搜索的效率。因此，本文在選擇新解的過程中，將貪婪與排隊優選兩種機制結合按照預先設定的比例來更新解。排隊優選是將產生的與舊解不同的新解與全部舊解組成一個集合作為全集，根據各個解的適應度按照從優到劣進行排列，選出N個(定義的布谷鳥巢數)優選解作為新解集。

自適應差分變異布谷鳥算法的具體步驟如下：

(1)設定算法需要的參數和終止條件，并對種群進行初始化，計算每個個體的適應度值。

(2)針對每個鳥巢，根據已設定的Lévy Flight和偏好隨機兩種策略的選擇比例c，通過與[0,1]間的隨機數r進行比較，當r>c選擇Lévy Flight隨機游動搜索，否則選擇偏好隨機多策略游動搜索策略。

(3)當進入多策略偏好隨機游動搜索策略，利用步驟(2)中的隨機數r與每個策略的選擇因子，選擇4個策略所對應的右邊界，分別為0.25(1-c)、0.5(1-c)、0.75(1-c)和1-c。

(15)

(4)按照優選和貪婪原則，由適應度來選擇優秀個體進行迭代運算，用c1(c1∈(0,1))來調節2種選擇機制的比例。隨機產生1個隨機數r1，當r1>c1時，采用貪婪原則；否則，采取排隊優選原則。

(5)判斷是否滿足終止條件。滿足則輸出結果；否則，重復步驟(2)～(4)。

2.3　基于改進布谷鳥的粒子濾波

為克服原粒子濾波算法中存在的粒子貧化與退化問題，本文將基于多策略差分的布谷鳥算法引入到粒子濾波算法的重采樣過程中。ICS-PF算法具體實現步驟如下：

(1)初始化。在初始時刻k=0時按照初始樣本分布P(x0)進行采樣，產生的N個粒子作為初始樣本{xi(0)}(i=1,2，…,N)，xi(k)服從重要性密度函數。

xi(k)～q(xi(k)|xi(k-1),y(k))

(16)

(2)設置每個粒子的權重為wi=1/N。

(3)采用多策略差分布谷鳥算法來進化粒子，模擬布谷鳥優化算法的全局搜索行為:

①g=1，進入進化的初始粒子

{xg,i(k)}={xi(k)}(i=1,2,…,N)

(17)

② 將該粒子樣本帶入多策略差分布谷鳥算法中，按照多策略差分布谷鳥算法的步驟(2)～(5)進行相應的操作，得到進化后的新粒子集。在改進的布谷鳥算法中，所采用的適應度函數為

(18)

R——噪聲方差

③ 將經過ICS-PF重采樣后的粒子輸出。

(4)利用式(5)計算新粒子的重要性權重并進行歸一化處理，即

(19)

(5)重采樣。可以舍棄權重低的粒子，并對權重高的粒子進行復制。

(6)粒子狀態輸出。求ICS-PF重采樣后粒子的平均狀態。

3　仿真

為驗證算法ICS-PF的估計精度、運算時間和魯棒性，采用單變量非靜態增長模型對算法性能進行驗證。此模型是研究各種PF算法性能時的常用模型，其狀態方程和測量方程為：

狀態方程

(20)

式中u(k)——狀態方程中的零均值高斯噪聲,方差為R

x(k)——系統k時刻的狀態

測量方程

(21)

式中v(k)——測量方程中的零均值高斯噪聲,方差為Q

y(k)——k時刻的觀測量

仿真硬件環境為Intel i5處理器、主頻2.40 GHz，4 GB內存，軟件環境為Matlab 2014a。

3.1　精度測試

仿真采用粒子濾波算法(PF)、布谷鳥粒子濾波算法(CS-PF)、差分進化粒子濾波算法(DE-PF)與ICS-PF算法進行跟蹤性能對比。定義一次獨立仿真系統的估計誤差為

(22)

式中T——進行一次仿真所用時間的總步數

xk——k時刻的狀態真實值

實驗中，ICS-PF和標準布谷鳥算法中設置發現概率pa=0.75，常數β=1.5。狀態方程中的過程噪聲和測量方程中的觀測噪聲的方差均為1，即R=1，Q=1。濾波初值x0=0.3，初始分布的方差p0=2，濾波步數k為50。隨著粒子數量的增加，分別對PF、CS-PF、ICS-PF和DE-PF進行仿真。對每一種算法進行200次獨立仿真的結果如表1所示。當粒子數N=20時，狀態跟蹤結果和誤差曲線如圖1、2所示。當粒子數N=50時，狀態跟蹤結果和誤差曲線如圖3、4所示。當粒子數N=100時，狀態跟蹤結果和誤差曲線如圖5、6所示。

由圖1～7可知，與標準PF、DE-PF、CS-PF算法相比，ICS-PF對模型的真實狀態具有更高的估計精度。ICS-PF算法是在多策略差分變異和CS的基礎上進行全局搜索，由于搜索策略的增加能夠有效提高粒子的多樣性。同時，新引入的排隊優選機制能夠提高新解的質量，加快空間搜索效率。因此，提高了濾波的精度和速度。從表1可以看出，本文提出的ICS-PF算法在運算速度方面略快于DE-PF算法和CS-PF算法。而PF算法的運行時間最少，由于不用采用迭代操作來優化粒子目前的位置，算法相對簡單。另外，由于ICS-PF算法省略變異操作，因此與CS-PF和DE-PF相比節省了時間。

