基于魯棒可靠性方法的機(jī)器人魯棒鎮(zhèn)定控制研究

張義辰

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

0 引 言

參數(shù)不確定性攝動(dòng)是機(jī)器人有界攝動(dòng)中的一種，它主要以有界函數(shù)的形式存在于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的慣量矩陣、科氏力與離心力矩陣和重力矩陣中，是影響機(jī)器人軌跡跟蹤穩(wěn)定性的內(nèi)在因素。這種不確定攝動(dòng)通常是強(qiáng)耦合、非線性的，一般的方法很難將其分離，因此給后續(xù)穩(wěn)定系統(tǒng)、改善其他性能帶來(lái)了困難。為了減少這一類不確定因素的影響，學(xué)術(shù)上通常采用魯棒控制的策略，考慮對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的最壞情況進(jìn)行控制。然而對(duì)于具有不同特征的參數(shù)不確定攝動(dòng)，僅僅依靠魯棒控制不能發(fā)揮出很好的控制效果。

針對(duì)參數(shù)不確定系統(tǒng)的控制問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外研究人員進(jìn)行了大量的研究。郭書(shū)祥[1-2]提出了利用魯棒可靠性的方法設(shè)計(jì)魯棒鎮(zhèn)定控制器優(yōu)化系統(tǒng)；王恩平等人[3]討論了帶有分母多項(xiàng)式攝動(dòng)的參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了具體的控制器；謝蓉等[4]研究了范數(shù)有界型參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題，并提出運(yùn)用一種基于概率估計(jì)的魯棒H∞控制方法，該方法經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證合理有效；XU S J等[5]研究了帶有非線性不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化和魯棒性問(wèn)題，通過(guò)等效變換和運(yùn)算律，將非線性不確定參數(shù)與固定參數(shù)分離開(kāi)來(lái)，變成等效的線性不確定參數(shù)，再研究其魯棒特性；RIGATOS G等[6]提出了多自由度機(jī)器人的非線性H∞方法；黃文超等[7]將SOS理論和S過(guò)程相結(jié)合設(shè)計(jì)H∞控制器；RIGATOS G[8]應(yīng)用H∞控制方法解決了多自由度機(jī)器人的最小最大微分博弈問(wèn)題，使得機(jī)器人在干擾影響作用最大的時(shí)候狀態(tài)變量誤差達(dá)到最小；HWANG C L等[9]提出了一種混合H2/H∞離心離散變結(jié)構(gòu)控制，用以解決不確定系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題；JABALI M B A等[10]提出了一種將機(jī)器人模型轉(zhuǎn)化為不確定凸多面體LPV模型的方法來(lái)穩(wěn)定和優(yōu)化機(jī)器人系統(tǒng)跟蹤性能的方法。

本文將魯棒可靠性的方法應(yīng)用于機(jī)器人系統(tǒng)當(dāng)中，設(shè)計(jì)魯棒鎮(zhèn)定控制器。

1 非線性不確定參數(shù)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)的影響

以平面兩桿的機(jī)器人為模型，根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)原理建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，該模型形如下式所示：

(1)

在機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤的場(chǎng)合，輸入轉(zhuǎn)矩通常是利用將軌跡代入式(1)中計(jì)算而得，計(jì)算的力矩表達(dá)式為：

(2)

式中：qd—期望軌跡；uc—控制輸入；τd—理論輸出轉(zhuǎn)矩。

將式(2)代入式(1)，得到控制輸入與軌跡誤差之間的關(guān)系式如下：

(3)

將式(3)改寫(xiě)為狀態(tài)空間形式，為此設(shè)狀態(tài)變量：

(4)

另有：

(5)

其中：

(6)

