時滯分布參數系統中和控制器設計

周筆鋒 羅毅平

實際生活中許多物理系統都具有時空特性,例如熱擴散、流體換熱器、化學工程、旋轉梁、可變幾何形狀靜電微致動器、集成和消防神經元等[1?7],其行為必須依賴于時間和空間位置,這些系統的時空過程被稱為分布參數系統(Distributed parameter systems,DPSs).為了更好地研究此類系統,根據能量守恒定律,通常構建擬線性拋物型偏微分方程(Quasi-linear parabolic partial differential equation)或擬線性拋物型偏微分–積分方程(Quasilinear partial differential-integral equations).構建擬線性拋物型偏微分方程研究分布參數系統穩定性一直是國內外相關領域學者的重點研究課題[8?15].

文獻[8]針對擬線性拋物型偏微分方程設計控制器,利用Lyapunov穩定性定理結合線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)計算方法,得出了分布參數系統指數穩定控制器存在的充分條件.文獻[9]針對一類同時具有變時滯和連續分布時滯的分布參數系統的狀態反饋控制問題進行了研究,通過選擇適當的Lyapunov-Krasovskii函數,采用LMI方法,得到了變時滯閉環系統漸近穩定的一個充分條件.文獻[10]針對具有時滯性的拋物型偏微分方程,利用滑模控制(Sliding mode control,SMC),研究了系統的穩定性.文獻[11]針對一類具有耦合性質的時滯分布參數系統,構建擬線性拋物型偏微分方程并結合Lyapunov穩定性定理,研究了系統節點的同步問題.文獻[12]針對工藝參數未知的化學分布參數系統,構建半線性偏微分方程,利用Lyapunov穩定性定理,研究了其自適應輸出反饋控制問題.文獻[13]基于邊界觀測和邊界控制,針對擴散拋物型偏微分方程,運用自適應控制方案,研究了系統的同步穩定性.

分布參數系統分布式控制是針對分布參數系統中的狀態變量設計控制器,達到控制的目的.這種方法的好處在于控制器設計簡單,但實際應用中有一定難度.考慮現實生活中存在另一類控制方法,例如工廠的工業廢水處理,工業廢水中污染物的種類較多,較常見的有酸堿污染物,對于工業廢水,在進入河道之前需進行一系列處理.對于工業廢水中的酸堿污染物,比較常用的方法是用相對應的化學物質進行中和.例如對于酸性污水需用堿性物質來中和,首先,溶液中酸性離子的分布可以看成一個分布參數系統,因為其濃度不是均勻分布的;其次,在中和過程中,滲入工業廢水中的堿性離子的擴散也可以看作是一個分布參數系統,對于不同的時間,不同的位置,堿性離子的密度不盡相同,若添加了過量的堿性物質,污水又將呈現堿性,污染環境;若堿性物質的量過少,則存在部分酸性離子不能中和,同樣對環境存在危害.基于此,若將堿性物質在工業廢水中的擴散現象構建成一個合適的分布參數系統,用偏微分方程描述,在構建的系統中同時考慮酸性離子對堿性物質的影響,將堿性物質作為控制酸性離子的控制器,這種控制方法稱為中和控制.

在實際系統中,時滯現象普遍存在[9?11,16?18],在系統的信息傳遞和信號檢測過程中通常具有滯后現象.因此,從時滯分布參數系統出發,設計中和控制器,研究時滯分布參數系統的中和控制就顯得尤為重要.基于此,本文針對具有變時滯特性的分布參數系統,設計中和控制器,討論此類系統的穩定問題.利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI處理方法,得出了具有時滯特性分布參數系統穩定中和控制器存在的充分條件.最后結合所給條件,給出一個數值仿真說明其有效性.

1 問題描述

考慮下列具有時滯特性的分布參數系統

將系統變為矩陣形式,即為

其中,(x,t)∈?×R+,Da>0,τ為時滯,A0=為常數矩陣,? ={x,|x|0(mes?表示?的測度),U(x,t)=(u1(x,t),···,un(x,t))∈Rn為控制輸入,狀態變量為Laplace擴散–吸收算子,系統初始邊界條件為

或

其中,n為Θ的單位外法向量,ψ(x,t)為適當光滑的函數.

為使系統(1)達到穩定,設計如下中和控制器

將控制系統(6)變為矩陣形式,即為

或

其中,n為Θ的單位外法向量,?(x,t)為適當光滑的函數.

引理1(Schur complements)[19].對于給定的對稱矩陣,以下三個條件是等價的:

引理2[20].設?∈Rn是邊界Θ內的光滑有界區域,n為Θ的單位外法向量,G??為一光滑子域,若,則

2 主要結論

本文的目標是設計控制器使系統達到穩定狀態.將設計的中和控制器(7)作用于系統(2),得到如下閉環系統.

其中,

定理1.在給定參數條件下,若存在矩陣Y,W,S1n,S2n∈Rn×n為正定對稱矩陣,矩陣M,D,X1,X2,X3,X4∈Rn×n滿足以下矩陣不等式

其中

則構建的中和控制器使系統鎮定.

證明.構造李雅普諾夫函數為

所以若存在不等式

成立,則

由矩陣不等式(16)求解控制器時,控制器參數K,Bc,Bc1,Bc2包含在矩陣H和矩陣G中不能被求出,所以接下來的目的是求解控制器參數.

首先,將矩陣P,S分區,定義:

其中,Y,W是正定對稱矩陣,D,M∈Rn×n是可逆矩陣,且PP?1=I

定義兩個矩陣

有

由式(18)～(22),根據Schur補定理及所給條件可得定理成立.□

推論1.對于系統(1),若取時滯τ=0,則系統變為

則可構造控制器為

在給定參數條件下,若存在矩陣Y,W∈Rn×n為正定對稱矩陣,矩陣M,D,X1,X2,X3∈Rn×n滿足以下矩陣不等式

其中

則構建的中和控制器使系統鎮定.

證明.構造李雅普諾夫函數為

后續參考定理1的證明.□

注1.本文針對一類具有時空特性的分布參數系統提出了中和控制方法.這類系統的控制許多學者進行了研究,主要是用分布式控制設計控制器,例如文獻[8?11]等.我們采用完全不同的設計思想,在相應的時空上設計控制器,控制器形如式(6)和式(7),利用設計的分布參數系統控制目標分布參數系統,控制過程為設計的分布參數系統自行運動的過程.當知道控制系統的模型時,這種控制方法在實際應用中容易實現,此控制方法最大優點在于不用對狀態點進行直接控制.

3 數值仿真

為了說明問題,考慮如下分布參數系統及控制系統

對分布參數系統,m=1,n=2,系統參數Da;取時滯τ=1,應用定理1提出的方法,Dc=1.8,通過MATLAB軟件中的LMI工具箱,可以得到控制系統參數.

給定系統的初始條件

圖1和圖2是系統狀態和控制系統的狀態圖.從圖1和圖2可以看出,系統在控制器的作用下,經過一段時間后可達到穩定狀態.

4 結束語

本文首先給出中和控制器設計思路,針對具有時滯特性的分布參數系統,設計中和控制器,討論此類系統的穩定問題.利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI處理方法,得出了具有時滯特性分布參數系統穩定中和控制器存在的充分條件.最后結合所給條件,給出一個數值仿真說明其有效性.

圖1 分布參數系統W(x,t)狀態圖Fig.1 The state of distributed parameter systemsW(x,t)

圖2 控制系統χ(x,t)狀態圖Fig.2 The state of controllerχ(x,t)