n個流形的積流形的證明

米雅薇

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

乘積流形是黎曼幾何的一種重要的流形模型，關于乘積流形的子流形的研究一直是黎曼幾何的一個重要研究方向.乘積流形是微分拓撲學的一個重要概念，是對兩個微分流形的拓撲乘積空間上給出適當的微分構造使之成為微分流形的一般方法.積流形是由兩個微分流形的笛卡兒積所生成的流形.要證明2個流形的積流形需要證明2個微分流形在積拓撲空間中滿足四個條件，一是這個流形的坐標卡之集是這個流形的開覆蓋，二是滿足同胚映射，三是相容性，四是覆蓋性.那么我們也可以證明n個微分流形在積拓撲空間中滿足這四個條件，叫作這n個微分流形的積流形.

1　預備知識

定義1[2]如果拓撲空間(M,τ)滿足：

(1)M是A2和T2的拓撲空間，

(2)M是局部歐式的：即對任P∈M，存在P點的開領域V和映射φ，使

φ：V→φ(V)?Rn

是同胚映射，則稱M是n維拓撲流形，φ叫坐標映射，V叫坐標域，(V,φ)叫坐標卡.

定義2[2]n維拓撲流形M上的Ck類微分構造是M上的坐標卡之集

Φ={(Vα,φα)|α∈A(指標集)}

滿足：

(2)相容性：若(Vα,φα)，(Vβ,φβ)∈Φ，當Vα∩Vβ≠?時

與

都是Ck類微分同胚.

(3)最大性：若(V,φ)與Φ中每個坐標卡是Ck相容的，則(V,φ)∈Φ.

定義3[3]n維拓撲流形M帶上Ck類微分構造Φ，則稱(M,Φ)是n維Ck類微分流形.

定理1[4]設(M1,Φ1)和(M2,Φ2)分別是n維和m維C微分流形，在積拓撲空間M1×M2上定義為分結構如下：

Φ={(Vα×Wβ,φα×ψ)|(Vα,φα)∈Φ1,(Wβ,ψβ)∈Φ2)}

其中對任意(v,w)∈V×W∩Vα×Wβ，有

(φα,ψβ)(v,w)Δ(φα(v),ψβ(w))

則(M1×M2,Φ)是m+n維C微分流形，稱為M1和M2的積流形.

2　n個流形的積流形的證明

定理2設(M1,Φ1),(M2,Φ2),…,(Mn,Φn)分別是M1,M2,…,M3維C微分流形，在積拓撲空間M1×M2×…Mn上定義的微分構造如下：

Φ={(Vα1×Vα2×…×Vαn,φα1×φα2×…×φαn)|(Vα1,φα1)∈Φ1,(Vα2,φα2)∈Φ2,…,(Vαn,φαn)∈Φn}其中對任意(v1,v2,…,vn)∈Vα1×Vα2×…×Vαn，有

(φα1,φα2,…,φαn)(v1,v2,…,vn)Δ(φα1(v1),φα2(v2),…,φαn(vn))

則(M1×M2×…×Mn,Φ)是m1+m2+…+mn維C微分流形，稱為M1,M2,…,M3的積流形.

證明：(1)因為M1,M2,…,Mn是A2,T2拓撲空間,所以積拓撲空間M1×M2×…×Mn也是A2,T2拓撲空間.

(φα1×φα2×…×φαn)：Vα1×Vα2×…×Vαn→(φα1×φα2×…×φαn)(Vα1×Vα2×…×Vαn)=φα1(Vα1)×φα2(Vα2)×…×φαn(Vαn)?Rm1×Rm2×…×Rmn=Rm1+m2+…+mn是同胚.

因為

(φα1×φα2×…×φαn)(v1×v2×…×vn)

=(φα1(v1),φα2(v2),…,φαn(vn))

=(x1,x2,…,xn)∈φα1(Vα1)×φα2(Vα2)×…×φαn(Vαn)

并且

=(x1,x2,…,xn)

所以

即

(φα1×φα2×…×φαn)-1(x1,x2,…,x3)=

(3)覆蓋性：因為

所以

(4)相容性：設

都是C映射，從而

是C映射，同理也是C映射.所以(M1×M2×…×Mn,Φ)是m1+m2+…+mn維C微分流形，稱為M1,M2,…,M3的積流形.

參考文獻：

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