式中：I，0—2維的單位矩陣和全零矩陣；z—被調(diào)輸出。

A、B當(dāng)中最后一個(gè)矩陣塊包含非線性函數(shù)，這些非線性函數(shù)高度耦合，并且以不確定參數(shù)q和q(·)為自變量，這些不確定參數(shù)會(huì)通過(guò)攝動(dòng)影響機(jī)器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤特性，需要運(yùn)用有效的方法加以控制。然而在進(jìn)行控制之前,必須先將它們從與固定的數(shù)值分離開(kāi)來(lái),一般的線性理論很難進(jìn)行這一過(guò)程，即便分離出來(lái),其形式也是相當(dāng)復(fù)雜,不便于計(jì)算和整理。不過(guò)有一點(diǎn)可以確定，它們都是有界函數(shù)，需要運(yùn)用一些技巧將它們作等效處理，再進(jìn)一步確定界限值。

為了研究非線性不確定參數(shù)如何影響機(jī)器人的穩(wěn)定性和跟蹤性能，特給定一條確定的關(guān)節(jié)角軌跡：

(7)

式中：t—時(shí)間，s。

本研究通過(guò)Matlab/Simulink的仿真可得到兩個(gè)關(guān)節(jié)角軌跡的跟蹤效果，非線性不確定參數(shù)對(duì)軌跡跟蹤效果的影響如圖1所示。

可以看出：實(shí)際軌跡完全脫離期望軌跡，跟蹤失敗，并且就實(shí)際軌跡本身來(lái)看，其走勢(shì)發(fā)散，呈現(xiàn)出比較大的振蕩，說(shuō)明系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，設(shè)法控制非線性不確定參數(shù)的影響，兼顧穩(wěn)定性與跟蹤特性，是改善系統(tǒng)性能的有效方法，而欲實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，就必須先對(duì)系數(shù)矩陣和輸入矩陣中的不確定參數(shù)攝動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行等效的處理，為確定該項(xiàng)的攝動(dòng)上界提供便利。

圖1 非線性不確定參數(shù)對(duì)軌跡跟蹤效果的影響實(shí)線—期望軌跡；虛線—實(shí)際軌跡

2 非線性參數(shù)的等效處理

對(duì)于式(3)所呈現(xiàn)的形式：

(8)

(9)

式中：M0,C0—慣性矩陣、科氏力離心力矩陣的標(biāo)稱量；ΔM,ΔC—慣性矩陣、科氏力離心力矩陣的攝動(dòng)量。

則式(8)可以寫(xiě)為：

(10)

將式(10)寫(xiě)成狀態(tài)方程的形式，即：

(11)

其中：

(12)

(13)

(14)

式中：0，I2——2×2的全零矩陣和單位矩陣。

根據(jù)公式：

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(DA-1B+C-1)DA-1

(15)

(16)

(17)

(18)

那么：

(19)

(20)

另一方面，由于：

(21)

因此：

(22)

其中：

(23)

3 魯棒可靠性與魯棒控制器設(shè)計(jì)

3.1 魯棒可靠性相關(guān)理論

對(duì)于如下所示的不確定時(shí)變系統(tǒng)

(24)

式中：x(t)—狀態(tài)向量變量；uc(t)—輸入向量變量；P(r)—狀態(tài)矩陣；Q(r)—輸入矩陣。

它們均隨著不確定參數(shù)r的變化而變化。定義以狀態(tài)反饋控制器：

uc(t)=-Wx(t)

(25)

系數(shù)矩陣W為需要設(shè)計(jì)的控制律，將控制器式(25)代入到系統(tǒng)式(24)中，原系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(26)

定義如果存在適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣P和矩陣K，使得對(duì)所有容許的不確定性有如下不等式成立：

(A(ρ)+B(ρ)K)TP+P(A(ρ)+B(ρ)K)<0

(27)

則系統(tǒng)可通過(guò)狀態(tài)反饋二次鎮(zhèn)定。

對(duì)于系統(tǒng)式(24)和控制器式(25)，顯然應(yīng)該保證：

(P(r)+Q(r)W)TY+Y(P(r)+Q(r)W)<0

(28)

成立。而對(duì)于有界的不確定參數(shù)r，可以通過(guò)固定量和攝動(dòng)量的分離化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

r=r0+dr·σ

(29)

