傾斜軌道對地指向小衛(wèi)星對日跟蹤姿態(tài)控制算法

劉燎 孫華苗 李立濤 張迎春,

(1 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳 518064) (2 哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001)

衛(wèi)星采用傾斜軌道，可在不同的時間段(包括夜間)對地面進行觀測，因此對實現(xiàn)某種特定的任務目標具有更多的優(yōu)勢[1]。由于升交點赤經漂移和地球繞太陽公轉運動，傾斜軌道上太陽光和軌道面夾角的變化要比太陽同步軌道復雜，太陽電池陣的在軌光照條件比較惡劣[2]，例如軌道高度900 km、45°傾角的圓軌道，軌道太陽角在±68°之間變化[3]，對衛(wèi)星的熱控設計和太陽電池陣的充電等帶來了挑戰(zhàn)[4-5]。目前，傾斜軌道也成為小衛(wèi)星經常采用的軌道，而小衛(wèi)星一般采用固定安裝太陽電池陣的構型[6]，導致對地定向姿態(tài)時光照條件比較惡劣，因此必須尋求其他解決方案。

文獻[7]中對傾斜軌道光照特性進行了深入分析，并分別提出慣性定向和對地定向2種航天器太陽電池陣對日跟蹤的方法。文獻[8]中針對傾斜軌道衛(wèi)星太陽電池陣對日定向問題，提出了一種最優(yōu)偏航角計算方法，對每個軌道太陽角計算出一個最優(yōu)的偏航角ψ，使衛(wèi)星偏航軸根據每軌太陽方向矢量符號分別偏置±ψ，再配合單軸驅動太陽電池陣，即可保證得到比較優(yōu)化的光照條件。以上方法均具有一定的優(yōu)越性，但是要配置單自由度太陽電池陣驅動機構，并不適用于采用固定安裝太陽電池陣形式的小衛(wèi)星對日姿態(tài)控制。文獻[9]中從規(guī)避太陽光的角度對傾斜軌道小衛(wèi)星機動方案進行設計，提出了平臺偏航姿態(tài)機動方案，對小衛(wèi)星采用姿態(tài)機動實現(xiàn)太陽跟蹤有一定的借鑒價值，但是該方案只是偏置一定角度，無法實現(xiàn)太陽電池陣對太陽光的實時跟蹤。對于任務要求是對地指向的小衛(wèi)星，在滿足對地指向條件下，要使太陽電池陣獲得最優(yōu)的光照條件，采用偏航軸姿態(tài)機動，從而實現(xiàn)太陽跟蹤控制，是可行的解決方法。

本文研究了對地指向小衛(wèi)星的期望姿態(tài)，對太陽電池陣法線和太陽方向矢量的關系進行數(shù)學建模，推導了最優(yōu)偏航角、角速度和角加速度，設計了控制律，并對其穩(wěn)定性進行分析；最后通過實例仿真驗證了控制律的有效性，證明姿態(tài)控制算法能實現(xiàn)太陽電池陣對太陽的實時跟蹤，最大程度地滿足太陽電池陣的充電需求。

1 姿態(tài)控制算法

在對地指向小衛(wèi)星姿態(tài)控制中，參考坐標系一般選定為軌道坐標系(ORC)，記為OXoYoZo，衛(wèi)星本體坐標系(SBC)記為OXbYbZb，若衛(wèi)星本體坐標系與軌道坐標系的姿態(tài)偏差為零，則2個坐標系的坐標軸重合，衛(wèi)星本體坐標系、軌道坐標系與地球的

關系如圖1所示。

在保證對地指向小衛(wèi)星滿足+Zb軸對地約束下，對太陽方向矢量和太陽電池陣法線的相對關系進行建模。通過推導，得出姿態(tài)運動中期望的偏航角、角速度和角加速度，對姿態(tài)進行規(guī)劃，使對地指向小衛(wèi)星在運行中始終保持太陽電池陣和太陽方向矢量的夾角最小，保證太陽電池陣最優(yōu)的光照條件。對姿態(tài)控制算法進行控制律設計，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論[10]對控制穩(wěn)定性進行證明。

