低信噪比下多相碼信號參數估計*

劉歌，張旭洲，汪洪艷

(空軍航空大學 信息對抗系，吉林 長春 130022)

0 引言

在現代電子戰爭中，為了提高雷達的生存能力，越來越多的雷達系統采用低截獲概率(LPI,low probability of intercept)信號。在低截獲概率雷達信號中，多相碼信號由于兼具相位編碼和頻率調制的優良特性[1]，而得到廣泛的應用。因此如何對多相碼信號進行有效的參數估計成為研究的重點。

由于多相碼信號由線性調頻信號(LFM,linear frequency modulation)衍生而來，有著與LFM相似的時頻特征，且LFM信號在時頻域已有較為成熟的分析方法，因此對多相碼信號參數估計常用的方法一般是基于信號的時頻特征。文獻[2-3]提出基于RWT的多相碼信號檢測和參數估計方法；文獻[4-6]利用RAT及其改進算法實現了多相碼信號的檢測與參數估計。但是這2種方法將信號的能量分散在時頻平面的各個峰值上，導致估計精度降低，且計算量較大，Radon變換的存在使信號的估計精度受旋轉角度分辨率的影響。

為了解決上述問題，本文提出了基于積分二次相位函數(IQPF)和分數階傅里葉變換(FrFT)的聯合參數估計算法對多相碼信號進行參數估計。首先通過公式推導在理論上證明了IQPF具有將多相碼信號的多條脊線累積為一個峰值的優良性能，通過峰值將多相碼信號的調頻率估計出來，然后利用估計出的調頻率計算FrFT的最佳旋轉階次，將多相碼信號的FrFT分布由二維搜索轉換為一維搜索，實現其他參數的估計。仿真實驗驗證了公式推導結果，并且證明了該方法的有效性。

1 信號模型

多相碼信號的表達式[7]為

s(n) =Aej(2πf0n+φk),0≤n≤N-1，

(1)

式中：A為信號幅度；f0為信號載頻；N為采樣點數；φk為隨時間變化的相位碼序列，不同的序列代表不同的多相碼信號類型。多相碼信號主要包括Frank，P1，P2，P3，P4碼，具體表達式參見表1[1]。

表1 多相碼信號的相位調制

圖1是對多相碼信號的進行WVD變換的時頻圖(以P4碼為例，其他碼型時頻圖類似)。從圖中可以看出，多相碼信號在時頻平面上表現為多條平行的脊線，并且這些脊線的能量呈現出從主脊線向副脊線逐漸減小的趨勢。

多相碼信號調制參數包括：調頻率k，信號的碼元寬度Tc，信號帶寬B，它們可以通過圖中脊線與時間軸的夾角α0，脊線間隔為d以及脊線與頻率軸的截距fd計算出來：

(2)

2 算法原理

2.1 IQPF原理

信號s(t)的IQPF是對傳統二次相位函數模值平方的積分，其表達式[8]為

(3)

式中:l=min(n,N-1-n)。

由圖1中分析可知，多相碼信號在時頻平面內可以簡單地看作是由數條平行的線性調頻(LFM)信號組成，且多相碼信號很難用一個確定的公式表達[9]，因此為了更加直觀地通過公式推導從理論上證明IQPF的性能，本文在公式推導中采用多條調頻率相同、起始頻率不同的線性調頻信號進行代替。

單分量LFM信號的解析表達式[10]為

(4)

式中：ω為角頻率；k為調頻率。

所以，多分量LFM信號的表達式為

(5)

式中：z為多分量LFM信號的分量數。

不失一般性，先對兩分量LFM信號進行分析，將其表達式代入式(3)中可以得到

s2(n+m)][s1(n-m)+

(6)

式中:

(7)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)中展開計算，得到結果如下:

(9)

式中:

(10)

(11)

(12)

W=ej[(ω1-ω2)+(k1-k2)n]m+e-j[(ω1-ω2)+(k1-k2)n]m.