式中：r0—r的名義值；dr—r的攝動(dòng)值；σ—標(biāo)準(zhǔn)化的區(qū)間變量，σ∈[-1,1]。

據(jù)此，系統(tǒng)式(24)的系數(shù)矩陣P(r)和Q(r)可表示為隨σ的變化而變化的值。

本研究定義以對(duì)稱矩陣D(σ,Y),Y為式(11)中的可行矩陣，具體值未知，那么系統(tǒng)式(24)的穩(wěn)定性問(wèn)題可以歸結(jié)為求矩陣不等式的可行解Y*：

D(σ,Y)<0

(30)

矩陣D(σ,Y)為魯棒可靠性的功能函數(shù)，相應(yīng)地有功能函數(shù)的魯棒可靠度，其具體形式為：

(31)

式中：‖σ‖∞—σ的無(wú)窮范數(shù)，而區(qū)域Θ={σ:D(σ,Y)<0}和Θ={σ:D(σ,Y)≥0}分別對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間構(gòu)造的無(wú)限拓?fù)淇臻g中的可靠域和失效域。

從可靠性這一層面來(lái)看，β>0時(shí)系統(tǒng)的波動(dòng)域和失效域無(wú)交集，判斷系統(tǒng)為可靠的，如果隨著β值的增加系統(tǒng)波動(dòng)域與失效域相隔越遠(yuǎn)，系統(tǒng)在失效之前所能容許的不確定攝動(dòng)越大，從而使系統(tǒng)在這些不確定量影響下的魯棒性得到提高，系統(tǒng)可靠性更好。因此，魯棒可靠度可以用來(lái)衡量系統(tǒng)魯棒可靠性的好壞，并可以此為依據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制。

進(jìn)一步地，對(duì)于系統(tǒng)式(24)，按分離不確定參數(shù)的步驟，系統(tǒng)中的矩陣P(r)和矩陣Q(r)可以寫(xiě)成：

P(r)=P0+ΔP=P0+S1Δ1S2,Q(r)=

Q0+ΔQ=Q0+T1Δ2T2

(32)

式中：S1,S2,T1,T2—權(quán)重矩陣；Δ1,Δ2—不確定攝動(dòng)函數(shù)。

對(duì)于滿足式(32)的系統(tǒng)式(24)，令k=||σ||∞,則矩陣不等式(30)對(duì)所有允許的不確定性成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣E,矩陣F和W，以及正定對(duì)角矩陣G1和G2，使得如下矩陣不等式成立：

(33)

其中：

(34)

相應(yīng)地，基于魯棒可靠性并考慮控制代價(jià)的控制器增益矩陣可由以下矩陣不等式求得，即有以下魯棒可靠性優(yōu)化問(wèn)題：

(35)

式中：矩陣N與矩陣E同階，且對(duì)稱正定。

同時(shí)，由上述優(yōu)化問(wèn)題中參數(shù)k，可以進(jìn)一步算出系統(tǒng)式(24)的魯棒可靠度β=r-1，再由式(29)計(jì)算，即可求出使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的不確定參數(shù)r的最大魯棒界限：

r∈[r0-(β+1)·dr,r0+(β+1)·dr]

(36)

3.2 魯棒控制器設(shè)計(jì)

考慮了魯棒可靠度的魯棒控制器，可以根據(jù)不等式組(35)來(lái)求出，但在此之前，必須先計(jì)算出式(32)中兩參數(shù)有界攝動(dòng)量ΔP和ΔQ的上界，具體到本文研究的機(jī)器人系統(tǒng)式(22)，必須首先計(jì)算出附加項(xiàng)(ΔmA+Δa+ΔmΔa)和ΔmB的上界，因此：

|ΔmA+Δa+ΔmΔa|=|Δm||A|+|Δa|+|Δm||Δa|=
‖Δm‖∞×‖A‖∞+‖Δa‖∞+‖Δm‖∞×‖Δa‖∞=γ1

(37)

|Δm|=‖Δm‖∞=γ2

(38)