1.1 數(shù)學建模

軌道太陽角β定義為太陽方向矢量和軌道面的夾角，偏向軌道法線方向為正。太陽方向單位矢量vs和太陽電池陣法線方向單位矢量vn在軌道坐標系下的關系示意，見圖2。其中：ψ為小衛(wèi)星偏航角；α為vn與軌道坐標系-Zo軸的夾角，通過偏航控制，vn形成一個繞軌道坐標系-Zo軸、半錐角為α的圓錐面；γ為vs與軌道坐標系-Yo軸的夾角；θ為vs在軌道坐標系XoOZo面內的投影與軌道坐標系+Zo軸的夾角，隨著衛(wèi)星在軌道上運動，vs形成一個繞軌道坐標系-Yo軸、半錐角為γ的圓錐面；η為vs和vn之間的夾角。

對地指向小衛(wèi)星需要本體坐標系+Zb軸穩(wěn)定對地，隨著小衛(wèi)星在軌道上運動，太陽方向在軌道坐標系中不斷變化，通過小衛(wèi)星的偏航機動可實現(xiàn)太陽電池陣最優(yōu)的對日定向。當η>α+γ時，如圖2(a)所示，2個圓錐無交線，太陽電池陣無法實現(xiàn)準確對日，只能以最優(yōu)夾角盡可能對日；當η≤α+γ時，如圖2(b)所示，2個圓錐有2個交點A和B，或者1個交點，通過偏航機動即可實現(xiàn)太陽電池陣對日定向。

vs·vn=cosη=f(ψ)

(1)

當f(ψ)取最大值時，太陽電池陣法線方向和太陽方向夾角最小，太陽電池陣受照情況最優(yōu)。

f(ψ)取極值的必要條件為

df(ψ)/dψ=-sinα(sinγsinθsinψ+cosγcosψ)=0

(2)

因此

sinγsinθsinψ+cosγcosψ=0

(3)

或者

sinα=0

(4)

式(4)成立時，α=0或π，式(2)直接為零，無法找出最優(yōu)的偏航角，因此僅對式(3)中的情況進行分析。當式(3)為零，即f(ψ)取得極值的充分條件為

(5)

f(ψ)的二階導數(shù)為

(6)

當ψ=π/2+arctan(tanγsinθ)時，可得

(7)

當ψ=-π/2+arctan(tanγsinθ)時，可得

(8)

對情況②進行分析，情況③類似。

tan(ψ+π/2)=tanγsinθ

(9)

式(9)對時間求導，可得

(10)

由式(10)可得偏航角速度為

(11)

式(11)對時間求導,可得偏航角加速度為

(12)

1.2 控制律設計

將小衛(wèi)星看成剛體，為了簡化控制律設計，假設小衛(wèi)星的執(zhí)行機構為3個互相垂直的反作用飛輪，則小衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程為

(13)

(14)

式中：I為小衛(wèi)星相對質心的慣性張量；ωbi為小衛(wèi)星相對慣性坐標系(J2000坐標系)的角速度在本體坐標系中的分量；h為小衛(wèi)星反作用飛輪的角動量；Nd為小衛(wèi)星在軌受到的干擾力矩，包括重力梯度力矩、氣動力矩、太陽光壓力矩等；Nw為作用在小衛(wèi)星反作用飛輪上的控制力矩。

D(ωbi-ωc)+Kqvec

(15)

姿態(tài)控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程為

(16)

小衛(wèi)星相對慣性坐標系下的姿態(tài)角速度與參考坐標系下的姿態(tài)角速度的差記為ωe=ωbi-ωc，則式(16)可轉化為

(17)

利用Lyapunov直接法證明此控制的漸近穩(wěn)定性。令Lyapunov函數(shù)為

(18)

式(18)對時間求導可得

(19)

由姿態(tài)運動學方程可得

(20)

可得

(21)

