某些循環圖能量的下界

徐幼專，周后卿

(1.邵陽廣播電視大學，湖南 邵陽 422000；2.邵陽學院 理學院，湖南 邵陽 422000)

圖的能量來源于理論化學.20世紀 70年代,著名數學化學家I.Gutman[1]提出了簡單圖的能量的概念，將能量定義為圖的特征值的絕對值之和.化學家在研究共軛的碳氫化合物的性質時,發現總π電能與共軛的碳氫化合物形成時所釋放的能量密切相關，而且它過去常常被用來計算共軛烴的共振能量,所得結果和其他較為先進的方法所得到的結果一樣好.于是,我們經常會用計算物質的 總π-電子能量來得到它的能量.在理論化學中,六角系統作為苯環的自然表示是一個很重要的圖類,它的總π-電子能量是其化學構造和其穩定性的一個橋梁,并且在許多領域都有廣泛應用.因此對其拓撲性質中總π-電子能量的研究,不但在理論上而且在實際中也具有重要意義.

π電能的計算最終歸結為其分子圖的所有特征值的絕對值之和[2-4].圖的能量與圖的特征值有關，即與圖譜有關，圖的譜理論與Huckel分子軌道理論之間存在明確的對應關系,如圖的譜對應于分子能級,特征向量對應于分子軌道等等.圖的能量問題實際上是矩陣(鄰接矩陣，拉普拉斯矩陣，距離矩陣等等)的特征值問題，而特征值問題是矩陣理論的一個主要研究對象[5,6]，許多科學與工程問題最終都轉化成特征值問題來解決.因此，依據矩陣理論來研究圖的能量是一個常用的研究方法.循環圖是一類重要的圖，它具有結構穩定的特點，許多化學分子式就是具有6個頂點的循環圖的復制粘合疊加.

1　有關能量下界的一些結論

McCLELLAND[10]利用頂點、邊和行列式，證明了下列結論：

如果G是一個具有n頂點m條邊，鄰接矩陣為A的簡單圖，則G的能量滿足

對于二部圖，GUTMAN[11]改寫了上述下界，獲得了下列結果：

CAPOROSSI[12]等人發現了一個簡單的下界，只與邊有關，他們證明了

DAS[13]等人改進了文獻[10]的下界，他們推出了下列結論：

等式成立當且僅當G與完全圖Kn同構.

利用矩陣特征值，FATH-TABAR[14]等人給出了下界：

MILOVANOVIC[15]等人獲得了下列結果：

DAS[16]等人在此基礎上有所改良，若|λ1|≥|λ2|≥…≥|λk|(kn)，他們證明了

本文研究循環圖能量的下界.

2　有關循環圖的背景

一個圖G稱為循環圖,如果它的鄰接矩陣是一個循環矩陣,它是循環群上的Cayley 圖.

設循環圖G(n,S)的鄰接矩陣為

由于A是實對稱矩陣，因此A的特征值為實數.從而在(1)式中有

所以,循環圖的特征值為

假設S={n1,n2,…,np}，ni∈{1,2,…,n-1},則G(n,S)是一個度為p的正則圖,因此在c0,c1,…,cn-1中，只有p個元素等于1，其余的均為0.顯然c0=0,從而有

(2.1)

其中,n1,n2,…,np分別表示它們在矩陣中所處的列數.

3　定理及證明

下面，我們證明本文的定理.

定理1若G(n,S)是一個具有n個頂點的3-循環圖(即3度循環圖)，則

證明假設G(n,S)是一個具有n個頂點，m條邊的3度循環圖.由3n=2m可知，n一定為偶數，S的形式一定為S={a,n/2,n-a}(1a

所以，

則 1)當n為偶數時，

2)當n為奇數時，

證明假設G(n,S)是一個具有n個頂點，m條邊的4度循環圖.由4n=2m可知，n可為偶數也可為奇數.由(2.1)可知，此時的循環圖的特征值為

顯然λ0=4.于是，我們可推出該循環圖的能量

1)當n為偶數時，

從而推出

2)當n為奇數時，

所以，

例如，取n=20,S={2,6,14,18}時,對于循環圖G(20,S)，直接求得它的特征值譜為Sp(G)={42,18,-18,-42}.所求能量為E(G(20,S))=32.

