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巧添圓 妙解題

2018-04-25 01:33:36汪國銀
初中生世界 2018年15期
關鍵詞:解題

汪國銀

通過挖掘題目中的隱含條件,恰當地構造輔助圓,我們能夠巧妙地解決一些看似復雜的直線型問題.構造輔助圓解題的關鍵是要善于發現隱含于題中與圓有關的信息,抓住題目的特征,進而拓寬解題思路.

一、依據圓的定義,添加輔助圓

例1 如圖1,若AB=OA=OB=OC,則∠ACB的大小是( ).

圖1

A.40° B.30° C.20° D.35°

【分析】從表象上看,本道題是普通的直線形問題,而事實上圖中角與角之間的關系比較復雜,解答的難度很大.如果由條件OA=OB=OC聯想到圓的定義,以點O為圓心,以OA長為半徑作圓,問題便迎刃而解了.

【解析】如圖2,以點O為圓心,以OA長為半徑作圓.

圖2

∵AB=OA=OB,

∴△ABO是等邊三角形,

∴∠AOB=60°,

【點評】當遇有公共端點的等線段長時,我們通常以公共端點為圓心,等線段長為半徑,構造輔助圓.

二、從圓的性質入手,構造輔助圓

圓的性質主要集中在圓周(心)角、弧、弦(直徑)等對象之間的相互關系上,因此在解決有關角、線之間的問題時,我們可考慮添加輔助圓,運用圓的性質尋找解題的方法.

1.從圓周角“動而不變”的特征入手.

例2 如圖3,在△ABC中,AB=2,∠C=30°,則△ABC的面積最大值為______.

圖3

【分析】因為△ABC的底AB=2為定值,所以要使△ABC的面積取最大值,需滿足AB邊上的高最大(即點C到AB的距離最大),而條件“∠C=30°”表明“∠C的頂點位置改變,但大小不變”,根據這一特性,我們可以作△ABC的外接圓,當AB邊上的高CD經過圓心O時,高CD最大,因而△ABC的面積最大值.

【解析】如圖4,作△ABC的外接圓,當高CD經過圓心O時△ABC的面積最大.

圖4

連接OA、OB,

∵∠C=30°,

∴∠AOB=60°,

∵OA=OB,OD⊥AB,

∴OD=AD·tan60°=3,

∴CD=CO+OD=2+3,

故答案為2+ 3.

【點評】挖掘題中隱藏的某個角具有“頂點位置改變而其大小不變,即‘動而不變’”這一特性,據此添加合適的輔助圓來解決問題.

2.從直角與直徑之間的關系入手,巧添輔助圓.

例3 如圖5,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,P是△ABC所在平面內一點,且滿足PA⊥PB,則PC的取值范圍為______.

圖5

【分析】根據條件可知線段AB是定值且AB所對的張角∠APB是90°,根據直徑所對圓周角為直角可知,動點P的運動軌跡在過點A、B、P三點的圓周上(不與A、B重合),設AB中點為O,連接CO并延長,分別交圓O為P1、P2,P的位置在P1處最小,P2處最大,據此求解可得.

【解析】∵PA⊥PB,即∠APB=90°,AB=BC=2,

圖6

∴點P在以AB為直徑、AB的中點O為圓心的O上,如圖6,連接CO交⊙O于點P1,延長CO交⊙O于點P2,CO=,由圖可知,P1C≤PC≤P2C.

∴ 5-1≤PC≤ 5+1.

【點評】利用90°的圓周角所對的弦是直徑,以斜邊為直徑,構造輔助圓.

3.從四邊形對角都是90°或對角互補入手.

例 4 如圖 7,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,點D為邊BC的中點,點M為邊AB上的一動點,點N為邊AC上的一動點,且∠MDN=90°,則cos∠DMN為( ).

圖7

【分析】線段MN所對的∠MAN、∠MDN都等于90°,且∠MAN+∠MDN=180°,聯想到“圓的內接四邊形的對角互補”,構造以MN為直徑的圓,則可證點A、M、D、N四點共圓,連接AD,易證∠DMN=∠DAN=∠C,問題便迎刃而解.

【解析】如圖,連接AD,

圖8

∵∠A=90°,AB=6,AC=8,

∵點D為邊BC的中點,

∴DA=DC=5,

∴∠1=∠C,

∵∠MDN=90°,∠A=90°,

∴點A、D在以MN為直徑的圓上,

∴∠1=∠DMN,

∴∠C=∠DMN,

故選A.

【點評】利用構造輔助圓解決問題,有助于我們很快找到符合要求的線段或角,使問題得到巧妙解決.

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