預估稀疏度的壓縮感知超寬帶信道估計算法研究與仿真實驗

王艷芬, 晏子敬, 孫彥景, 李 松

(中國礦業大學 信息與控制工程學院, 江蘇 徐州 221116)

仿真實驗是算法研究的一種有效手段[1-2]。融合最新技術并實現算法仿真,是提高研究生研究能力的有效方法。本文結合研究生“通信信號處理”等課程的教學實踐,以信道估計為切入點,將壓縮感知理論用于超寬帶信道估計,在傳統算法基礎上找出存在的問題和改進方法并進行仿真實驗,說明算法的正確性。

1 實驗設計思想

超寬帶(ultra wideband,UWB)是一種新型短距離、高速率無線通信技術[3],其信道帶寬大、多徑分量多、傳播環境復雜,因此對超寬帶進行信道估計是很有必要的。超寬帶信道估計常用算法——最小二乘(LS)、最小均方誤差估計(MMSE)等都是基于奈奎斯特采樣定理的算法。由于超寬帶信號本身的帶寬比較大,必然會對輸出端硬件的采樣速率有很高的要求，并因此增大系統的成本。

壓縮感知(compressed sensing, CS)是D.L.Donoho等人提出的一種信號采樣新方法,它能夠使用遠低于奈奎斯特采樣定理的采樣速率對信號進行采樣,且壓縮與采樣同時進行,極大地降低了采樣速率,已經得到廣泛的應用[4]。壓縮感知主要是利用稀疏觀測,通過信號重構,從這些觀測的信號中高精度還原信號的全部信息。重構算法的性能是壓縮感知效果好壞的關鍵。目前較為經典的算法有匹配追蹤(MP)算法[5]、子空間追蹤(SP)算法[6]和其他改進算法。

上述算法都需要已知稀疏度,而在超寬帶信道估計中稀疏度是不可預知的。這個問題在稀疏度自適應匹配追蹤(SAMP)算法[7]提出后得到解決,它可以在稀疏度未知的情況下,通過自適應調整步長，對原始信號的稀疏度進行逼近。但是,該算法在初始步長的選擇和步長自適應變換幅度方面是不容易掌控的:過大會導致選擇原子支撐集過大,影響重構效果；過小會導致試探稀疏度次數較多,增加了算法的復雜度。

為此,開發了預估稀疏度的壓縮感知超寬帶信道估計算法(簡稱“改進算法”)仿真實驗,實驗的設計思路是在SAMP算法的基礎上引入稀疏度預估計步驟,在自適應匹配之前快速估計出信號的稀疏度,避免因自適應匹配時步長選擇不合理而導致支撐集選擇不準確,并對信道估計結果產生影響。在挑選原子的方法上,放棄在匹配追蹤算法中普遍使用的內積法,轉而選擇使用更嚴謹的廣義Dice系數準則進行每一階段的最優原子選擇工作,并且在匹配最優原子時引入正則化思想,對原子進行再篩選,最大限度地提高該算法在超寬帶信道估計中的估計準確度。

2 基于壓縮感知的UWB信道估計通信模型

2.1 CS基本原理

壓縮感知方法首先對原始信號進行稀疏表示；然后利用觀測矩陣將稀疏表示后的信號進行降維處理,獲得低維測量值；最后根據重構算法,通過低維度的測量值準確恢復出信號的全部信息。壓縮感知方法是將壓縮與采樣同時進行,在大大降低采樣速率的同時,保證不丟失原始信號所包含的信息[8]。

原始信號X可以看作是在WN空間中N×1維列向量,一般情況下存在一個稀疏矩陣Ψ,使得X在Ψ上是K稀疏的,即X=ΨΘ,Θ只含有K(K?N)個非零元素,觀測矩陣Φ是M×N(M?N)維矩陣,這一過程表示一個降維的投影操作,即把WN映射到WM中,從而得到觀測樣本y。

y=ΦX=ΦΨΘ

壓縮感知的重構過程,就是利用測量樣本y從低維度還原出高維度的原始信號X,利用l0范數下的優化求解原始信號X的估計值x。

min‖x‖0s.ty=ΦX

上式所述的優化過程是NP-hard問題,且數值計算非常不穩定,文獻[9]提出將上述問題轉化成l1優化問題,可以得到相同的結果

min‖x‖1s.ty=ΦX

超寬帶信號滿足壓縮感知對于稀疏性的要求。本實驗利用壓縮感知重構過程代替UWB信道估計,能夠高效率完成超寬帶信號的信道估計過程。

2.2 基于CS的UWB信道估計通信系統模型

基于壓縮感知的UWB信道估計通信系統模型如圖1所示。超寬帶天線的發射信號是窄脈沖,經過濾波器、編碼調制之后進入UWB信道。考慮高斯白噪聲對信號的影響,在接收端首先對信號進行壓縮采樣并得到觀測樣本；然后利用壓縮感知重構算法從觀測樣本中重構出原始信號,最終實現信道估計。