用定理2來求，則有

顯然成立.

若取n=13,S={1,2,11，12}時，對于循環圖G(13,S)，直接求得它的特征值譜為Sp(G)={4,2.907 02,0.426 92,-0.170 92,-1.256 02,-1.700 82,-2.206 22}.所求能量為E(G(13,S))=21.335 6.

再利用定理2來求，

定理3若G(n,S)是一個頂點為n的r-循環圖,S={n1,n2,…,nr}，1n1<…

2)當r為偶數時，

證明1)若r為奇數,顯然頂點數n必為偶數,則有

n1+nr=…=n(r-1)/2+n(r+3)/2=2n(r+1)/2=n

由(2.1)式有

于是，得到循環圖的能量為

2)若r為偶數,n可為偶數也可為奇數.因為n1+nr=…=nr/2+n(r+2)/2=n，

從而，推出循環圖的能量為

于是，定理得到證明.

參考文獻：

[1]GUTMAN I.The energy of graph[J].Ber.Math.Statist.Sckt.Forschungsz.Graz,1978(103)：1-22.

[2]GUTMAN I,RADENKOVIC S,DORDEVIC S,et al.Totalπ-electron and HOMO energy[J].Chemical Physics Letters,2016(649)：148-150.

[3]GUTMAN I.Total π-electron energy of conjugated molecules with non-bonding molecular orbitals[J].Zeitschrift für Naturforschung A,2016(71)：161-164.

[4]GUTMAN I,RADENKOVIC S,DORDEVIC S,et al.Extending the McClelland formula for totalπ-electron energy[J].Journal of Mathematical Chemistry,2017(6)：1-7.

[5]劉麗波.塊復合矩陣之塊C-特征向量的若干性質[J].吉林化工學院學報,2014(7)：79-81.

[6]徐長玲.塊特征值的包含域[J].吉林化工學院學報,2015,32(8)：50-52.

[7]LI X L,SHI Y T,GUTMAN I.Graph Energy[M].New York,Springer-Verlag,2012.

[8]MILOVANOVIC I Z,MILOVANOVIC E I,GUTMAN I.Upper bounds for some graph energies[J].Applied Mathematics and Computation,2017(289)：435-443.

[9]GUTMAN I,FURTULA B.Survey of graph energies[J].Mathematics Interdisciplinary Research,2017(2)：85-129.

[10] McCLELLAND B J.Properties of the latent roots of a matrix：The estimation ofπ-electron energies[J].The Journal of Chemical Physics,1971(54)：640-643.

[11] GUTMAN I.Bounds for totalπ-electron energy[J].Chemical Physics Letters,1974(24)：283-285.

[12] GAPOROSSI G,CVETKOVIC D,GUTMAN I.Variable neighborhood search for extremal graphs.2.Finding graphs with extremal energy[J].Journal of Chemical Information and Computer Sciences,1999(39)：984-996.

[13] DAS K C,MOJALLALL A,GUTMAN I.Improving McClelland’s Lower Bound for Energy[J].MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry,2013(70)：663-668.

[14] FATH-TABAR G H,ASHRAFI R.Some remarks on Laplacian eigenvalues and Laplacian energy of graphs[J].Mathematical Communications,2010(5)：443-451.

[15] MILOVANOVIC I Z,MILOVANOVIC E I,ZAKIC A.A short note on graph energy[J].ˇMATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry,2014(72)：179-182.

[16] DAS K C,ELUMALAI S.On Energy of Graphs[J].MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry,2017(77)：3-8.

[17] SHPARLINSKI I.On the energy of some circulant graphs[J],Linear Algebra and its Applications,2006(414)：378-382.

[18] DAVIS P.Circulant Matrices[M].New York,John Wiley & Sons,1979.