第32屆全國中學生物理競賽預賽第3題探討

潘 路

(南京航空航天大學附屬高級中學，江蘇 南京 210007)

1 題目

如圖1,一半徑為R的固定的光滑絕緣圓環,位于豎直平面內;環上有兩個相同的帶電小球a和b(可視為質點),只能在環上移動,靜止時兩小球之間的距離為R.現用外力緩慢推左球a使其到達圓環最低點c,然后撤除外力.下列說法正確的是

(A) 在左球a到達c點的過程中,圓環對b球的支持力變大.

(B) 在左球a到達c點的過程中,外力做正功,電勢能增加.

(C) 在左球a到達c點的過程中,a、b兩球的重力勢能之和不變.

圖2

(D) 撤除外力后,a、b兩球在軌道上運動過程中系統的能量守恒.

2 解析

設固定的光滑絕緣圓環的圓心為O;a、b兩球的質量均為m,帶電荷

量均為q;用外力緩慢推左球a使其到達圓環最低點c的過程中,某一狀態(Oa與Oc夾角為α,Ob與Oc夾角為β)時,球b的受力情況如圖2所示,由b球處于平衡狀態知F合=N;連接ab交Oc于點c′.

得

(1)

(2)

(3)

一般位置時，有

(4)

聯立(1)、(3)、(4)式得

(5)

由題設得

α=2θ-β.

(6)

圖3

由(5)、(6)兩式可知，若θ單調減小,則β單調增大,α單調減小.反推可得: 當α單調減小時,θ單調減小,β單調增大;球a緩慢向最低點c靠近時,α單調減小,θ單調減小,由(4)式知F單調增大.所以a、b兩球間距離減小,電場力做負功,電勢能增加;(B)選項正確.

如圖3所示,設初始時a、b兩球的重心為O1;球a到達圓環最低點c時,a、b兩球的重心為O2,兩球間距為x.由幾何關系知

(7)

由三角形相似得

(8)

OO2之間的豎直距離為

(9)

比較(7)、(9)兩式可知球a到達圓環最低點c時兩球的重心位置相比初始時兩球的重心位置升高,兩球的重力勢能之和變大.(C)選項錯誤.

撤除外力后,只有重力和電場力做功,a、b兩球在軌道上運動過程中系統的能量守恒.(D)選項正確.

綜上所述,本題正確選項為(B)、(D).

3 進階研究

設m=1 kg,g=10 m/s2,R=1 m.由前面分析知當α單調減小時,θ單調減小.當αmin=0時,θ最小．最小值可由Mathcad計算如下.

可得

取最低點c所在水平面為重力勢能零勢能面,一般位置時a、b兩球的重力勢能之和為

Ep1=mgR(2-cosα-cosβ).

(10)

取兩帶電小球相距無限遠時電勢能為0,一般位置時a、b兩帶電小球的相互作用電勢能

(11)

聯立(3)、(11)兩式得

(12)

則兩帶電小球的總勢能為

Ep=Ep1+Ep2=mgR(2-cosα-cosβ)+

(13)

圖4 Mathcad代碼

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11