圖1 基于壓縮感知的UWB信道估計通信模型

將壓縮感知應用于UWB信道估計,可有效解決傳統信道估計方法對輸出端采樣速率要求過高的問題。可以看出,信道估計的準確程度取決于重構算法的性能,所以在UWB信道估計中選擇性能較好的重構算法是關鍵。

3 改進的稀疏度自適應UWB信道估計算法

在壓縮感知超寬帶信道估計SAMP算法的基礎上,通過引入稀疏度預估計步驟對算法進行了改進。在自適應匹配之前快速估計出信號的稀疏度,避免自適應匹配時步長選擇不合理對信道估計結果產生影響。使用廣義Dice系數準則進行每一階段的最優原子選擇,最后在匹配最優原子階段引入正則化對已選原子進行二次篩選。

3.1 稀疏度預估計

根據文獻[10]提出的命題,采用該命題的逆否命題作為稀疏度預估計的判斷準則,即:當Φ滿足參數為(K,δK)的性質時,若

則估計稀疏度k

用此方法進行稀疏度預估計時,首先挑選出測量矩陣與測量信號的內積最大的k個值,然后利用挑選出的原子構建支撐集,通過上述判斷準則判斷稀疏度大小,逐漸匹配出最接近真實稀疏度的支撐集大小。此支撐集大小即是下一步匹配追蹤的初始支撐集。利用此方法估計稀疏度時,其缺點是雖然可以最大限度地使估計出的稀疏度逼近真實稀疏度,但估計出的稀疏度往往小于真實稀疏度。

改進算法在最佳原子自適應匹配追蹤過程中設置步長為1,若殘差值大于前一階段的殘差值,將支撐集大小在估計稀疏度基礎上加1,繼續迭代到殘差滿足條件為止。這樣，在估計出的稀疏度最大限度逼近真實稀疏度的情況下,只需要有限的1個或幾個階段就可以與真實稀疏度吻合。采用廣義Dice系數準則取代預估計過程中求測量矩陣與測量信號內積來挑選原子,可使選擇原子更精準。

3.2 廣義Dice系數準則

改進算法中的稀疏度預估計和匹配追蹤兩個階段中都有最佳原子挑選的過程。采用內積法選取最相關的原子時往往會導致部分合適的原子丟失；而廣義Dice系數可以凸顯向量中較大的項[11]。因此,本文采用更能凸顯原子相關性的廣義Dice準則來進行稀疏度預估計和匹配追蹤過程中最佳原子的選擇。廣義Dice系數準則表示為

與內積法公式中分母對兩個向量的平方和取幾何平均值不同的是,廣義Dice系數準則計算公式中，分母是對兩個向量的平方和取算術平均值,這樣可以避免存在選擇原子的泄漏,從而完成最佳原子的篩選。

3.3 改進算法原理

改進算法流程如圖2所示。

圖2 改進算法流程

算法的偽代碼為:

Input:觀測矩陣Φ,測量信號y,k=1,迭代數t=1

Step one:稀疏度預估計

repeat

k=k+1

end if

S=k

Step two:自適應匹配

repeat

|μ(j)|≥δ|μ(i)|, i,j∈J

C=Λt-1∪J0

更新ΦΛt

if‖rnew‖2≥‖rt-1‖2then

stage=stage+1

S=S+1

end if

else

rt=rnew；t=t+1

until‖r‖2≤λ

改進算法實驗首先利用稀疏度預估計方法對信道稀疏度進行初步估計,得到一個接近真實稀疏度的估計值；在以后的匹配追蹤過程中,通過比較前后階段殘差的大小來判斷是否將支撐集大小在估計的稀疏度的基礎上加1繼續進行迭代,通過有限的幾個階段即可得到與真實稀疏度相吻合的原子支撐集。為了最大限度地提高算法重構精度,在找出殘差與測量矩陣最匹配原子的方法選擇上,采用可以更好體現各原子相關性的廣義Dice系數準則。在選擇最優原子過程中引入正則化步驟,實現原子的二次篩選,確保所選擇的原子一定是能量最大的那部分,極大地提高了重構準確度。

3.4 幾種算法的仿真實驗與結果分析

通過仿真實驗可以對改進算法與基于壓縮感知的幾種重構算法在超寬帶信道估計中的性能進行比較。仿真實驗的信道模型采用IEEE802.15.3a中的CM1(視距0～4 m)信道。設定信道總長度N=2 000。發送單位脈沖s[n]=±1。在傳輸過程中,噪聲選擇高斯白噪聲,在接收端利用壓縮采樣獲得測量信號并對信號進行重構。

3.4.1 實驗1——原子閾值系數對重構誤差的影響

首先確定正則化過程中原子閾值系數δ的取值。δ代表的是正則化時取的原子集里最大數的百分比。圖3和圖4為改進算法在兩種信噪比情況下正則化過程中δ取不同值時的重構誤差,可以看出:不同的δ取值對重構結果有一定的影響,在改進算法中δ取0.5時重構效果較好,所以δ取0.5。

