三角形邊框和三角形薄板的重心

于正榮 徐文杰

(1. 鹽城市伍佑中學,江蘇 鹽城 224041； 2. 鹽城市教育科學研究院,江蘇 鹽城 224001)

高一物理教材(人教版課程標準實驗教材必修1)“重力 基本相互作用”一節的“問題和練習”中有這樣一道習題.

幾何學中把三角形三條中線的交點叫做重心．物理學中也有重心的概念．均勻的三角形薄板的重心是不是與幾何學上的重心位于同一點上?請你通過以下實驗做出判斷:首先作圖把均勻等厚三角形紙板的3條中線的交點C找出來,然后用細線懸吊三角形紙板的任意位置,看懸線的延長線是否通過C點．

這個問題本身并不困難,學生只要動手做一下,就能得到這兩個重心大致重合．但仍有一些學生提出疑問:實驗結果雖然支持物理重心與幾何重心重合,但實驗畢竟存在誤差,能否從理論上給與嚴格的證明?筆者注意到,教材配套的教師教學用書僅對該問題給出了肯定的答案,原因并沒有說明．另外,學生進一步提出以下兩個問題: 3個質量相同的小球構成三角形,3球系統的物理重心與三角形的幾何重心是否重合?3根粗細相同的均質細桿構成三角形邊框,三角形邊框的物理重心與三角形的幾何重心又是否重合?針對學生提出的疑問,筆者與學生進行了深入的探究,得到了很有意思的結果,作為本題實驗驗證的補充．

命題1： 3個等質量的小球處于三角形的頂點,3球系統的物理重心與三角形的幾何重心重合．

證明:如圖1所示,3個等質量小球分別位于△ABC的3個頂點．容易理解A、B兩處小球的物理重心位于AB邊的中點D．設D點(即A、B兩球的等效點)和C球的物理重心又位于點G,顯然G點也就是三球系統的物理重心．由于D點相當于集中了A、B兩個球的質量,所以GC的距離是GD的2倍．結合三角形幾何重心的性質——重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1,可見這里的物理重心G實際上也就是△ABC的幾何重心．問題得證．

圖1

命題2： 3根粗細相同的均質細桿構成三角形,3桿系統的物理重心位于由3根細桿的3個中點構成的三角形的內心．

證明:3根均質細桿構成空心邊框△ABC,如圖2所示．設桿單位長度的質量為λ,則3根桿的質量分別為λ·AB、λ·BC和λ·CA．由于細桿的物理重心分別位于各自的中點D、E、F處．因此邊框△ABC的物理重心,與位于點D、E、F且質量分別等于mD=λ·AB、mE=λ·BC、mF=λ·CA的3球△DEF的物理重心重合．

圖2

由于圖2中3球△DEF的小球質量不等,對比圖1中3球△ABC,可以預見,3球△DEF的物理重心與其幾何重心可能不同．下面確定該物理重心的具體位置．

既然D、E兩球的重心位于H點,因此3球△DEF的物理重心一定在∠DEF的角平分線EH上．同樣道理,3球△DEF的物理重心也應在△DEF的其他兩個角的平分線上,因此3球△DEF的物理重心亦即3桿△ABC的物理重心,位于△DEF的三個角平分線的交點——內心．問題得證．

在圖2中,由幾何知識不難看出,△ABC的中線AE與△DEF的中線EJ重合,這兩個三角形的另外兩條中線也對應重合,因此△ABC與△DEF的幾何重心(即圖2中的G點)重合．而對△DEF而言,它的幾何重心G(在中線EJ上)與其內心I(在角平分線EH上)通常并不重合,所以三桿△ABC的物理重心與其幾何重心一般也不重合．

命題3： 均質三角形薄板的物理重心與其幾何重心重合．

證明1: 把三角形薄板分割成無數個三角形空心邊框．如圖3所示,令G點為薄板△ABC的幾何重心,連接AG、BG、CG．在AG、BG、CG邊上各取兩個很近的點A1、A2,B1、B2,C1、C2,使得A1B1∥A2B2∥AB、B1C1∥B2C2∥BC、C1A1∥C2A2∥CA．根據三角形幾何重心的性質可知S△A1B1G=S△B1C1G=S△C1A1G以及S△A2B2G=S△B2C2G=S△C2A2G,對應的面積相減,可得空心三角形A1B1C1-A2B2C2的3個邊框A1B1B2A2、B1C1C2B2、C1A1A2C2的面積相

圖3

等,因此這3條邊框的質量相等．由于邊框寬度非常小,可認為3條邊框的質量分別等效集中于它們的中點D、E、F,如圖4所示．再考察質量相等且分別處于頂點的三球△DEF的物理重心,這與前文命題1的情形完全相同,加之△DEF與△ABC的幾何重心重合．所以三角形空心邊框A1B1C1-A2B2C2的物理重心與△ABC的幾何重心重合．

圖4

以此類推,在圖3中可以連續作出其他三角形空心邊框,它們的物理重心也與△ABC的幾何重心重合,所以整個三角形薄板的物理重心與其幾何重心重合．問題得證．

需要說明的是,圖3中分割而成的一系列空心三角形邊框與圖2中由3根細桿構成的三角形邊框并不相同,盡管它們的邊框寬度都可認為無限窮小．這是因為圖2中的3根桿的寬度始終相同,每根桿的質量僅由其長度決定．圖3中分割而成的三角形邊框的3個寬度雖然都很小(稱之為小量或微元),但并不排斥小量或微元之間仍存在一定的數量關系,這時邊框的質量與邊框長度和寬度都有關系．

證明2:將三角形分割成無數個平行的小梯形．如圖5所示,過薄板△ABC的兩條邊AB、AC作無數個平行于底邊BC的平行線,這樣就把整個△ABC薄板分割成無數個平行于底邊BC的小梯形,如圖5所示．

圖5

由于梯形BCC1B1非常細長,以致B和B1、C和C1近乎重合,因此其物理重心就在BC邊的中點D;同理,梯形B1C1C2B2的物理重心也在B1C1的中點……．顯然,所有這些中點又都處于BC邊上的中線AD上,因此整個△ABC薄板的物理重心就在中線AD上．以此類推,換個方向分割薄板,可推得整個△ABC薄板的物理重心也一定在AB邊和AC邊的中線上,所以三角形薄板的物理重心必定處于這些中線的交點——幾何重心上．問題得證．

參考文獻：

1 羅春焱.對一道幾何證題中輔助線畫法的物理解釋[J].物理教師，2015，36(7)： 94-95.