(13)

由于多相碼信號各脊線的調頻率相同，因此將上述兩分量的LFM信號的調頻率設置為相等，即k1=k2=k，所以式(9)可以進一步簡化為

(14)

式中:H=G(ej(ω1-ω2)m+e-j(ω1-ω2)m)。

對式(14)進行分析，當滿足u=k時，兩分量LFM信號的IQPFx(u)達到最大值。u≠k的其他點處IQPFx(u)的值都比較小，此時IQPF平面上在點u=k處出現一個峰值，如圖2所示，其中一分量LFM的歸一化起始頻率為0.1，終止頻率為0.2，另一分量LFM的起始頻率為0.2，終止頻率為0.3，采樣點數為1 024。

當信號由多個調頻率相同的LFM分量構成時，同樣可以通過理論推導得出相同的結論。類比多相碼信號，IQPF同樣也可以將多相碼信號的多條脊線能量累積到一個峰值上，如圖3所示。峰值的累積能夠產生抑制噪聲的效果，且通過搜索該峰值的位置，可以有效地將LFM信號的調頻率估計出來。其中，仿真信號是P1碼，歸一化載頻為0.25，采樣點數為1 024，碼元寬度為64。

2.2 FrFT原理

FrFT可以看作時頻平面的旋轉算子，因此它適合于處理LFM類信號。作為廣義的傅里葉變換的一種形式，信號s(t)的FrFT可以表示為[11]

(15)

Kp(t,u)=

(16)

式中:Kp(t,u)為變換核函數，p為變換階數；α為旋轉角度，且滿足α=pπ/2。

FrFT一般被應用到處理LFM信號及類似LFM的信號(如多相碼信號、線性調頻連續波信號等)一類信號中[12]，是因為這些類似LFM信號的FrFT分布旋轉到一定角度時會在相應的投影平面呈現出沖擊峰值。

多相碼信號的時頻圖是數條調頻率相同的平行直線，所以多相碼信號的FrFT分布在最佳旋轉角處對應的投影平面上會出現多個沖擊峰值，且各峰值之間的橫坐標間隔相同[13]。如圖4所示，由于多相碼信號碼型存在差異，多相碼信號的FrFT需要分2種情況進行討論：一種是P1/P2/P4碼只有一條主脊線，在FrFT投影平面上只有一個最大峰值；另一種是Frank/P3碼有2條主脊線，在FrFT投影平面上有2個近似相等的峰值。

搜索主脊線的位置可以估計出多相碼信號的載頻，利用圖中的脊線間隔可以通過公式變換將剩余的參數估計出來。為了實現參數的快速估計，本文采用文獻[14]中的分解型快速算法計算FrFT。

3 基于IQPF和FrFT的多相碼參數估計算法

綜上分析，本文提出利用IQPF和FrFT聯合算法對多相碼信號進行參數估計。具體算法步驟如下：

(17)

式中：α為最佳旋轉角。

(3) 計算出信號最佳旋轉階次p下的FrFT分布，搜索平面內的最大值h1和次大值h2，求出它們的比值λ1=h1/h2，并記錄它們對應的橫坐標a1和a2。若λ1>0.5，說明此時多相碼信號只有一條主脊線，即信號載頻對應的橫坐標a0=a1；若λ1<0.5，說明此時多相碼信號有2條主脊線，即信號載頻對應的橫坐標a0=(a1+a2)/2。根據式(18)可以估計出多相碼信號的載頻為

(18)

(19)

式中:ΔF和ΔT分別為頻率軸和時間軸的量化單位，且ΔF=fs/N,ΔT=1/fs(fs為采樣頻率，N為采樣點數)。

4 性能分析及仿真實驗

4.1 性能分析

(1) 對比分析

以RWT為例，RAT與之情況類似，如圖5所示，RWT，RAT 2種方法在處理多相碼信號，會產生多個峰值，使信號的能量分散到各個峰值上，在信噪比為10 dB時，各峰值明顯，參數估計可以正常進行；但是在信噪比為-5 dB，RWT,RAT都產生一個較高的噪聲基底，將較小的峰值淹沒，無法準確地估計出多相碼信號的參數。

如圖6所示(以RWT為例，RAT與之情況類似)，6a)中采用的角度分辨率為1/180 πrad，6b)采用的角度分辨率為1/18 πrad。從圖中可以看出，由于采用Radon變換，因此這2種方法參數估計的精度還會受到旋轉角分辨率的影響。角度分辨率越高，估計精度越高，但計算量會增大；雖然角度分辨率降低，計算量會降低，但時頻平面中的尖峰會變得模糊，導致估計值不準確；這個問題在IQPF方法中是不存在的。因此，IQPF在估計多相碼信號的調頻率問題上具有優良的性能。