式中：γ1，γ2——正實(shí)數(shù)。

同時(shí)由式(37，38)所給出的上界的形式可以推斷出左、右兩邊的系數(shù)矩陣，它們分別是：

S1=S2=I4,T2=B

(39)

對(duì)于式(33)中的參數(shù)k，可以通過(guò)計(jì)算：

k=‖(γ1,γ2)‖∞

(40)

至此，再利用Matlab的LMI函數(shù)包和可行性算法函數(shù)feasp()求出可行解E*和F*，最后利用下式：

W=F*E*-1

(41)

進(jìn)一步地，使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的魯棒可靠度和最大魯棒界限：

βr=k-1

(42)

q∈[q0-(βr+1)·Δq,q0+(βr+1)·Δq]

(43)

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本研究以提供的已知參數(shù)機(jī)器人為模型，數(shù)值驗(yàn)證將從優(yōu)化前后、輸入相同軌跡后的跟蹤輸出信號(hào)的時(shí)間序列出發(fā)進(jìn)行比較，重點(diǎn)關(guān)注二者的瞬時(shí)值、誤差值和H∞范數(shù)。

4.1 仿真驗(yàn)證

特以一兩桿的機(jī)械臂為實(shí)例進(jìn)行仿真驗(yàn)證，機(jī)械臂的已知參數(shù)如表1所示。

表1 兩桿機(jī)械臂已知參數(shù)表

將已知數(shù)據(jù)代入上述機(jī)器人系統(tǒng)中，首先由式(37，38)算得：

γ1=2.578 8,γ2=5.158

(44)

計(jì)算：

k=‖(γ1,γ2)‖∞

(45)

得：

k=5.158

(46)

將k代入式(33)，計(jì)算式(35)的可行解[11]，最后由式(25)解得控制器的增益矩陣：

(47)

另求出使系統(tǒng)穩(wěn)定的魯棒可靠度：

βr=4.158

(48)

為了更直觀地顯示優(yōu)化前后控制器的效果，筆者使用simmechanics模塊建立兩桿機(jī)械臂的物理模型，機(jī)器人的simmechanics結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 機(jī)器人的simmechanics結(jié)構(gòu)

機(jī)器人物理結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 機(jī)器人的物理結(jié)構(gòu)

本研究再將控制器接入機(jī)器人的跟蹤系統(tǒng)模型中，通入形如式(7)的信號(hào)，并規(guī)定q(·)1=q(·)2=1 rad/s,觀察優(yōu)化前后的兩個(gè)關(guān)節(jié)角軌跡的跟蹤情況。為了更方便地觀察優(yōu)化前后控制效果的變化，筆者特將優(yōu)化前的實(shí)際軌跡與誤差、優(yōu)化后的實(shí)際軌跡與誤差合并畫(huà)在同一坐標(biāo)系當(dāng)中，優(yōu)化前后的控制效果對(duì)比如圖4所示。

從跟蹤效果的角度來(lái)驗(yàn)證，觀察圖4可以看出：優(yōu)化前，虛線表示的實(shí)際軌跡和點(diǎn)劃線表示的期望軌跡基本背離，對(duì)應(yīng)的誤差曲線(點(diǎn)劃線)振幅較大，跟蹤失敗；優(yōu)化后，圖4(a，b)中的實(shí)踐表示的實(shí)際軌跡與期望軌跡相當(dāng)接近，但在靠近波峰和波峰下沿的部位有少許誤差，這一規(guī)律通過(guò)圖4(c，d)中的實(shí)踐表示的誤差曲線可以更直觀的呈現(xiàn)，表明優(yōu)化后的實(shí)際軌跡跟蹤效果較優(yōu)化前有明顯的改善。

