吃一塹長一智

徐永軍

易錯點1：未分類思考

例1 若一個點到圓上的點的最小距離為4cm，最大距離為10cm，則該圓的半徑是____cm.

【錯解】7cm.

【正解】3cm或7cm.

【錯解辨析】有兩種情況：（1）當此點在圓內時，如圖1所示，半徑OB=（PA+PB）÷2=7；（2）當此點在圓外時，如圖2所示，半徑OB=（PB-PA）÷2=3.故該圓的半徑為3cm或7cm.所以求解點與圓位置關系時要注意分類討論思想的運用.

圖1

圖2

例2 已知半圓O的半徑為R，M為其直徑AB上一點，過點M作PM⊥AB交半圓于點P，且，則AM=_______.

【錯解辨析】本題沒有圖，所以要注意點M在半徑OA上和在半徑OB上的兩種情形：（1）點M在圓心O與點A之間（如圖3所示）；（2）點M在圓心O與點B之間（如圖4所示）.

圖3

圖4

易錯點2：對題意理解不清

例3 如圖5，已知⊙O的直徑為10，點P是⊙O內一點，且OP=3，則過點P且長度為整數的弦的條數是（ ）.

圖5

A.1 B.2 C.3 D.4

【錯解】C.

【正解】D.

【錯解辨析】過點P且與OP垂直的弦的長度為8，它是最短的弦，只有一條；過點P的直徑是最長的弦，長度為10，只有1條；過點P且長度為9的弦有2條.這樣過點P且長度為整數的弦共有4條.錯解的原因在于可能漏掉了最短的弦或最長的弦（直徑）.

易錯點3：考慮問題不全面

例4 平面上的A、B、C三點，若經過這三點作圓，則作出的圓有（ ）.

A.0個 B.1個 C.1個或0個 D.無數個

【錯解】B.

【正解】C.

【錯解辨析】由于三點可能在同一條直線上，也有可能不在同一條直線上，因此需要分情況加以討論，即作出的圓有1個或0個.

例5 已知⊙O的直徑為6，P為直線l上一點，OP=3，那么直線l與⊙O的位置關系為________.

【錯解】相切.

【正解】相交或相切.

【錯解辨析】錯因：誤將OP長當成距離.如圖6所示，d=r；如圖7所示，d＜r.直線與圓相切是指圓心到直線的距離等于半徑，這里OP=3并不一定是圓心O到直線l的距離.

圖6

圖7

易錯點4：不能準確根據圓的半徑確定符合條件的圓的個數

例6 已知點A、B，經過A、B兩點作圓，則半徑為2cm的圓有_______個.

【錯解】2個.

【正解】2個、1個或0個.

【錯解辨析】本題應分為三種情況：（1）如圖8所示，當AB＜4cm時，能作2個圓，圓心在AB的垂直平分線上；（2）如圖9所示，當AB=4cm時，只能作出一個圓，圓心為AB中點，AB為直徑；（3）當AB＞4cm時，不能作圓.

圖8

圖9

易錯點5：對畫圖時的多種情況掌握不熟，從而丟解

例7 已知點O是鈍角三角形ABC外接圓的圓心，則∠A與∠BOC的數量關系為____ .

【錯解辨析】錯解未弄清楚哪個角是鈍角，如圖 10所示，當∠A為鈍角時，∠A=180°-OC.若∠ABC（或∠ACB）為鈍角，如圖11所示，BOC.解答此題的關鍵是把所有符合題意的圖形畫出來.

圖10

圖11

易錯點6：求圓周角的度數時易丟解

例8 已知⊙O的半徑為2，A、B、C為⊙O上的三點，且BC=23，求∠A的度數.

圖12

圖13

【錯解】如圖12所示，連接BO并延長交⊙O于點D，連接CD，則BD=4.

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，∴∠A=60°.

【正解】分兩種情況討論.（1）當點A在BC所對的優弧上時，如圖12所示，連接BO并延長交⊙O于點D，連接CD，則BD=4.

∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，∴∠A=60°.

（2）當點A在BC所對的劣弧上時，如圖13所示，連接BO并延長交⊙O于點D，連接CD，則BD=4.

∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，

∴∠A=120°.

綜合（1）（2）得∠A的度數為60°或120°.

【錯解辨析】很多同學只考慮了點A在BC所對的優弧上的情況，忽略了點A還有可能在弦BC所對的劣弧上.在同圓中，當一條弦所對的兩個圓周角在弦同側時，它們相等，在弦異側時，它們互補.

易錯點7：錯用弧、弦之間的關系

圖14

A.AB＞2AM

B.AB=2AM

C.AB＜2AM

D.AB與2AM的大小關系不能確定

【錯解】B.

【正解】C.

【錯解辨析】在?各選項中，AB與AM均指的是弦長，而“M為的中點”指的是弧的數量關系，兩者不能一概而論.?

又∵AM+BM＞AB，

∴2AM＞AB，即AB＜2AM.

易錯點8：忽視圓心與角的位置關系

例10 已知AB是⊙O內接正方形的一邊，AC是⊙O內接正三角形的一邊，則∠BAC=_______.

【錯解】75°.

【正解】75°或15°.

【錯解辨析】錯解只考慮了圓心在∠BAC內部的情形，如圖15所示，連接OA，OB，OC，因為AC、AB分別為⊙O內接正三角形和內接正方形的邊，所以∠AOC=120°，∠AOB=90°，此時∠CAO=∠ACO=30°，∠OAB=∠OBA=45°，所以∠CAB=75°.而當圓心在∠CAB外部時，如圖16所示，連接OA，OB，OC，則∠CAB=15°.解決此題的關鍵是弄清圖形的不同情況，再利用正多邊形的有關知識進行求解.

圖15

圖16

“圓”的學習過程中要注意對概念的辨析，加深對圖形的認識，考慮問題一定要全面細致.以上是對同學們在解決圓有關問題時容易出錯的環節的一些總結和思考，希望能為同學們的學習提供參考.