(2) 計算量分析

當信號點數為N，旋轉角度的個數為M時，采用RWT和RAT實現參數估計總體需要的運算量均為O(N2M)[15]。若只估計信號的調頻率，RAT只對過原點的脊線進行積分即可，使得RAT比RWT計算量小，但是因為要對多相碼信號的其他參數(如脊線間隔)進行估計，就必須對其他脊線也進行積分，所以兩者的計算量相當。

本文算法是在IQPF之后進行一次已知旋轉階次的FrFT。由文獻[3]可知，IQPF的計算公式比WVD和AF的計算公式多N次加法和乘法，這幾種方法實質上都可以看作自相關之后進行傅里葉變換，計算量為O(N2lbN)，而已知旋轉階次的FrFT的計算量僅相當于一次N點的FFT，計算量為O(NlbN)，所以本文算法計算量小于RWT和RAT。

4.2 仿真實驗

為了驗證本文參數估計算法的有效性，對5種碼型的多相碼信號進行仿真實驗。仿真信號的參數設置如下：

碼元寬度tb為0.1 μs，重復周期T為6.4 μs，編碼位數Nc為64，信號載頻fc=25 MHz，采樣頻率fs=100 MHz。RWT和RAT的角度分辨率取為1/180 πrad。噪聲采用高斯白噪聲，且信噪比范圍設置為-15～6 dB，每2 dB的信噪比作100次Monte Carlo仿真實驗。

(1) 不同方法參數估計性能比較

以P4碼為例，分別利用本文方法、RWT和RAT 3種方法估計出調頻率k、碼元寬度tb和重復周期T，并作3種方法估計參數的均方根誤差(RMSE)與信噪比之間的關系圖，如圖7～9所示。

由圖7～9分析可知，本文使用的參數估計方法在低信噪比的條件下較RWT和RAT參數估計方法的性能高。這是因為本文算法中的IQPF可以將多相碼信號的所有脊線累積到一個峰值上，從而達到累積信號能量、抑制噪聲和提高調頻率估計精度的效果，而RWT和RAT2種方法不能將脊線累積到一個峰值上，導致信號能量分散，低信噪比的條件下平面內的峰值容易被噪聲淹沒，降低了估計精度，影響了算法的整體性能。而且本文方法不需要進行坐標變換，僅需進行一維搜索。所以本文的方法不僅具有較好的估計性能且在計算量方面存在優勢。

(2) 不同碼型的多相碼信號間的性能比較

利用本文方法對不同碼型的多相碼信號估計載頻、碼元寬度和重復周期的RMSE與SNR的關系如圖10～12所示。

從圖10中可以看出，5種碼型的多相碼信號的載頻估計的RMSE可以達到-55 dB以下；具體來看，在信噪比為-10～0 dB時，Frank/P3碼的載頻估計的RMSE比另外3種碼型高約5～10 dB，這是因為Frank/P3碼經過FrFT之后產生2個近似相等的最大值和次大值，導致單個峰值的幅度下降，從而使其抗噪性變差。

圖11和圖12是對5種碼型的多相碼信號的碼元寬度和重復周期的估計性能進行比較。整體來看，5種碼型的的碼元寬度和重復周期估計性能相差不大；具體來看，在信噪比大于-10 dB小于0 dB時，Frank/P3碼的參數估計的RMSE比另3種碼型低約5～10 dB，這是因為這2種碼型的多相碼信號經過FrFT之后的次大值比其他3種碼型得到的次大值要大得多，低信噪比下不易被噪聲淹沒，能夠更好的估計脊線間隔，從而得到高精度的碼元寬度和重復周期。

5 結束語

本文利用多相碼信號與LFM信號具有類似時頻特征的特點，提出基于IQPF和FrFT的多相碼信號聯合參數估計方法。理論上證明了IQPF可以將多相碼信號的多條脊線累積為一個峰值，并利用IQPF估計信號的調頻率，將FrFT的二維搜索中轉化為一維搜索，估計信號的其他參數。聯合參數估計方法的抗噪性能較強，且計算復雜度較低，估計精度不受角度分辨率的影響，克服了傳統方法本身固有的缺陷。仿真實驗表明，在低信噪比的條件下，聯合參數估計方法的估計性能優于RAT和RWT 2種傳統方法。為低信噪比下對多相碼信號的參數估計提供了一種可靠的方法。

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