圖4 優(yōu)化前后的控制效果對(duì)比

從對(duì)控制力矩的改善效果來(lái)驗(yàn)證，優(yōu)化前后的控制力矩對(duì)比如圖5所示。

圖5 優(yōu)化前后的控制力矩對(duì)比

從圖5可以看出：優(yōu)化后的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩較優(yōu)化前提高了一部分，其中第一關(guān)節(jié)提高的幅度最大，說(shuō)明隨著系統(tǒng)性能的優(yōu)化，機(jī)器人的控制力矩相應(yīng)增加。

兩方面的仿真驗(yàn)證結(jié)果都表明：經(jīng)過(guò)新方法優(yōu)化之后，機(jī)器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到了提高，跟蹤性能得到了改善，控制力矩的控制作用也得到了相應(yīng)的增加，新方法仿真層面可行。

4.2 數(shù)值驗(yàn)證

從數(shù)值角度驗(yàn)證系統(tǒng)在優(yōu)化前后的變化效果，主要從兩個(gè)方面入手，一方面比較優(yōu)化前后兩關(guān)節(jié)角實(shí)際軌跡和對(duì)應(yīng)期望軌跡的時(shí)間序列，以及實(shí)際軌跡與期望軌跡的誤差；另一方面比較優(yōu)化前后系統(tǒng)的H∞范數(shù)。

首先，比較時(shí)間序列，為此筆者提取仿真試驗(yàn)采集到的輸出角序列、參考輸入角序列中從0～10 s的角度值，如表2所示。

表2 優(yōu)化前后的角度時(shí)間序列對(duì)比

續(xù)表

對(duì)比第一關(guān)節(jié)中的期望軌跡、優(yōu)化前的實(shí)際軌跡和優(yōu)化后的實(shí)際軌跡，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后軌跡的瞬時(shí)值比優(yōu)化前更接近期望軌跡，并且優(yōu)化后的誤差值比優(yōu)化前更接近0；同理，對(duì)比第二關(guān)節(jié)中的期望軌跡、優(yōu)化前的實(shí)際軌跡和優(yōu)化后實(shí)際軌跡，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后軌跡的瞬時(shí)值比優(yōu)化前跟接近期望軌跡，并且優(yōu)化后的誤差值比優(yōu)化前也更接近0。這說(shuō)明了新方法優(yōu)化了跟蹤軌跡的瞬時(shí)值，減小了誤差，在穩(wěn)定系統(tǒng)的同時(shí)改善了跟蹤特性。

其次，比較優(yōu)化前后系統(tǒng)的H∞范數(shù)。H∞范數(shù)是系統(tǒng)在環(huán)境最壞條件下的最大奇異值，它反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。經(jīng)計(jì)算，優(yōu)化前系統(tǒng)的H∞范數(shù)：

V1≈1.91

優(yōu)化前系統(tǒng)的H∞范數(shù)：

V2≈0.19

顯然，V1>1,V2<1,V2

兩方面的數(shù)值驗(yàn)證也表明：魯棒可靠性方法對(duì)于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、跟蹤特性、魯棒性是十分有效的。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)不確定參數(shù)攝動(dòng)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定性和跟蹤特性的影響問(wèn)題，本文采用魯棒可靠性方法解決機(jī)器人的魯棒鎮(zhèn)定控制問(wèn)題，效果可靠，將不確定因素的影響限制在了合理的范圍內(nèi)，穩(wěn)定了系統(tǒng)，最大限度地保證了系統(tǒng)對(duì)給定軌跡的精確跟蹤，改善了系統(tǒng)性能。

本文提出了運(yùn)用魯棒可靠性的方法來(lái)解決機(jī)器人系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題，把不確定參數(shù)的劃定在一個(gè)具有足夠可靠度的區(qū)間內(nèi)；同時(shí)，本文也詳細(xì)闡述了處理非線性攝動(dòng)參數(shù)的簡(jiǎn)便方法,即分離固定值與攝動(dòng)值后進(jìn)行多項(xiàng)式的拆分與重組。

對(duì)于魯棒可靠性方法，本文從仿真實(shí)驗(yàn)和數(shù)值比較的角度進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明,該方法是有效的。

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