3.4.2 實驗2——采樣點不同對信道估計的影響

圖5是在CM1信道信噪比為20 dB,采樣點分別為400、1 200和1 600情況下得到的估計信道與原始信道的比較。仿真結果表明,隨著觀測樣本數的增加,估計信道與原始信道越來越吻合,算法重構效果也越來越好。這說明將壓縮感知理論引入UWB信道估計,其估計效果是與采樣點數有很大關系的。因為采樣點越多、觀測數據量越大,則接收端獲得的信道信息越多,估計效果就會越好。

圖3 SNR=10時不同δ下算法的重構誤差

圖4 SNR=25時不同δ下算法的重構誤差

圖5 不同采樣點改進算法重構的信道響應與原始信號比較

3.4.3 實驗3——算法性能比較

圖6是改進算法分別采用廣義Dice系數和傳統的內積法選取最相關的原子時,不同信噪比下重構誤差的比較。可以看出:采用廣義Dice系數替代內積法來進行最優原子選擇可以提高重構精確度。

圖6 廣義Dice系數法與內積法比較

圖7是幾種算法在不同信噪比下的重構誤差的比較。可以看出改進算法較其他幾種算法重構誤差有明顯的減少。這是因為SAMP算法只包含1個原子選擇階段,并且步長選擇得不合適也會影響該算法的重構效果。CoSaMP在同一次迭代過程有原子選擇和原子剔除的過程,從而保證了每次選入支撐集的原子都是最優的。改進算法引入了稀疏度預估計,避免了稀疏度的自適應過程中步長選擇不合理造成的重構誤差,同時選擇廣義Dice系數選取最相關的原子,可以避免SAMP、CoSaMP、OMP等算法使用內積法導致部分合適的原子丟失的風險。此外,仿真結果也顯示,即使在信噪比較低的情況下,改進算法重構誤差也相對較小。由于超寬帶信道信噪比往往較低,這一特性非常適合實際中對超寬帶進行信道估計。

圖7 不同信噪比下幾種算法重構誤差

為進一步說明改進算法的優勢,再給出不同算法信道估計的重構匹配度仿真結果,并采用下式進行重構匹配度的計算。

取SNR =15 dB,不同采樣率下OMP、CoSaMP、SAMP算法和改進算法重構匹配度的比較情況如圖8所示。

圖8 不同采樣率下幾種算法的匹配度

由圖8可知,在不同采樣率情況下,改進算法重構匹配度明顯高于其他幾種算法；即使采樣率極低,改進算法依然能夠有較高的重構精度。當采樣率大于0.8時,改進算法幾乎可以較完美地重構出原始信號。

4 結語

對稀疏度自適應匹配追蹤算法的改進,提高了算法在超寬帶信道估計中的估計精度。仿真結果表明:

(1) 改進算法與同類算法相比,重構誤差降低,可以較準確地進行超寬帶信道估計,且該算法的抗噪性能較好,可以在低信噪比時較好地完成信號重構；

(2) 改進算法的匹配度優勢明顯,在較好重構超寬帶信號、完成信道估計的同時,可以大大降低接收端硬件的采樣速率。

參考文獻(References)

[1] 白煜,張立毅.基于Matlab_Simulink的盲均衡算法仿真實驗[J].實驗技術與管理,2015,32(1):116-119.

[2] 張曉光,王艷芬,孫彥景,等.隧道內納秒級多徑信號分集接收方法探索及其仿真實驗[J].實驗室研究與探索,2017,36(8):55-59.

[3] 葛利嘉,曾凡鑫,劉郁林,等.超寬帶無線通信[M].北京:國防工業出版社,2005.

[4] 曹雪昭,杜秀華,曹俊.基于壓縮感知的固定音頻檢索方法[J].實驗室研究與探索,2015,34(6):50-54.

[5] Mallat S, Zhang Z. Matching pursuits with time-frequency dictionaries[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1993,41(12):3397-3415.

[6] Dai W, Milenkovia O. Subspace Pursuit for Compressive Sensing Sing Signal Reconstruction[J].IEEE Transactions on Information Theory,2009,55(5):2230-2249.

[7] Do T T, Lu Gan, Nguyen N, et al. Sparsity adaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing[C]//Conference on Signals Systems & Computers. Pacific Grove California,2009:581-587.

[8] 王開,劉郁林,張先玉.基于壓縮感知理論的超寬帶信道估計[J].計算機仿真,2011,28(6):132-135.

[9] Candès E J. The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J].Comptes Rendus Mathematique,2008,346(9):589-592.

[10] 楊成,馮巍,馮輝,等.一種壓縮采樣中的稀疏度自適應子空間追蹤算法[J].電子學報,2010,8(1):1914-1917.

[11] 于華楠,武云瑞,胡緒超.基于壓縮感知的電力設備視頻圖像去噪方法研究[J].電測與儀表,2016,53(18):10-13.