當k>0且D正定時，式(18)是正定的，式(21)是負定的，根據穩(wěn)定性定理，該控制率在Lyapunov意義下是漸近穩(wěn)定的。

2 實例驗證

仿真中采用45°低傾角圓軌道，軌道高度為900 km，軌道半長軸為7 278.14 km，軌道周期為102.99 min，發(fā)射時間設為2018年5月1日12：00。在1年時間里，軌道太陽角在±68°之間變化；最大地影時間小于35 min，相應最大星食因子小于34%。太陽電池陣法線方向單位矢量在小衛(wèi)星本體坐標系中的坐標為(0.939，0.000，-0.342)，即太陽電池陣法線在本體坐標系XbOZb平面內，由+Xb軸向-Zb軸方向偏轉20°。在太陽電池陣上安裝一個小型太陽敏感器，用于測量太陽方位，其測量示意見圖3。太陽敏感器可輸出太陽方向矢量在兩維方向的入射角αs=arctan(X/F),βs=arctan(Y/F)，其中X和Y分別為光斑中心至光學零位像元的距離，F(xiàn)為光縫至光敏面的垂直距離，根據太陽敏感器的測量模型[tanαs,tanβs,1.0]，可解算出太陽方向矢量在太陽敏感器坐標系(OXsYsZs)的分量，安裝上使太陽敏感器的+Zs軸與太陽電池陣法線方向一致，+Xs軸位于小衛(wèi)星本體坐標系XbZb平面內，因而太陽敏感器的輸出角βs與衛(wèi)星的偏航角ψ是一致的。

軌道光照條件如圖4和圖5所示，對地指向小衛(wèi)星太陽電池陣法線方向單位矢量與太陽方向單位矢量的夾角如圖6所示。可以看出：太陽電池陣的光照條件比較惡劣，不能滿足充電需求。

采用本文的對日跟蹤姿態(tài)控制算法，期望的偏航角速度如圖7所示，仿真結果如圖8～11所示。由圖7可以看出：軌道太陽角趨向于零時，期望的偏航角速度趨向于無窮大，本文的控制率已無法滿足對日跟蹤需求，需要其他的對日跟蹤策略。由圖8和圖9可以看出：太陽敏感器輸出角βs為零，在滿足對地指向下，通過偏航機動保持最優(yōu)的對日跟蹤狀態(tài)，能大大改善太陽電池陣的光照條件。由圖10和圖11可以看出：衛(wèi)星偏航姿態(tài)控制精度可達0.6°，能滿足一般對地指向小衛(wèi)星的控制精度需求，同時小衛(wèi)星能很好地實現(xiàn)對日跟蹤姿態(tài)控制，極大地改善太陽電池陣的光照條件。

3 結束語

本文研究了對地指向小衛(wèi)星對日跟蹤姿態(tài)控制問題，在滿足小衛(wèi)星+Zb軸對地約束下對太陽方向矢量和太陽電池陣法線方向矢量的相對關系進行數(shù)學建模，通過數(shù)學推導得出了小衛(wèi)星姿態(tài)運動中期望的偏航角、角速度和角加速度，通過對姿態(tài)進行規(guī)劃，滿足對地指向小衛(wèi)星運行中始終保持太陽電池陣和太陽光照的夾角最小，獲得最優(yōu)的光照條件。對姿態(tài)控制算法進行控制律設計，設計了帶前饋的姿態(tài)四元數(shù)和角速度聯(lián)合狀態(tài)反饋姿態(tài)控制律，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對控制器的穩(wěn)定性進行證明，通過數(shù)值仿真得到了對地指向小衛(wèi)星通過偏航機動進行對日跟蹤姿態(tài)控制的仿真結果，偏航控制精度在0.6°以內，能很好地滿足小衛(wèi)星太陽電池陣的光照條件。該姿態(tài)控制律可以廣泛地應用于對地遙感、通信等衛(wèi)星的姿態(tài)控制中。當軌道太陽角趨向于零時，期望的偏航角速度趨向于無窮大，本文的控制率已無法滿足對日跟蹤需求，需要其他的對日跟蹤策略，可作為下一步研究的目標。

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