例談二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

摘 要：二次函數(shù)作為一個(gè)非常重要的函數(shù)模型，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，是數(shù)學(xué)研究中的重要的工具。本文通過(guò)具體的實(shí)例進(jìn)行分析和總結(jié)二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用

1 二次函數(shù)的相關(guān)概念

一般地，我們把形如的函數(shù)叫做一元二次函數(shù)，其圖像是一條拋物線，且a決定函數(shù)圖像的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下；還可以決定開口大小，越大開口就越小，越小開口就越大。而拋

物線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線。對(duì)稱軸與拋物線

唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P，其坐標(biāo)為。拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定，即由的符號(hào)決定。當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

2 二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題按照是否需要建立平面直角坐標(biāo)系可以分為兩類，一類不需要建立平面直角坐標(biāo)系，這類題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)的解析式，例如求銷售利潤(rùn)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的解析式分為頂點(diǎn)式，一般式和交點(diǎn)式，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所給的條件選擇合適的解析式，接著只需運(yùn)用二次函數(shù)的主要性質(zhì)：如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值等，必要時(shí)結(jié)合二次函數(shù)圖形求解出函數(shù)模型。另一類就是必須建立平面直角坐標(biāo)系。這類題呈現(xiàn)的方式主要是以拋物線為基礎(chǔ)的實(shí)際問(wèn)題，如拱橋問(wèn)題、投擲問(wèn)題等等。首先要將拱橋抽象為拋物線，然后結(jié)合實(shí)際問(wèn)題中的條件，建立坐標(biāo)系求出拋物線的解析式。平面直角坐標(biāo)系選擇的一般原則是使得得出的二次函數(shù)的解析式最簡(jiǎn)單，因此要學(xué)會(huì)巧妙地選擇直角坐標(biāo)系的位置。

綜上可知不管是哪類二次函數(shù)模型題最終都是通過(guò)二次函數(shù)解析式來(lái)解決問(wèn)題的。

2.1 在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

二次函數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用，主要分為投資策略、銷售定價(jià)、貨物存放、消費(fèi)住宿等不同方面，而這幾個(gè)不同方面的問(wèn)題有一個(gè)共通點(diǎn)，那就是利潤(rùn)的最大化問(wèn)題。不論是投資還是銷售，利潤(rùn)問(wèn)題都是我們最關(guān)注的問(wèn)題。針對(duì)不同類型的問(wèn)題，從保證最大利潤(rùn)為入手點(diǎn)，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

例1 某商店每月按出廠價(jià)每瓶3元購(gòu)進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若零售價(jià)定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價(jià)降低0.05元，則可多銷售40瓶。在每月的進(jìn)貨量當(dāng)月銷售完的前提下，請(qǐng)你給該商店設(shè)計(jì)一個(gè)方案：銷售價(jià)定為多少元和從工廠購(gòu)進(jìn)多少瓶時(shí)，才可獲得最大的利潤(rùn)？

[分析] 利潤(rùn)=（單價(jià)-成本）*銷售數(shù)量，這是問(wèn)題解答的關(guān)鍵。

[解] 設(shè)售價(jià)為x元/瓶x>3，則根據(jù)題意（銷售量等于進(jìn)貨量），正好當(dāng)月銷售完的進(jìn)貨量為，即瓶 . 此時(shí)所得的利潤(rùn)為（元）

的圖像是開口向下的拋物線.

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，f（x）取得最大值450.這時(shí)進(jìn)貨量為（瓶）

故銷售價(jià)為元，購(gòu)進(jìn)600瓶時(shí)可獲得最大利潤(rùn)為450元。

例2 某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈.銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：

（1）設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？

（2）如果李明想要每月獲得2 000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

[解]（1）由題意得出：

∵該二次函數(shù)的圖像開口向上，關(guān)于對(duì)稱

∴根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)銷售單價(jià)定為35元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn).

銷售定價(jià)問(wèn)題的根本就是保證利潤(rùn)的最大化，利潤(rùn)=（單價(jià)-成本）*銷售數(shù)量，而產(chǎn)品的成本是固定，所以單價(jià)越大，利潤(rùn)越高；銷售量越大，利潤(rùn)也越高。而當(dāng)銷售單價(jià)越來(lái)越大時(shí)，銷售數(shù)量往往逐漸減少，所以我們需要在這個(gè)變化過(guò)程中找到使得利潤(rùn)最大化的最優(yōu)銷售單價(jià)。

2.2 以二次函數(shù)圖像為基礎(chǔ)的實(shí)際問(wèn)題

例3 在體育測(cè)試時(shí)，初三的一名高個(gè)子男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖像的一部分，如圖所示，如果這個(gè)男同學(xué)的出手處A點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2），鉛球路線的最高處B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5）。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）該男同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？（精確到0.01米，）

例4 一座單行隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8m，寬為2m，隧道最高點(diǎn)P位于AB的中央且距地面6m，建立如圖1-3所示的坐標(biāo)系。

求拋物線的解析式；（2）一輛貨車高4m，寬2m，能否從該隧道內(nèi)通過(guò)，為什么？（3）如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道如圖1-4所示，那么這輛貨車是否可以順利通過(guò)，為什么？

[解]（1）由題意可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，。

設(shè)拋物線的方程為，將A、P、D三點(diǎn)的坐標(biāo)

代入拋物線方程。解得拋物線方程為：.

（2）令y=4，則有，解得，

，而，所以貨車可以通過(guò)。

（3）由（2）可知，所以貨車可以通過(guò)。

運(yùn)用投球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)軌跡、彈道軌跡、跳水時(shí)人體的運(yùn)動(dòng)軌跡，拋物線形橋孔等設(shè)計(jì)的二次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題屢見不鮮。解這類問(wèn)題一般分為以下四個(gè)步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（若題目中給出，不用重建）；

（2）根據(jù)給定的條件，找出拋物線上已知的點(diǎn)，并寫出坐標(biāo)；

（3）利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式。

①當(dāng)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可用一般式求其解析式；

②當(dāng)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k，h）和另外一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可用頂點(diǎn)式求其解析式；

③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、時(shí)，可用交點(diǎn)式求其解析式；

（4）利用拋物線解析式求出與問(wèn)題相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而使問(wèn)題獲解。

二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用是非常廣泛的，這里也就不一一舉例了。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的方法就是數(shù)學(xué)建模型方法，反映了模型化的思想。數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，它剝?nèi)ナ挛锏耐庠诒憩F(xiàn)，抽出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，從而抓住事物的內(nèi)存本質(zhì)。數(shù)學(xué)本身就是對(duì)客觀事物或問(wèn)題的本質(zhì)關(guān)系的模型化研究，它將一些表面上迥然不同的各種現(xiàn)象利用數(shù)字關(guān)系統(tǒng)一起來(lái)，例如生活中各種各樣的變量之間的依存關(guān)系，用函數(shù)模型統(tǒng)一起來(lái)。可以說(shuō)數(shù)學(xué)本身就是一種描述客觀世界的一種模型，數(shù)學(xué)始終貫穿著模型化的思想。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。因此，在平時(shí)的學(xué)生過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)多多積累、總結(jié)常見的函數(shù)模型，利用模型思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這對(duì)我們認(rèn)識(shí)客觀世界有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：陜西省漢中市南鄭區(qū)大河坎中學(xué)）