表1　4種算法仿真結果對比Tab.1　Comparison of four algorithms simulation results

圖1　濾波狀態估計(N=20)Fig.1　State estimation of filter(N=20)

圖2　狀態誤差絕對值(N=20)Fig.2　Absolute value of state error(N=20)

圖3　濾波狀態估計(N=50)Fig.3　State estimation of filter(N=50)

圖4　狀態誤差絕對值(N=50)Fig.4　Absolute value of state error(N=50)

圖5　濾波狀態估計(N=100)Fig.5　State estimation of filter(N=100)

圖6　狀態誤差絕對值(N=100)Fig.6　Absolute value of state error(N=100)

圖7　粒子數對RMSE的影響Fig.7　Effect of particle amount on RMSE

由圖7可以看出，當N增加時，這4種算法的濾波精度都有提高；在給定的相同噪聲條件下，隨著粒子個數從20增加到100，標準PF算法的濾波精度有大幅度提高，而ICS-PF的濾波精度變化相比較為平穩，且ICS-PF的濾波精度在粒子數為20時與標準PF算法粒子個數為100時的濾波精度相匹配。同樣，其他兩種智能優化粒子濾波算法在粒子個數較小時也具有較好的濾波性能。這是因為加入智能群體算法的粒子濾波能夠借助群體的智能搜索來優化粒子的位置，使其分布更趨于合理。即使粒子數較少時仍能通過迭代尋優來增加粒子選擇的多樣性，使粒子能夠在整個狀態空間找到多個接近真實值的位置，保證重采樣的選擇結果趨于多樣性，從而提高了估計精度，避免PF算法在粒子個數較少時容易出現由于多樣性缺失而導致的重采樣選擇單一問題。因此，ICS-PF算法能夠用少量的粒子來提高標準粒子濾波算法的穩定性和精度。

3.2　粒子多樣性比較

為比較PF算法和ICS-PF算法的粒子多樣性，選取PF算法和ICS-PF算法重采樣后在N為20、50、100且k=30時，粒子在空間的狀態如圖8～10所示。

圖8　粒子空間狀態 (N=20)Fig.8　Particle space state (N=20)

圖9　粒子空間狀態(N=50)Fig.9　Particle space state (N=50)

圖10　粒子空間狀態(N=100)Fig.10　Particle space state (N=100)

由圖8～10可知，與標準 PF 算法的粒子多樣性相比，ICS-PF在狀態空間中具有更廣泛的分布空間，多數粒子保持在高概率估計值附近，同時，低概率估計值仍有粒子分布，這樣能夠減少因粒子貧化而導致的高風險錯誤估計現象。

3.3　4種算法的粒子分布分析

為分析PF、CS-PF、ICS-PF和DE-PF 4種算法的粒子樣本集與實際值關系，選取粒子個數N為50，過程噪聲uk-1～N(0,1)，測量噪聲vk～N(0,1)，仿真結果如圖11～14所示。

圖11　PF重采樣后的粒子分布Fig.11　Particle distribution of PF after resampling

圖12　CS-PF重采樣后的粒子分布Fig.12　Particle distribution of CS-PF after resampling

圖13　ICS-PF重采樣后的粒子分布Fig.13　Particle distribution of ICS-PF after resampling

從圖11～14可以看出，4種算法中CS-PF重采樣后的粒子空間分布范圍最廣，占據的空間面積最大，其次為ICS-PF算法。CS-PF在多樣性性能方面是最優的，但分布太廣會影響對最優粒子的判斷，無法找到更接近真實值的粒子群體。標準PF算法在重采樣后粒子分布過于集中，說明在重采樣前粒子的權重相差較大，造成采樣后粒子過于聚集。ICS-PF由于采用優選與貪婪相結合的新解選擇機制，促使ICS-PF能更快找到合理的粒子分布。較好地平衡了多樣性與尋優效率之間的關系。

4　結論

(1)布谷鳥算法是一種新型生物群啟發算法，具有結構簡單、控制參數少等優點，但存在易早熟、搜索速率不高等問題。為增加種群的多樣性和搜索效率，引入多策略差分算法來改進布谷鳥算法中的偏好隨機游動搜索策略，并采用輪盤賭原則對Lévy Flight隨機策略和包含多個策略的偏好隨機游動搜索之間進行選擇。同時，采用排隊優選和貪婪原則來選取新解，從而提高了布谷鳥群整體質量。

圖14　DE-PF重采樣后的粒子分布Fig.14　Particle distribution of DE-PF after resampling

(2)將改進的布谷鳥算法引入到粒子濾波中，來解決粒子濾波算法中的粒子貧化問題，使粒子模擬布谷鳥個體，在全局范圍內搜索到更優的位置，促使粒子整體快速分布在真實值附近。仿真表明本文算法能夠增加粒子的多樣性，同時具有較高的魯棒性和估計精度。

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