玻色-愛因斯坦凝聚與箱中自由粒子模型

李立本　王趙武　尹傳磊　郝世明

摘 要 在分析玻色-愛因斯坦凝聚現象時有兩個基本前提：要求零能級存在和自由粒子模型成立，本文分析了這兩個前提可能出現的矛盾。指出：嚴格的無限深勢阱模型不容許存在零能級;有限體積的周期邊界模型中的零能級違背不確定關系。對于勢阱模型，若認為勢阱勢壘不是無限高，則不僅零能級可以存在且與不確定關系兼容;對于周期邊界條件模型，若認為箱子體積趨于熱力學極限，零能級也就兼容了不確定關系。同時還簡單討論了與此相關的簡并態與不確定關系、多粒子波函數構建、兩種模型的態密度一致性問題。

關鍵詞 玻色-愛因斯坦凝聚 玻色子 自由粒子 能級

中圖分類號：O414.13?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.05.012

Abstract When analyzing the Bose-Einstein condensation phenomenon， there are two basic premises that a zero-level existence and a free particle model are required. This article analyzes the possible contradictions between these two premises. It is pointed out that the strict infinite deep well model does not allow zero energy levels; the zero energy levels in the periodic boundary model of finite volume violates the uncertainty relationship. If the potential well barrier is not considered to be infinitely high for the potential well model， not only the zero energy level can exist but be compatible with the uncertainty relationship; for the periodic boundary condition model， if the box volume is approached to the thermodynamic limit， the zero energy level is also compatible uncertainty relationship. At the same time， the related degenerate states and uncertainties， the construction of multi-particle wave functions， and the consistency of the state density of the two models are briefly discussed.

Keywords Bose-Einstein condensation; boson; free particle; energy level

1 問題提出

玻色-愛因斯坦凝聚已經被實驗證實[1]并在2001年獲諾貝爾物理學獎。預期該現象從計算體積為V的箱子中N個玻色氣體的統計行為出發。[2]在溫度為T和化學勢為 的情況下，系統的總粒子數用下式計算

對于實際的箱子可以視為零。[8]然而按照汪志誠先生的表述，嚴格的零能級，才導致化學勢不大于零，這是出現玻色-愛因斯坦凝聚的重要論據。任何一個小能量值，在溫度趨于絕對零度時都會被放大為不能忽略。

4 問題解決

如果認為箱壁是很高的勢壘，但仍有一定概率穿透，那么零能級解是存在的。[11]而且由于此時粒子原則上可以出現在無窮遠處，所以零動量并不與不確定關系矛盾。

針對周期性邊界條件情況，我們依然可以認為粒子活動區域趨于無窮，這符合熱力學極限。這樣零能級也是合理的。

嚴謹地說，上述矛盾的出現源自沒有考慮玻色子間的相互作用，實際上玻色子間有（等效的）吸引，這會使系統出現零能級，從而使描述系統整體性質的化學勢不大于零。

5 其它問題

（1）對于如式（10）表達的次低能級，其中， 對應的動量也是確定的，為什么不受不確定關系的約束？實際上次低能級還有兩個簡并態，例如，粒子究竟處于哪個態是不確定的，因而有一個動量不確定度，不確定關系在箱中是成立的。

（2）對于多粒子系統，欲寫出系統的波函數，會涉及粒子的位置交換對稱性。例如電子（費米子），可以用Slater行列式構建一個反對稱波函數：[3]

（3）（7）式和（10）式量子數的取值范圍分別為自然數和整數，對應能量等能面在量子數空間分別畫出是一個球面和第一象限的八分之一球面。這似乎會導致態密度不同，但注意到兩式中的波矢相差2倍，所以最終態密度的表達是一致的，不因模型不同而有所差異。[7]

6 結語

采用有限高的箱壁勢壘模型或者無限大的體積的周期邊界模型，自由粒子才存在零能級，使玻色-愛因斯坦凝聚的理論解釋內部自洽。

基金資助：單一氧化物超級電容器填充材料微結構對提高儲能效率影響研究，河南省科技廳工業公關項目， 182102210298;基于莫爾條紋的工藝品設計，國家級大學生創新訓練項目，S201810464012;基于莫爾條紋編碼的防偽技術研究，河南科技大學大學生研究訓練計劃項目2019213

參考文獻

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[8] 林宗涵.熱力學與統計物理[M].北京：北京大學出版社，2007.1：254.

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[11] L.I.席夫著.量子力學[M].李淑嫻，陳崇光，譯.北京：人民教育出版社，1981.9：40-45.